Гамільтоніан для штаму Бір–Пікуса

Деформація змінює кристалічний потенціал, а отже, зсуває та перемішує валентні зони. Гамільтоніан Біра–Пікуса є аналогом кінетичного гамільтоніана валентних зон k·p, що враховує деформацію: він має абсолютно таку ж структуру, але компоненти деформації замінюють добутки хвильових векторів. OghmaNano реалізує його у двох еквівалентних формах: у компактній формі \(P, Q, R, S\) для розв’язувача Луттінгера–Кона та у явній декартовій формі для розв’язувачів, що працюють з 8 зонами.

1. Форма P, Q, R, S.

У просторі, що описується повним кутовим моментом, гамільтоніан деформаційних напружень будується на основі чотирьох величин. Використовуючи потенціали деформації \(a_v\) (гідростатичний) і \(b, d\) (зсувний), OghmaNano обчислює

\[ \begin{aligned} P &= a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon), \\ Q &= \tfrac{1}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}), \\ R &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) + i\,d\,\varepsilon_{xy}, \\ S &= -\,d\,(\varepsilon_{xz} - i\,\varepsilon_{yz}), \end{aligned} \]

де \(\mathrm{Tr}(\varepsilon)=\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}\) – параметр; \(P\) – гідростатичне зміщення середньої валентної зони; \(Q\) – біаксіальне розщеплення важких і легких дірок; а \(R, S\) – сили зсуву, які зникають для недеформованого зразка з орієнтацією [001]. Ці чотири параметри деформації безпосередньо додаються до кінетичної енергії \(P, Q, R, S\) гамільтоніана Луттінджера–Кона, щоб одна й та сама матриця \(6\times6\) описувала як кінетичні, так і деформаційні ефекти.

2. Декартова система координат X/Y/Z.

Восьмизонна цинкова бленда модель працює в декартовій орбітальній системі координат, тому OghmaNano описує ту саму фізику, що й \(3\times3\) матриця, яка діє на \(|X\rangle, |Y\rangle, |Z\rangle\):

\[ H^{\varepsilon} = \begin{pmatrix} a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) \end{pmatrix}. \]

Діагональний елемент поєднує гідростатичний зсув \(a_v\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) з аксіальним членом \(b(2\varepsilon_{ii}-\varepsilon_{jj}-\varepsilon_{kk})\); недіагональні члени зсуву \(\sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{ij}\) зникають при двовісній деформації [001]. Потенціал деформації не залежить від спіну, тому OghmaNano застосовує цей \(3\times3\) блок однаково до валентних орбіталей зі спіном «вгору» та спіном «вниз».

3. Чому ці дві форми узгоджуються між собою.

Декартова та \(P, Q, R, S\) форми пов’язані між собою одним і тим самим унітарним перетворенням, яке встановлює зв’язок між \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) атомними орбіталями та \(|J,m_j\rangle\) станами. Наприклад, декартова діагональна різниця \(b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}- \varepsilon_{yy})\) точно дорівнює \(-2Q\) при \(Q\), як визначено вище, а компоненти зсуву відображаються на \(R\) і \(S\). Обидві форми використовують одні й ті самі три потенціали деформації та дають ідентичні валентні енергії; вибір залежить виключно від зручності для базового набору, який використовує кожен розв’язувач.

4. Потенціали деформації

Трьома параметрами контролюється реакція на валентну деформацію. Гідростатичний потенціал \(a_v\) визначає, як змінюється середня валентна енергія зі зміною об’єму; у поєднанні з потенціалом провідності \(a_c\) він визначає потенціал деформації зони \(a = a_c - a_v\). Осьовий потенціал \(b\) контролює тетрагональне (двовісне) розщеплення важких і легких дірок під дією деформації [001], а \(d\) контролює реакцію на деформацію зсуву в інших напрямках. Усі три параметри мають одиниці вимірювання енергії (еВ) і зазвичай є від’ємними для валентної зони. Їхні значення та умовні позначення обговорюються на сторінці параметри матеріалу.