El hamiltoniano de la cepa Bir-Pikus.

La deformación altera el potencial del cristal y, por lo tanto, desplaza y mezcla las bandas de valencia. El hamiltoniano de Bir-Pikus es el análogo de la deformación del hamiltoniano cinético k·p de las bandas de valencia: tiene exactamente la misma estructura, pero los componentes de la deformación sustituyen a los productos de los vectores de onda. OghmaNano lo implementa en dos formas equivalentes: una forma compacta \(P, Q, R, S\) para el solucionador de Luttinger-Kohn y una forma cartesiana explícita para los solucionadores de 8 bandas.

1. La forma P, Q, R, S

En la base del momento angular total, el hamiltoniano de la deformación de la banda de valencia se construye a partir de cuatro parámetros. Utilizando los potenciales de deformación \(a_v\) (hidrostático) y \(b, d\) (de cizallamiento), OghmaNano calcula:

\[ \begin{aligned} P &= a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon), \\ Q &= \tfrac{1}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}), \\ R &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) + i\,d\,\varepsilon_{xy}, \\ S &= -\,d\,(\varepsilon_{xz} - i\,\varepsilon_{yz}), \end{aligned} \]

donde \(\mathrm{Tr}(\varepsilon)=\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}\) es…; \(P\) representa el desplazamiento hidrostático de la banda de valencia promedio; \(Q\) es la división biaxial de los huecos pesados y ligeros; y \(R, S\) son los acoplamientos de cizallamiento que se anulan para la deformación no cizallada en la dirección [001]. Estas cuatro cantidades de deformación se suman directamente a la energía cinética \(P, Q, R, S\) del hamiltoniano Luttinger–Kohn, de modo que la misma matriz \(6\times6\) describe conjuntamente la física de la energía cinética y la deformación.

2. El formato cartesiano X/Y/Z.

El modelo de 8 bandas estructura de zincblenda funciona en la base de orbitales cartesianos, por lo que OghmaNano expresa la misma física que una matriz \(3\times3\) que actúa sobre \(|X\rangle, |Y\rangle, |Z\rangle\):

\[ H^{\varepsilon} = \begin{pmatrix} a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) \end{pmatrix}. \]

La componente diagonal combina el desplazamiento hidrostático \(a_v\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) con el término axial \(b(2\varepsilon_{ii}-\varepsilon_{jj}-\varepsilon_{kk})\); los términos de cizalladura fuera de la diagonal \(\sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{ij}\) se anulan para la deformación biaxial [001]. El potencial de deformación es independiente del espín, por lo que OghmaNano aplica este bloque \(3\times3\) de forma idéntica a los orbitales de valencia con espín ascendente y con espín descendente.

3. ¿Por qué las dos formas concuerdan?

Las formas cartesiana y \(P, Q, R, S\) están relacionadas mediante la misma transformación unitaria que conecta los orbitales \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) con los estados \(|J,m_j\rangle\). Por ejemplo, la diferencia diagonal cartesiana \(b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}- \varepsilon_{yy})\) es exactamente \(-2Q\) con \(Q\), tal como se define anteriormente, y los términos de cizalladura se corresponden con \(R\) y \(S\). Ambas formas utilizan los mismos tres potenciales de deformación y dan energías de valencia idénticas; la elección es puramente una cuestión de conveniencia, dependiendo de la base que utilice cada solucionador.

4. Los potenciales de deformación.

Tres parámetros controlan la respuesta a la deformación de la banda de valencia. El potencial hidrostático \(a_v\) determina cómo varía la energía promedio de la banda de valencia con el volumen; combinado con el potencial de conducción \(a_c\), da como resultado el potencial de deformación de la banda prohibida \(a = a_c - a_v\). El potencial axial \(b\) controla la división tetragonal (biaxial) de los huecos pesados y ligeros bajo deformación en la dirección [001], y \(d\) controla la respuesta a las deformaciones de cizallamiento a lo largo de otras direcciones. Los tres parámetros tienen unidades de energía (eV) y, por lo general, son negativos para la banda de valencia. Sus valores y las convenciones de signos se analizan en la página parámetros del material.