Der Bir-Pikus-Hamilton-Operator

Die Dehnung verändert das Kristallpotential und verschiebt und vermischt daher die Valenzbänder. Der Bir–Pikus-Hamilton-Operator ist das Dehnungsanalogon des kinetischen k·p-Valenz-Hamilton-Operators: Er hat genau die gleiche Struktur, wobei die Dehnungskomponenten die Produkte der Wellenvektoren ersetzen. OghmaNano implementiert ihn in zwei äquivalenten Formen – einer kompakten \(P, Q, R, S\)-Form für den Luttinger–Kohn-Solver und einer expliziten kartesischen Form für die 8-Band-Solver.

1. Die P-, Q-, R- und S-Form

Im Rahmen der Gesamt-Drehimpuls-Basis wird der Hamilton-Operator für die Valenzdehnung aus vier Größen aufgebaut. Unter Verwendung der Deformationspotentiale \(a_v\) (hydrostatisch) und \(b, d\) (Schub) berechnet OghmaNano.

\[ \begin{aligned} P &= a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon), \\ Q &= \tfrac{1}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}), \\ R &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) + i\,d\,\varepsilon_{xy}, \\ S &= -\,d\,(\varepsilon_{xz} - i\,\varepsilon_{yz}), \end{aligned} \]

wobei \(\mathrm{Tr}(\varepsilon)=\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}\) gilt. \(P\) ist die hydrostatische Verschiebung des durchschnittlichen Valenzbandes; \(Q\) ist die biaxiale Aufspaltung von schweren und leichten Löchern; und \(R, S\) sind Scherkopplungen, die für nicht gescherte [001]-Dehnung verschwinden. Diese vier Größen, die die Dehnung beschreiben, werden direkt zu der kinetischen Energie \(P, Q, R, S\) des Luttinger-Kohn-Hamiltonians addiert, so dass dieselbe \(6\times6\)-Matrix sowohl die kinetischen als auch die durch Dehnung verursachten physikalischen Effekte beschreibt.

2. Das kartesische X/Y/Z-Koordinatensystem

Das 8-Band-Zinkblende-Modell verwendet eine kartesische Orbitalbasis, sodass OghmaNano dieselbe physikalische Beschreibung liefert wie eine \(3\times3\)-Matrix, die auf \(|X\rangle, |Y\rangle, |Z\rangle\) wirkt:

\[ H^{\varepsilon} = \begin{pmatrix} a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) \end{pmatrix}. \]

Die Diagonale kombiniert die hydrostatische Verschiebung \(a_v\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) mit dem axialen Term \(b(2\varepsilon_{ii}-\varepsilon_{jj}-\varepsilon_{kk})\); die nicht-diagonalen Scherterme \(\sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{ij}\) verschwinden bei [001]-biaxialer Dehnung. Das Dehnungspotenzial ist spinunabhängig, daher wendet OghmaNano diesen \(3\times3\)-Block identisch auf die Valenzorbitale mit Spin-up- und Spin-down-Ausrichtung an.

3. Warum die beiden Formen übereinstimmen.

Die kartesischen und die \(P, Q, R, S\)-Formen sind durch dieselbe unitäre Transformation miteinander verbunden, die auch die \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\)-Orbitale mit den \(|J,m_j\rangle\)-Zuständen verknüpft. Zum Beispiel ist die kartesische Diagonalendifferenz \(b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}- \varepsilon_{yy})\) exakt \(-2Q\) mit \(Q\), wie oben definiert, und die Scherkomponenten werden auf \(R\) und \(S\) abgebildet. Beide Formen verwenden die gleichen drei Deformationspotenziale und liefern identische Valenzenergien; die Wahl ist lediglich eine Frage der praktischen Anwendbarkeit, je nachdem, welche Basis der jeweilige Solver verwendet.

4. Die Deformationspotentiale

Drei Zahlen steuern die Reaktion auf die Valenzband-Dehnung. Das hydrostatische Potential \(a_v\) bestimmt, wie sich die durchschnittliche Valenzenergie mit dem Volumen ändert; in Kombination mit dem Leitungsband-Potential \(a_c\) ergibt sich das Bandlücken-Dehnungspotential \(a = a_c - a_v\). Das axiale Potential \(b\) steuert die tetragonale (biaxiale) Aufspaltung der schweren und leichten Löcher unter [001]-Dehnung, und \(d\) steuert die Reaktion auf Scherbeanspruchungen in anderen Richtungen. Alle drei haben die Einheit Energie (eV) und sind typischerweise für das Valenzband negativ. Ihre Werte und die verwendeten Vorzeichenkonventionen werden auf der Seite material-parameters erläutert.