Pseudomorphe Epitaxie und Dehnungstensoren

Wenn eine Schicht auf einem Substrat mit einer anderen Gitterkonstante aufgebracht wird, verformt sie sich, um sich an den Gitterabstand des Substrats in der Ebene anzupassen. Diese pseudomorphe Verspannung ist nicht unbedingt unerwünscht, sondern vielmehr ein Gestaltungswerkzeug, das die Bandkanten verschiebt, die schweren und leichten Lochbänder aufteilt und die Emissionswellenlänge und -polarisation beeinflusst. Auf dieser Seite wird der Spannungs-Tensor hergeleitet, den OghmaNano verwendet, und es wird erläutert, wie er in die k·p-Hamilton-Funktionen einfließt.

1. Pseudomorphe Bildung/Wachstum

Unterhalb einer bestimmten kritischen Schichtdicke wächst eine dünne Schicht kohärent: Ihre atomaren Reihen in der Ebene richten sich an der Substratoberfläche aus, wodurch ihre Gitterkonstante in der Ebene an die des Substrats angepasst wird, während sie sich entlang der Wachstumsrichtung frei entspannen kann. Die In-Ebenen-Spannung ist daher

\[ \varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} = \frac{a_{\text{sub}} - a_{\text{layer}}}{a_{\text{layer}}}, \]

wobei \(a_{\text{sub}}\) und \(a_{\text{layer}}\) die Gitterkonstanten des unbelasteten Substrats bzw. der Schicht sind. Wenn der natürliche Schichtabstand größer ist als der des Substrats (\(a_{\text{layer}} > a_{\text{sub}}\)), ist die In-Plane-Spannung negativ und die Schicht wird unter Druck gesetzt; im umgekehrten Fall liegt eine Zugspannung vor. OghmaNano meldet einen Fehler, wenn die Gitterkonstanten oder elastischen Konstanten fehlen, da die Spannung dann nicht definiert werden kann.

2. Die Dehnung außerhalb der Ebene

Entlang der Wachstumsrichtung ist die Schicht nicht belastet, sodass keine Normalkraft auf die Oberfläche wirkt: \(\sigma_{zz}=0\). Für einen kubischen Kristall, der auf der [001]-Ebene gewachsen ist, stellt das Hookesche Gesetz eine Beziehung zwischen der Normalkraft und den Dehnungen über die elastischen Konstanten \(C_{11}\) und \(C_{12}\) her.

\[ \sigma_{zz} = C_{11}\varepsilon_{zz} + C_{12}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}) = 0. \]

Durch Festlegen von \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}\) und anschließendes Lösen der Gleichung erhält man die Beziehung, die OghmaNano verwendet.

\[ \varepsilon_{zz} = -\,\frac{2 C_{12}}{C_{11}}\,\varepsilon_{xx}. \]

Die Schicht verformt sich daher auf entgegengesetzte Weise entlang. \(z\): eine unter Druck stehende Schicht (\(\varepsilon_{xx}\)<0\)) stretches along the growth direction (\(\varepsilon_{zz}>0) und umgekehrt. Für das Wachstum in [001]-Richtung sind die Schubkomponenten entscheidend. \(\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{xz}, \varepsilon_{yz}\) sind alle Null, daher ist die Beanspruchung rein biaxial.

3. Hydrostatische und biaxiale Bauteile

Es ist sinnvoll, die Beanspruchung in einen hydrostatischen Teil, der das Volumen verändert, und einen biaxialen (Schub-)Teil, der die Form verändert, aufzuteilen. Der hydrostatische Teil ist die Spur.

\[ \mathrm{Tr}(\varepsilon) = \varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} = 2\varepsilon_{xx}\left(1 - \frac{C_{12}}{C_{11}}\right), \]

Dadurch wird die Bandlücke durch die Deformationspotentiale verändert. Der biaxiale Anteil, der proportional zu \(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}\) ist, verändert nicht das Volumen, hebt aber die Entartung der Valenzbänder auf und spaltet in Silizium die Leitungsbandminima auf. Die beiden Anteile wirken über unterschiedliche Hamilton-Terme, sodass sie getrennt voneinander betrachtet werden können.

4. Auswirkung auf die Bandränder

Die hydrostatische Komponente verschiebt das Leitungsband um \(a_c\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) und das durchschnittliche Valenzband um \(a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\), wodurch sich die Bandlücke verändert. Die biaxiale Komponente wirkt auf das Valenzband über die Scher-Deformationspotenziale \(b\) und \(d\) (Zinkblende) und spaltet die schweren und leichten Löcher auf. Eine Druckbeanspruchung drückt typischerweise das schwere Loch nach oben, was die TE-Emission begünstigt; eine Zugbeanspruchung kann das leichte Loch nach oben drücken, was die TM-Emission begünstigt. Die genauen Operatoren sind Gegenstand der Bir–Pikus-Seite, und es wird dort und auf den Modellseiten (Zinkblende, Wurtzit, Silizium, Luttinger–Kohn) zusammengefasst, wie jeder Solver den Dehnungstensor verwendet.