Basiszustände, Hüllfunktionen und Mehrband-Hamiltonoperatoren

Um einen Hamilton-Operator für ein Massensystem in ein Quantenwellenproblem umzuwandeln, sind zwei Elemente erforderlich: die Näherung mit der Hüllwellenfunktion, die es ermöglicht, eine räumlich veränderliche Struktur mit einer Matrix für das Massensystem zu beschreiben, und eine konsistente Basis, in der die Matrix dargestellt wird. Auf dieser Seite werden beide Elemente zusammengeführt und die genauen Basisreihenfolgen dokumentiert, die von OghmaNano verwendet werden, sodass die modellspezifischen Seiten auf eine einzige Definition verweisen können.

1. Drei Arten von Funktionen

Es lohnt sich, drei Begriffe zu unterscheiden, die leicht verwechselt werden können. Die Bloch-Funktion \(\psi_{n\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}\) ist der exakte Eigenzustand des Kristalls. Die zellperiodische Funktion \(u_{n0}\) am Zentrum der Brillouin-Zone ist eine der festen Basisfunktionen – sie ähnelt einer s-Funktion für das Leitungsband und einer p-Funktion (\(X,Y,Z\)) für das Valenzband. Die Hüllfunktion \(F_n(z)\) ist eine langsam veränderliche Amplitude, die jede Basisfunktion multipliziert und den Effekt der räumlichen Begrenzung beinhaltet. In einer Heterostruktur ist der vollständige Zustand eine Summe über die Basisfunktionen.

\[ \Psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}_\parallel\cdot\boldsymbol{\rho}} \sum_n F_n(z)\, u_{n0}(\mathbf{r}), \]

und es ist die Menge der Hüllkurven \(\{F_n(z)\}\), die der Algorithmus berechnet.

2. Die Näherungsmethode der Hüllfunktion

Die Hüllwellen-Approximation basiert auf zwei Annahmen: Erstens, dass in jeder Schicht dieselben Basisfunktionen am Zentrum der Brillouin-Zone \(u_{n0}\) verwendet werden können, und zweitens, dass sich die Materialparameter (Bandabstand, Massen, Kane- und Luttinger-Parameter) mit der Position auf einer Skala ändern, die viel größer ist als die Gitterkonstante. Die resultierende k·p-Matrix für das Volumen wird dann zu einem Differentialoperator, der auf die Hüllwellen wirkt, wobei die Koeffizienten von der Position abhängen. Die wesentliche Änderung besteht darin, dass der Wellenvektor in Wachstumsrichtung zu einem Differentialoperator wird.

\[ k_z \;\longrightarrow\; -i\,\frac{d}{dz}, \]

Während die Wellenvektoren in der Ebene \(k_x, k_y\) weiterhin gute Quantenzahlen bleiben, da die Struktur in der Ebene translationsinvariant ist, wird jeder Term \(k_z\) in dem Hamilton-Operator durch diesen Operator ersetzt und jeder Term \(k_z^2\) durch die symmetrische zweite Ableitung der vorherigen Seite. Produkte wie \(k_x k_z\) werden zu \(k_x(-i\,d/dz)\), wobei sie so symmetriert werden, dass der Operator hermitesch bleibt, wenn sich der Koeffizient ändert. Das Ergebnis ist eine Matrixdifferentialgleichung für die Hüllfunktionen, die wie auf der Seite Seite mit endlichen Differenzen beschrieben diskretisiert wird.

3. Das Auslesen eines Block-Hamiltonian.

Eine mehrbandige Hamilton-Funktion lässt sich am besten interpretieren, indem man sie zunächst in eine kleine Anzahl von Blöcken unterteilt, bevor man die einzelnen Elemente betrachtet. Die gröbste Unterteilung unterscheidet zwischen Zuständen, die sich wie Leitungszustände bzw. Valenzzustände verhalten.

\[ H = \begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv} \\[2pt] H_{vc} & H_{vv} \end{pmatrix}, \]

wobei \(H_{cc}\) die s-ähnlichen Leitfähigkeitszustände, \(H_{vv}\) die p-ähnlichen Valenzzustände und \(H_{cv}=H_{vc}^\dagger\) die Kane-Kopplung zwischen ihnen beschreibt. Der Leitfähigkeitsblock ist im Wesentlichen ein (nicht-parabolischer) Operator für die effektive Masse; der Valenzblock enthält die Physik der schweren Löcher, der leichten Löcher und der abgespaltenen Zustände; und der Kopplungsblock ist das, was das Modell im engeren Sinne „multibandig“ macht, indem er die nicht-parabolische Natur der Leitfähigkeit mit der Valenzstruktur verbindet. Dehnungs- und Spin-Bahn-Terme werden den entsprechenden Blöcken hinzugefügt.

4. Von OghmaNano verwendete Basiskonfigurationen

Der numerische Wert eines Eintrags in der Hamilton-Matrix hängt von der Reihenfolge ab, in der die Basiszustände aufgeführt sind. OghmaNano verwendet eine feste kartesische Orbitalbasis für die Zinkblende- und Wurtzit-Modelle sowie eine Basis, die auf dem Gesamtdrehimpuls basiert, für das Luttinger-Kohn-Modell. Die Reihenfolgen sind:

• 8-Band-Zinkblende und 8-Band-Wurtzit: \(\{\,|S\!\uparrow\rangle,\ |S\!\downarrow\rangle,\ |X\!\uparrow\rangle,\ |Y\!\uparrow\rangle,\ |Z\!\uparrow\rangle,\ |X\!\downarrow\rangle,\ |Y\!\downarrow\rangle,\ |Z\!\downarrow\rangle\,\}\).
• Zinkblende mit zehn Banden: die acht oberen, gefolgt von zwei lokalisierten Stickstoffzuständen \(\{\,|N\!\uparrow\rangle,\ |N\!\downarrow\rangle\,\}\).
• Sechs-Band-Luttinger-Kohn-Modell: \(\{\,\text{HH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\downarrow,\ \text{HH}\!\downarrow,\ \text{SO}\!\uparrow,\ \text{SO}\!\downarrow\,\}\).
• Silizium-Δ-Tal: ein einzelnes (skalares) Band pro Tal, das jeweils einmal für jede der sechs Talorientierungen gelöst wird.

Die Verwendung der kartesischen \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\)-Atomorbitale anstelle der Kombinationen aus der Gesamt-Drehimpulsmenge \(|J,m_j\rangle\) bewirkt, dass die Kopplungen zwischen Drehimpuls und Spannung real bleiben und sich leicht berechnen lassen, allerdings auf Kosten der expliziten Darstellung der Spin-Bahn-Kopplung als nicht-diagonales Glied. Das Luttinger-Kohn-Modell verwendet stattdessen die \(|J,m_j\rangle\)-Basis, in der die Spin-Bahn-Kopplung diagonal ist, die kinetischen Terme jedoch die klassische \(P,Q,R,S\)-Form annehmen. Beide Ansätze sind physikalisch äquivalent; jeder eignet sich für ein anderes Modell, und beide sind auf den jeweiligen Seiten dokumentiert.