Das 10-Band-Zinkblende-k·p-Modell: Verdünnte Nitride

Warum benötigen wir ein Modell mit zehn Frequenzbändern?

Im Acht-Band-Zinkblende-Modell beschreiben wir einen Halbleiter mithilfe eines s-ähnlichen Leitungsbandorbitals und drei p-ähnlichen Valenzbandorbitalen, wobei jedes Orbital zwei Spinzustände aufweist. Durch die Kopplung dieser Zustände können wir die Leitungs- und Valenzbänder berechnen, einschließlich Effekte, die das einfachere parabolische-Band-Modell nicht reproduzieren kann.

Bei bestimmten Legierungen ist selbst dieses Bild jedoch unvollständig. Ein besonders interessantes Beispiel ist ein verdünntes Nitrid, wie z. B. GaAsN oder GaInNAs: ein Material, bei dem ein kleiner Teil der Elemente der fünften Hauptgruppe durch Stickstoff ersetzt wird. Bemerkenswert ist, dass die Zugabe einer relativ geringen Menge Stickstoff die Bandlücke deutlich stärker verringern kann, als wir es allein durch die Extrapolation der Eigenschaften der einzelnen Materialien erwarten würden. Auch die effektive Masse der Elektronen kann sich erheblich verändern.

Der Grund dafür ist, dass Stickstoff nicht nur die vorhandenen Kristallbandstrukturen geringfügig verändert. Er führt ein resonantes elektronisches Energieniveau ein, das mit dem Leitungsband des Wirts-Halbleiters interagiert. Um diese Wechselwirkung zu beschreiben, müssen wir dem üblichen k·p-Modell einen zusätzlichen, von Stickstoff abgeleiteten Zustand hinzufügen. Wenn wir beide Spinorientierungen berücksichtigen, erhöht sich die Anzahl der Basiszustände von acht auf zehn.

Welche Auswirkungen hat Stickstoff auf das Leitungsband?

Betrachten Sie das Leitungsband des ursprünglichen Halbleitermaterials, bevor Stickstoff hinzugefügt wird. In der Nähe seines Minimums können wir es, als erste Näherung, durch eine Parabel beschreiben:

\[ E_c(k)=E_{c,0}+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_c^{*}}. \]

Hierbei ist \(E_{c,0}\) die ursprüngliche Energiegrenze des Leitungsbandes, während \(k\) den Kristallwellenvektor des Elektrons beschreibt. Im Modell der verdünnten Nitride führt Stickstoff auch einen stärker lokalisierten elektronischen Zustand bei einer Energie von \(E_N\) ein. Im Gegensatz zu den ausgedehnten Zuständen des Leitungsbandes weist dieses Stickstoff-induzierte Energieniveau im einfachsten Modell nur eine schwache Dispersion auf; in einem Diagramm, das die Energie in Abhängigkeit vom Wellenvektor darstellt, können wir es als eine annähernd horizontale Linie betrachten.

Wenn die beiden Zustände nicht miteinander interagieren würden, könnten sich ihre Energien einfach kreuzen. Aber sie interagieren miteinander. Wenn sich das Leitungsband des Wirtsmaterials der Energieniveau des Stickstoffs nähert, vermischen sich die beiden Zustände, wodurch ihre Energien auseinandergedrängt werden. Dieser Effekt wird als Band-Antikreuzung (BAC) bezeichnet.

Das Konzept des Anticrossings verstehen

Wir können die grundlegenden physikalischen Prinzipien verstehen, ohne mit einem vollständigen zehn-Band-Hamilton-Operator zu beginnen. Stellen Sie sich vor, wir hätten nur zwei elektronische Zustände: einen, der zum ursprünglichen Leitungsband des Wirtsmaterials gehört und die Energie \(E_c\) hat, und einen, der zu Stickstoff gehört und die Energie \(E_N\) hat. Ihre Wechselwirkung wird durch eine Kopplungsenergie \(V_N\) beschrieben.

Wir können dieses kleine Problem als Matrix darstellen:

\[ \boxed{ H_{\mathrm{BAC}}= \begin{pmatrix} E_c & V_N \\ V_N & E_N \end{pmatrix} } \]

Die Einträge auf der Hauptdiagonale geben die Energien der beiden Zustände an, die sie jeweils einzeln hätten. Die Einträge außerhalb der Hauptdiagonale beschreiben ihre Wechselwirkung. Wenn \(V_N=0\) gilt, sind die Zustände unabhängig voneinander. Wenn die Kopplung einen Wert ungleich Null hat, werden die zulässigen Energien durch die Berechnung der Eigenwerte dieser Matrix ermittelt.

Wenn man die Eigenwertgleichung in der Form \(\det(H_{\mathrm{BAC}}-EI)=0\) schreibt, erhält man:

\[ (E_c-E)(E_N-E)-V_N^2=0. \]

Dies ist eine quadratische Gleichung, die Energie beschreibt. Durch das Lösen dieser Gleichung erhält man zwei Lösungen, die den beiden neuen, gemischten elektronischen Zuständen entsprechen:

\[ \boxed{ E_{\pm}=\frac{E_c+E_N}{2} \pm\frac{1}{2} \sqrt{(E_c-E_N)^2+4V_N^2} } \]

Der Term mit der Quadratwurzel ist es, der das Antikreuzen verursacht. Selbst wenn die ursprünglichen Energieniveaus exakt gleich sind, kreuzen sich die beiden neuen Zustände nicht: Sie bleiben durch \(2|V_N|\) getrennt. Dies können wir direkt beobachten, indem wir \(E_c=E_N\) in der obigen Gleichung setzen.

OghmaNano zerlegt die Wachstumsrichtung in räumliche Gitterpunkte und verwendet einen spärlichen Eigenwertlöser, um die interessierenden Zustände zu ermitteln. Wenn das Gitter \(N_z\) Punkte enthält, ergibt sich aus den zehn Basiskomponenten eine Matrixdimension von \(10N_z\). Hierbei ist \(N_z\) die Anzahl der räumlichen Gitterpunkte; dies sollte nicht mit dem Symbol \(N\) verwechselt werden, das zur Kennzeichnung des aus Stickstoff abgeleiteten Zustands verwendet wird. Eine vollständige GaInNAs/GaAs-Berechnung unter Verwendung dieses Modells wird in der Zehn-Band-Verdünnungs-Nitrid-k·p-Quantenwellen-Anleitung demonstriert.

Warum wird die Bandlücke kleiner?

Nehmen wir an, der Stickstoffgehalt liegt über dem ursprünglichen Minimum des Leitungsbandes, wie es im Standardmodell der schwach dotierten Nitrid-Band-Antikreuzung dargestellt wird. Wenn die Wechselwirkung aktiviert wird, verschiebt sich der untere Mischzustand unter dieses ursprüngliche Minimum. Die Bandkante des Valenzbandes erfährt in diesem Modell keine ähnliche Antikreuzung, sodass die Energie, die den niedrigsten Leitungszustand vom Valenzband trennt, geringer wird.

Die Verschiebung der Leitbandkante ist nicht einfach proportional zur geringen Stickstoffkonzentration. Sie hängt sowohl von der Kopplungsstärke als auch davon ab, wie nah das Stickstoffniveau an der Leitbandkante des Wirtsmaterials liegt. Um den Effekt anhand von beispielhaften, willkürlichen Energiewerten zu veranschaulichen, stellen Sie sich Folgendes vor:

\[ E_c=1.40\,\mathrm{eV},\qquad E_N=1.60\,\mathrm{eV},\qquad V_N=0.10\,\mathrm{eV}. \]

Wenn man diese Werte in den Ausdruck für die Antikreuzung einsetzt, erhält man einen unteren Zweig von ungefähr \(1.359\,\mathrm{eV}\)eher als das Original. \(1.40\,\mathrm{eV}\)In diesem anschaulichen Beispiel hat die Wechselwirkung mit dem Stickstoffzustand den Leitfähigkeitsbereich um etwa [...] gesenkt. \(41\,\mathrm{meV}\)Die Zahlen wurden gewählt, um den Mechanismus zu veranschaulichen, nicht um Parameter für eine bestimmte Legierung festzulegen.

Wichtig ist, dass sich auch die Form des Leitungsbandes verändert. In unserem Zweistufenmodell ist \(E_c\) selbst eine Funktion von \(k\), daher sind beide neuen Lösungen Dispersionen \(E_-(k)\) und \(E_+(k)\). Der untere Zweig kann in der Nähe seines Minimums flacher werden, was einer größeren effektiven Elektronenmasse entspricht. Somit kann dieselbe Wechselwirkung sowohl die Verringerung der Bandlücke als auch die Änderung der Bandkrümmung erklären.

Wie wird die Stickstoffkonzentration in das Modell eingegeben?

Die Menge an Stickstoff ist von Bedeutung, da mit zunehmendem Stickstoffanteil mehr Stickstoff-basierte Zustände zur Verfügung stehen, die mit dem erweiterten Leitungsband interagieren können. Im Standardmodell der Band-Antikreuzung wird die effektive Kopplung wie folgt dargestellt:

\[ \boxed{V_N=\beta_N\sqrt{x_N}} \]

Hierbei ist \(x_N\) der Molenbruch des Stickstoffs (d. h., beispielsweise wird ein Stickstoffanteil von einem Prozent als \(x_N=0.01\) eingegeben), und \(\beta_N\) ist der Kopplungsparameter für das Materialsystem. Die Quadratwurzelabhängigkeit spiegelt die kollektive Kopplung des Leitungszustands des Wirtsmaterials an die geringe Konzentration von Stickstoffatomen wider. Es handelt sich nicht um eine willkürliche lineare Verschiebung des Leitungsbandrandes.

Ohne Stickstoff, \(x_N=0\), verschwindet die Kopplung, und wir erhalten die Beschreibung des ungekoppelten Wirtsbandes zurück. Wenn Stickstoff hinzugefügt wird, wird die Wechselwirkung stärker, und die beiden gemischten Zweige entfernen sich weiter voneinander. Das tatsächliche Verhalten hängt auch von der Position von \(E_N\) relativ zum Leitungsband des Wirts ab, daher sind sowohl \(E_N\) als auch \(\beta_N\) wichtige Materialparameter.

Von zwei Zuständen zum vollständigen Modell mit zehn Frequenzbändern

Wir haben das Phänomen der Antikreuzung nun anhand von nur zwei Zuständen verstanden. Wie lässt sich dies in den auf Seite vorherige Seite eingeführten Acht-Band-Zinkblende-Hamilton-Operator integrieren?

Das Modell mit acht Banden enthält bereits das s-ähnliche Leitungsbandorbital und drei p-ähnliche Valenzbandorbitale, von denen jedes zwei Spinorientierungen aufweist. Das Modell mit geringer Stickstoffkonzentration behält diese ursprünglichen acht Zustände bei und führt dann zwei zusätzliche, von Stickstoff abgeleitete Basiszustände ein, jeweils einen für jeden Spin:

\[ \begin{aligned} \{&|S\uparrow\rangle,\ |S\downarrow\rangle,\\ &|X\uparrow\rangle,\ |Y\uparrow\rangle,\ |Z\uparrow\rangle,\\ &|X\downarrow\rangle,\ |Y\downarrow\rangle,\ |Z\downarrow\rangle,\\ &|N\uparrow\rangle,\ |N\downarrow\rangle\}. \end{aligned} \]

Diese aus Stickstoff abgeleiteten Zustände stellen eine effektive Darstellung der Resonanzniveaus der Legierung dar. Sie sollten nicht als Versuch interpretiert werden, die Wellenfunktion um jedes einzelne Stickstoffatom in einem ungeordneten Kristall zu verfolgen.

In der üblichen Zehnbänderstruktur koppelt Stickstoff mit dem s-ähnlichen Leitfähigkeitszustand und zwar mit dem gleichen Spin. Die direkte Kopplung mit den p-ähnlichen Valenzzuständen wird in diesem Modell vernachlässigt. Wir können die vollständige Matrix schematisch wie folgt darstellen:

\[ H_{10}= \begin{pmatrix} H_{8} & C_N\\ C_N^{\dagger} & E_N I_2 \end{pmatrix}, \]

wobei \(H_8\) der ursprüngliche Acht-Band-Zinkblende-Hamilton-Operator ist, \(I_2\) eine Zwei-Zustands-Einheitsmatrix und \(C_N\) die Kopplung zwischen Stickstoff und dem Leitungsband enthält. In der oben gezeigten Basisreihenfolge verbinden die einzigen von Null verschiedenen Elemente von \(C_N\) \(|S\uparrow\rangle\) mit \(|N\uparrow\rangle\) und \(|S\downarrow\rangle\) mit \(|N\downarrow\rangle\), jeweils mit der Kopplungsstärke \(V_N\).

Deshalb wird das Modell „Zehn-Band“-Modell genannt: Es handelt sich um das ursprüngliche Acht-Band-System plus zwei spinaufgelöste Stickstoffzustände, nicht um zehn separate Parabeln, die miteinander addiert werden.

Welche Veränderungen treten auf, wenn wir das Material in einen Quantenbrunnen einbringen?

Bisher hat unsere Diskussion die Energien einer Legierung als Funktion des Kristallwellenvektors beschrieben. In einem Quantenpotential müssen wir auch die Halbleiterschichten und das Einschlussfeld berücksichtigen, das senkrecht zu ihnen wirkt.

Wie im parabolischen-Band-Tutorial definieren wir \(z\) als die Richtung, die senkrecht zu den Schichten verläuft, während sich das Elektron weiterhin parallel zu ihnen bewegen kann. In einer Mehrbandberechnung wird der eingeschränkte Zustand nicht mehr nur durch eine einzelne skalare Wellenfunktion beschrieben. Stattdessen hat er für jeden Zustand in der Basis eine Hüllkomponente, einschließlich der aus Stickstoff abgeleiteten Komponenten.

An jeder Position bestimmen die lokalen Materialeigenschaften die Bandkanten, die effektiven Kopplungen, den Stickstoffgehalt \(E_N\) und den Stickstoffanteil \(x_N\). Der zehn-Band-Hamilton-Operator beschreibt, wie alle Komponenten miteinander interagieren. Durch die Lösung des resultierenden Eigenwertproblems für den Quantenpotentialtopf erhält man die zulässigen, eingeschränkten Energieniveaus und die entsprechenden, gemischten Elektronen- und Loch-Wellenfunktionen.

OghmaNano zerlegt die Wachstumsrichtung in räumliche Gitterpunkte und verwendet einen spärlichen Eigenwertlöser, um die interessierenden Zustände zu ermitteln. Wenn das Gitter \(N_z\) Punkte enthält, ergibt sich aus den zehn Basisvektoren eine Matrixdimension von \(10N_z\). Hierbei steht \(N_z\) für die Anzahl der räumlichen Gitterpunkte; dies sollte nicht mit dem Symbol \(N\) verwechselt werden, das zur Kennzeichnung des aus Stickstoff abgeleiteten Zustands verwendet wird.

Eine praktische Folge des Antikreuzens ist, dass sich die untere Grenze des Leitungsbandes nicht mehr auf dem ursprünglichen Wert \(E_c\) befindet. Der untere Zweig \(E_-\) liefert eine nützliche Schätzung der verschobenen Leitungsbandkante, wenn man sich numerisch den eingeschränkten Zuständen nähert.

Was bedeutet das für optische Übergänge?

Die Bandlücke ist nicht die einzige Größe, die sich verändert. Da die Eigenzustände selbst Mischungen aus Leitungsband- und Stickstoff-Komponenten sind, kann sich auch ihre Wechselwirkung mit Licht verändern. Ein Zustand, der hauptsächlich die Eigenschaften eines Leitungsbandes aufweist, muss nicht die gleiche optische Kopplung haben wie ein Zustand mit einem erheblichen Stickstoffanteil.

Der untere Antikreuzungszweig ist besonders wichtig, da er den niedrigsten verfügbaren Leitfähigkeitszustand annehmen kann, wodurch sich die Übergangsenergie zwischen dem Leitungs- und dem Valenzband verändert. Seine veränderte Dispersion beeinflusst auch die Energien und die Anzahl der für optische Übergänge verfügbaren Zustände. OghmaNano kann die resultierenden Mehrkomponenten-Wellenfunktionen in den nachfolgenden Berechnungen für optische Übergänge, spontane Emission und Verstärkung verwenden.

Das zehn-Parameter-BAC-Modell erfasst den Einfluss des Stickstoff-Resonanzzustands auf die Struktur des Leitungsbandes, stellt aber dennoch nur eine Annäherung dar. Es berücksichtigt nicht die einzelnen atomaren Positionen von Stickstoff-Verunreinigungen und beschreibt nicht eigenständig alle mit Unordnung verbundenen optischen und Transporteffekte, die in realen, mit Stickstoff dotierten Legierungen auftreten.