Quantenpotentialtöpfe und Ladungsträger-Einschränkung

Was ist ein Quantenpotentialtopf?

Ein Quantenpotential ist ein Bereich im Raum, in dem die potentielle Energie unter die der Umgebung sinkt, wodurch eine Energiebarriere entsteht, die ein Teilchen, beispielsweise ein Elektron, einfangen kann. Wenn die Breite des Potentials mit der Wellenlänge des Elektrons vergleichbar wird, werden quantenmechanische Effekte besonders wichtig.

Ein typisches Quantenpotential ist in ?? dargestellt. In Halbleiterbauelementen können solche Strukturen erzeugt werden, indem eine dünne Schicht eines Materials zwischen zwei Materialien mit unterschiedlichen elektronischen Bandkanten aufgebracht wird. Ein gängiges Beispiel ist ein GaAs-Quantenpotential, das von AlGaAs-Schranken umgeben ist.

Die Beschreibung eines Quantenbrunnens mithilfe der Schrödinger-Gleichung

Wenn die Breite eines potenziellen Energievorrats mit der Wellenlänge eines Elektrons vergleichbar wird, können wir das Elektron nicht mehr angemessen als ein klassisches Teilchen mit einer definierten Position beschreiben. Stattdessen müssen wir sein wellenartiges Verhalten und die Wahrscheinlichkeit beschreiben, es an verschiedenen Positionen innerhalb des Energievorrats zu finden.

Um dies zu erreichen, lösen wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:

\[ \hat H\psi(x)=E\psi(x). \]

Hierbei ist \(\psi(x)\) die Wellenfunktion des Elektrons, \(E\) seine Energie und \(\hat H\) der Hamilton-Operator, der die kinetische und potenzielle Energie des Elektrons beschreibt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Elektron an einer bestimmten Position zu finden, wird durch \(|\psi(x)|^2\) angegeben.

Für ein einfaches, eindimensionales Quantenpotential kann die Schrödinger-Gleichung wie folgt geschrieben werden:

\[ \boxed{ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x) =E\psi(x). } \]

Obwohl diese Gleichung auf den ersten Blick kompliziert erscheinen mag, haben die einzelnen Terme eine klare physikalische Bedeutung:

• \(V(x)\) beschreibt das Profil der potenziellen Energie des Potentials, einschließlich der umgebenden Barrieren.
• \(\psi(x)\) ist die Wellenfunktion, die das Elektron beschreibt. Das Quadrat ihres Betrags gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an, mit der das Elektron an der Position \(x\) gefunden werden kann.
• \(E\) ist die Energie, die mit dem jeweiligen Quantenzustand verbunden ist.
• \(m^*\) ist die effektive Masse des Elektrons, die beschreibt, wie es auf Kräfte innerhalb des Halbleiters reagiert. Der erste Term stellt seine kinetische Energie dar.

Indem wir das mögliche Potentialprofil \(V(x)\) angeben und diese Gleichung lösen, erhalten wir die zulässigen Energieniveaus der Elektronen und die entsprechenden Wellenfunktionen. Dies sind genau die Ergebnisse, die in ?? dargestellt werden: die horizontalen Energieniveaus und die farbcodierten Wellenfunktionen, die jedem Zustand zugeordnet sind. Im folgenden Abschnitt werden wir untersuchen, wie diese Lösungen für ein einfaches Quantenpotential berechnet werden können.

Was bedeutet diese Gleichung in der Realität?

Eine anschauliche Methode, um die Lösungen der Schrödinger-Gleichung zu verstehen, besteht darin, eine Geigensaitte zu betrachten, die an beiden Enden befestigt ist. Eine solche Saite kann bei einer bestimmten Reihe von Obertönen in Schwingung versetzt werden. Der Grundton hat ein einzelnes Maximum, während höhere Obertöne zusätzliche Maxima und Knoten aufweisen. Jeder Obertton hat seine eigene charakteristische Frequenz.

Ein ähnliches Prinzip gilt für ein Elektron, das in einem Quantenpotentialtopf eingeschlossen ist. Die Abmessungen des Potentialtopfs beschränken das Elektron auf eine bestimmte Menge zulässiger Wellenfunktionen, wobei jede mit einer bestimmten Energie verbunden ist. So wie eine Geigen­saite eine Grundfrequenz und höhere Obertöne hat, besitzt der Quantenpotentialtopf einen Zustand mit der niedrigsten Energie und eine Reihe von Zuständen mit höherer Energie.

Die ersten drei dieser Zustände sind in ?? dargestellt. Die gestrichelten horizontalen Linien zeigen die zulässigen Energieniveaus \(E_1\), \(E_2\) und \(E_3\), während die farbigen Kurven die entsprechenden Wellenfunktionen darstellen. Der Zustand mit der niedrigsten Energie hat die einfachste Form, während die Zustände mit höherer Energie zunehmend komplexere Wellenmuster aufweisen.

Aber was sagen uns diese Wellenfunktionen eigentlich? Im Gegensatz zur Auslenkung einer schwingenden Violinsaite hat die Wellenfunktion eines Elektrons eine probabilistische Interpretation. Das Quadrat ihres Betrags gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an, mit der das Elektron an einer bestimmten Position gefunden werden kann:

\[ \boxed{ P(x)=|\psi(x)|^2 } \]

Ein Elektron, das sich im energetisch niedrigsten Zustand befindet, wird beispielsweise mit großer Wahrscheinlichkeit in der Nähe des Zentrums des Potentials gefunden. Energetisch höhere Zustände weisen komplexere Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf, mit mehreren Maxima, die durch Knoten voneinander getrennt sind, an denen die Wahrscheinlichkeit auf Null sinkt. Beachten Sie auch, dass sich die Wellenfunktionen leicht in die umgebenden Potentialbarrieren erstrecken, was bedeutet, dass eine geringe Wahrscheinlichkeit besteht, das Elektron außerhalb des eigentlichen Potentials zu finden.

Die Lösung der Schrödinger-Gleichung liefert uns somit zwei wichtige Informationen: Erstens, welche Energien ein Elektron einnehmen darf, und zweitens, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit jeder dieser Energien verbunden ist.

Eine einfache Lösung: Das unendliche Quantenpotentialtopf

Versuchen wir nun, die Wellenfunktionen eines Quantenpotentials zu berechnen. Um die mathematischen Berechnungen zu vereinfachen, stellen wir uns zunächst vor, dass die Barrieren, die das Quantenpotential umgeben, unendlich hoch sind. Das bedeutet, dass sich das Elektron nicht außerhalb des Quantenpotentials aufhalten kann und seine Wellenfunktion an beiden Rändern auf Null fallen muss.

Wir betrachten ein Potential, das eine Breite von \(L\) hat und sich von \(x=0\) bis \(x=L\) erstreckt. Innerhalb dieses Potentials setzen wir die potentielle Energie auf Null, also \(V(x)=0\). Wir beginnen mit der Schrödinger-Gleichung:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x) =E\psi(x), \]

wir können den Term für die potentielle Energie weglassen, wodurch übrig bleibt:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} =E\psi(x). \]

Wir müssen nun eine Wellenfunktion finden, die diese Gleichung erfüllt. Ein sinnvoller Ansatzpunkt ist, eine sinusförmige Lösung anzunehmen:

\[ \psi(x)=A\sin(kx). \]

Hierbei bestimmt \(A\) die Amplitude der Wellenfunktion, während \(k\) beschreibt, wie schnell diese in Abhängigkeit von der Position schwingt. Ein größerer Wert von \(k\) bedeutet eine kürzere Wellenlänge, wodurch mehr Schwingungen in einer bestimmten Entfernung untergebracht werden können.

Wir können überprüfen, ob dies eine gültige Lösung ist, indem wir sie zweimal differenzieren:

\[ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} =-k^2A\sin(kx) =-k^2\psi(x). \]

Beachten Sie, dass die zweimalige Ableitung unserer angenäherten Funktion einfach die ursprüngliche Funktion multipliziert mit einer Konstanten ergibt. Dies entspricht genau dem mathematischen Verhalten, das in Schrödingers Gleichung innerhalb des Potentialtopfs erforderlich ist.

Wenn wir unsere Schätzung in die Gleichung einsetzen, wird bestätigt, dass eine sinusförmige Wellenfunktion eine gültige Lösung ist, vorausgesetzt, ihre zugehörige Energie erfüllt die folgende Bedingung:

\[ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}. \]

Wir werden gleich auf das Thema Energie zurückkommen. Zunächst gibt es jedoch eine interessantere Frage: Welche dieser sinusförmigen Lösungen kann tatsächlich in unserem Quantenpotential existieren?

Welche Wellenlängen können sich innerhalb des Potentials vorfinden?

Obwohl wir eine Sinus-förmige Lösung für die Schrödinger-Gleichung gefunden haben, kann nicht jede Sinusfunktion physikalisch innerhalb des Potentials existieren. Beachten Sie, dass unsere Potentialbarrieren unendlich hoch sind, daher muss die Wellenfunktion an beiden Rändern den Wert Null haben.

Dies ähnelt sehr dem Verhalten einer Geigensaitte. Wie in ?? dargestellt, kann eine an beiden Enden befestigte Saite bei einer bestimmten Reihe von Obertönen in Schwingung versetzt werden. Der Grundton hat einen einzigen Peak, der zweite Obertton hat zwei Peaks, der dritte hat drei Peaks usw. Jeder Obertton erfüllt die Anforderung, dass die Auslenkung der Saite an beiden Enden Null ist.

Genauso wie bei unserem unendlichen Quantenpotential gilt auch hier eine bestimmte mathematische Bedingung. Die zulässigen Wellenfunktionen müssen zwischen \(x=0\) und \(x=L\) liegen und an jeder Grenze den Wert Null haben.

Unsere angenommene sinusförmige Wellenfunktion erfüllt bereits die erste Randbedingung, da \(\sin(0)=0\). Um die zweite Randbedingung zu erfüllen, benötigen wir:

\[ \psi(L)=A\sin(kL)=0. \]

Eine Sinusfunktion ist null, wenn ihr Argument ein ganzzahliges Vielfaches von \(\pi\) ist. Daher sind nur die folgenden Werte zulässig:

\[ kL=n\pi, \qquad n=1,2,3,\ldots \]

Wenn man dies umstellt, erhält man:

\[ \boxed{ k_n=\frac{n\pi}{L}, \qquad n=1,2,3,\ldots } \]

Wir haben daher etwas Wichtiges entdeckt: Obwohl Schrödingers Gleichung sinusförmige Lösungen zulässt, schränken die Grenzen des Potentials diese auf eine bestimmte Menge von Wellenlängen ein. Diese stehen in direktem Zusammenhang mit den Obertönen unserer Geigensaiten.

Wir können die entsprechenden Wellenfunktionen wie folgt darstellen:

\[ \boxed{ \psi_n(x)= \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad 0 \lt x \lt L } \]

Der Faktor vor der Sinusfunktion dient lediglich dazu, die Wellenfunktion zu normieren, um sicherzustellen, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Elektron irgendwo innerhalb des Potentials zu finden, gleich eins ist. Jeder Wert von \(n\) ergibt eine andere zulässige Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Berechnung der Energieniveaus

Nachdem wir nun verstanden haben, welche Wellenfunktionen innerhalb des Quantenpotentials existieren können, können wir uns wieder ihren Energien zuwenden.

Es besteht eine sinnvolle Verbindung zu unserer Analogie mit der Geige. Die höheren Obertöne einer Geigensaitte haben zunehmend höhere Frequenzen. In ähnlicher Weise entsprechen die höheren Zustände eines Quantenpotentials zunehmend höheren Energieniveaus der Elektronen.

Wir können diese Energien mithilfe der zuvor ermittelten Beziehung berechnen, die wir erhalten, wenn wir unsere sinusförmige Lösung in die Schrödinger-Gleichung einsetzen:

\[ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}. \]

Wir haben bereits festgestellt, dass nur bestimmte Werte für \(k\) zulässig sind:

\[ k_n=\frac{n\pi}{L}. \]

Wenn man dies in den Ausdruck für die Energie einsetzt, erhält man:

\[ E_n= \frac{\hbar^2}{2m^*} \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2. \]

Durch Umordnung erhalten wir das bekannte Ergebnis für die zulässigen Energien eines unendlichen Quantenpotentials:

\[ \boxed{ E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m^*L^2} } \]

Dieses Ergebnis zeigt uns, dass die Energie proportional zum Quadrat der Zustandsnummer \(n\) zunimmt. Anders ausgedrückt: Der zweite Zustand hat viermal so viel Energie wie der erste, während der dritte Zustand neunmal so viel Energie hat.

Darüber hinaus zeigt es etwas, das für die Halbleitertechnik besonders nützlich ist: Da die Energie von \(1/L^2\) abhängt, können wir die Einschlussenergie einfach erhöhen, indem wir das Quantenpotential schmaler machen. Auch die effektive Masse des Elektrons spielt eine Rolle: Eine kleinere effektive Masse führt zu höheren Energieniveaus bei ansonsten identischen Quantenpotentialen.

Zum Beispiel hat ein unendlich tiefer Potentialtopf mit einer Breite von \(12\,\mathrm{nm}\) und einer effektiven Elektronenmasse von \(m^*=0.067m_0\) eine niedrigste Energie von ungefähr \(39\,\mathrm{meV}\). Die ersten drei zulässigen Energiewerte sind daher:

\[ E_1\approx39\,\mathrm{meV}, \qquad E_2=4E_1, \qquad E_3=9E_1. \]

Wir haben nun sowohl die zulässigen Wellenfunktionen als auch die zugehörigen Energien berechnet. Unsere Annahme von unendlich hohen Potentialbarrieren ist jedoch eine mathematische Vereinfachung. Um das realistischere Quantenpotential, das in ?? dargestellt ist, zu beschreiben, müssen wir als Nächstes untersuchen, was passiert, wenn die Potentialbarrieren eine endliche Höhe haben.

Was passiert, wenn die Barrieren nicht unendlich hoch sind?

In einem echten Halbleiter-Quantenpotentialtopf haben die umgebenden Barrieren eine endliche Höhe. Dies führt zu einem wichtigen Unterschied: Die Wellenfunktion des Elektrons muss nicht mehr an den Rändern des Potentialtopfs auf Null absinken. Stattdessen kann sie sich über eine kurze Strecke in das umgebende Material erstrecken, selbst wenn die Energie des Elektrons unterhalb der Höhe der Barriere liegt.

Wir können dies mit derselben Schrödinger-Gleichung beschreiben, müssen aber nun zwei verschiedene Bereiche berücksichtigen: das Potentialminimum selbst, wo \(V(x)=0\) gilt, und die umgebenden Potentialbarrieren, wo \(V(x)=V_0\) gilt. Für ein Potentialminimum, das sich an der Stelle \(x=0\) befindet, lautet das Potential:

\[ V(x)= \begin{cases} 0, & \lvert x\rvert \lt \dfrac{L}{2}, \\[6pt] V_0, & \lvert x\rvert \geq \dfrac{L}{2}. \end{cases} \]

Let us consider an electron with an energy below the barrier height, so that \(0

Der wesentliche Unterschied besteht darin, dass sich die Wellenfunktion in den beiden Bereichen nun anders verhält. Innerhalb des Potentialtopfs schwingt sie weiterhin, genau wie in unserem Beispiel mit dem unendlichen Potentialtopf. Innerhalb der Potentialbarrieren nimmt sie jedoch exponentiell ab, anstatt sofort auf Null zu fallen.

Dies geschieht, weil sich Schrödingers Gleichung ändert, wenn die potentielle Energie größer wird als die Energie des Elektrons. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Wellenfunktion in den Potentialbarrieren abschwächt, wird wie folgt beschrieben:

\[ \boxed{ \kappa = \frac{\sqrt{2m^{*}(V_0-E)}}{\hbar} } \]

Um die zulässigen Energieniveaus zu berechnen, müssen wir Lösungen finden, bei denen sich die oszillierende Wellenfunktion innerhalb des Potentials nahtlos an die exponentiell abklingende Wellenfunktion in den Potentialbarrieren anschließt. Dies geschieht in der Regel numerisch.

Das Ergebnis ist in ?? dargestellt. Beachten Sie, wie sich die farbigen Wellenfunktionen über die Ränder des Potentials hinaus erstrecken. Da das Quadrat der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeitsdichte darstellt, bedeutet dies, dass eine geringe Wahrscheinlichkeit besteht, das Elektron innerhalb der umgebenden Potentialbarrieren zu finden.

Da sich das Elektron effektiv über eine etwas größere Region bewegt, sind seine Energieniveaus im Allgemeinen niedriger als die, die durch die Annäherung des unendlichen Potentials vorhergesagt werden. Darüber hinaus kann ein endliches Potential nur eine begrenzte Anzahl von gebundenen Zuständen unterstützen.

Berechnung von Quantenpotentialtälern in OghmaNano

Die einfache Formel für einen unendlichen Potentialtopf ist nützlich, um das Konzept der Quantisierung zu verstehen, aber für eine realistische Vorrichtung müssen in der Regel die tatsächlichen Materialschichten, die Bandverschiebung, die effektiven Massen und die elektrischen Felder in die Berechnung einbezogen werden. OghmaNano bietet verschiedene Stufen der Quantenwellenmodellierung an, je nachdem, welche Effekte von Bedeutung sind:

• Ein parabolischer Bandlösungsprogramm für einfache Berechnungen zur Einschränkung der Bewegung von Elektronen und Löchern.
• Multiband-k·p-Modelle, einschließlich Acht-Band-Zinkblende, Zehn-Band-Zinkblende und Acht-Band-Wurtzit, zur Kopplung und Mischung zwischen verschiedenen elektronischen Bandstrukturen.
• Spezialisierte Verfahren für geeignete Halbleitersysteme, basierend auf den Konzepten von Silicon Valley und Luttinger–Kohn.

Die resultierenden Eigenwerte und Wellenfunktionen können dann in nachfolgenden Berechnungen von optischen Übergängen, Verstärkung und Trägerstreuung verwendet werden. Eine praktische Einführung bietet das GaAs/AlGaAs-Tutorial zu parabolischen Quantenpotentialen. Umfangreichere Berechnungen, einschließlich Mehrband-k·p-Modellen, Silizium/SiGe-Quantenpotentialen, optischen Spektren und Trägermobilität, sind in k·p-Bandstruktur-, Quantenpotential- und Mobilitätssolver zusammengefasst.

Warum sind Quantenpotentialtöpfe interessant?

Eine der wichtigsten Eigenschaften eines Quantenbrunnens ist, dass wir die Energieniveaus von Elektronen und Löchern einfach durch Veränderung der Breite des Brunnens steuern können. Wenn wir den Brunnen schmaler machen, vergrößert sich in der Regel der Abstand zwischen den begrenzten Energieniveaus, während eine Vergrößerung des Brunnens die Niveaus näher zusammenbringt. Dies ermöglicht es uns, die elektronischen und optischen Eigenschaften eines Materials zu steuern, ohne unbedingt dessen chemische Zusammensetzung zu verändern.

Quantenpotentialtöpfe sind in Halbleiterbauelementen von besonderer Bedeutung, da sie es ermöglichen, die Position der Ladungsträger zu steuern und die für sie verfügbaren Energietransitionen zu bestimmen. Zu den Anwendungsbereichen gehören:

• Halbleiterlaser und LEDs: Quantenpotentialtöpfe begrenzen die Bewegung von Elektronen und Löchern auf eine dünne aktive Zone, wodurch die Emissionswellenlänge durch die Breite des Potentialtopfs und die Materialzusammensetzung eingestellt werden kann.
• Photodetektoren: Die Abstände zwischen den diskreten Energieniveaus können so gestaltet werden, dass bestimmte Wellenlängen des Lichts, einschließlich Infrarotstrahlung, absorbiert werden.
• Transistoren mit hoher Elektronenbeweglichkeit (HEMTs): Elektronen können auf einen dünnen, leitfähigen Kanal beschränkt werden, während sie sich weiterhin frei parallel zu den Grenzflächen bewegen können, wodurch ein zweidimensionales Elektronengas entsteht.
• Quantenkaskadenlaser: Mehrere miteinander gekoppelte Quantenpotentialtöpfe werden verwendet, um gezielt definierte Energieniveaus zu erzeugen, durch die sich Elektronen bewegen und dabei Photonen emittieren, wenn sie zwischen den Zuständen übergehen.

Die zentrale Idee ist, dass ein Quantenpotential uns ermöglicht, elektronische Energieniveaus durch die Geometrie einer Struktur zu bestimmen. Um zu verstehen, wie diese Niveaus entstehen, müssen wir die Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen lösen, das innerhalb des Potentials eingeschlossen ist.