O Hamiltoniano da linhagem Bir–Pikus.

A deformação altera o potencial do cristal e, consequentemente, desloca e mistura as bandas de valência. O Hamiltoniano de Bir–Pikus é o análogo da deformação do Hamiltoniano de valência cinético k·p: tem exatamente a mesma estrutura, com os componentes de deformação a substituir os produtos de vetores de onda. A OghmaNano implementa-o em duas formas equivalentes: uma forma compacta \(P, Q, R, S\) para o solucionador de Luttinger–Kohn e uma forma cartesiana explícita para os solucionadores de 8 bandas.

1. A forma P, Q, R, S

No espaço de estados definido pelo momento angular total, o Hamiltoniano da deformação da banda de valência é construído a partir de quatro grandezas. Utilizando os potenciais de deformação \(a_v\) (hidrostático) e \(b, d\) (de cisalhamento), o OghmaNano calcula:

\[ \begin{aligned} P &= a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon), \\ Q &= \tfrac{1}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}), \\ R &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) + i\,d\,\varepsilon_{xy}, \\ S &= -\,d\,(\varepsilon_{xz} - i\,\varepsilon_{yz}), \end{aligned} \]

onde \(\mathrm{Tr}(\varepsilon)=\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}\) representa \(P\), que é o deslocamento hidrostático da banda de valência média; \(Q\) representa a divisão biaxial de lacunas pesadas e leves; e \(R, S\) representa os acoplamentos de cisalhamento que desaparecem para a deformação [001] não sujeita a cisalhamento. Estas quatro quantidades de deformação são adicionadas diretamente à energia cinética \(P, Q, R, S\) do Hamiltoniano Luttinger–Kohn, de modo que a mesma matriz \(6\times6\) descreve a energia cinética e a física da deformação em conjunto.

2. O formato cartesiano X/Y/Z

O modelo de 8 bandas estrutura de tipo esfalerita funciona na base orbital cartesiana, pelo que o OghmaNano expressa a mesma física que uma matriz \(3\times3\) atuando sobre \(|X\rangle, |Y\rangle, |Z\rangle\):

\[ H^{\varepsilon} = \begin{pmatrix} a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) \end{pmatrix}. \]

A componente diagonal combina o deslocamento hidrostático \(a_v\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) com o termo axial \(b(2\varepsilon_{ii}-\varepsilon_{jj}-\varepsilon_{kk})\); os termos de cisalhamento fora da diagonal \(\sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{ij}\) desaparecem para a deformação biaxial [001]. O potencial de deformação é independente do spin, pelo que o OghmaNano aplica este bloco \(3\times3\) de forma idêntica aos orbitais de valência com spin para cima e com spin para baixo.

3. Por que razão as duas formas concordam?

As formas cartesiana e \(P, Q, R, S\) estão relacionadas por meio da mesma transformação unitária que conecta os orbitais \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) aos estados \(|J,m_j\rangle\). Por exemplo, a diferença diagonal cartesiana \(b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}- \varepsilon_{yy})\) é exatamente igual a \(-2Q\) com \(Q\), conforme definido acima, e os termos de cisalhamento são mapeados para \(R\) e \(S\). Ambas as formas utilizam os mesmos três potenciais de deformação e fornecem energias de valência idênticas; a escolha é puramente uma questão de conveniência, dependendo da base que cada solucionador utiliza.

4. Os potenciais de deformação

Três parâmetros controlam a resposta à deformação da banda de valência. O potencial hidrostático \(a_v\) define como a energia média da banda de valência varia com o volume; combinado com o potencial de condução \(a_c\), ele determina o potencial de deformação da banda proibida \(a = a_c - a_v\). O potencial axial \(b\) controla a divisão tetragonal (biaxial) dos níveis de energia dos elétrons e lacunas leves sob deformação na direção [001], e \(d\) controla a resposta às deformações de cisalhamento em outras direções. Todos os três parâmetros têm unidades de energia (eV) e, normalmente, são negativos para a banda de valência. Os seus valores e convenções de sinal são discutidos na página parâmetros-do-material.