Розуміння шестисмугової валентної моделі Люттінгера–Кона

Навіщо нам потрібна окрема модель для отворів?

У навчальному матеріалі про параболічні зони ми розглядали електрони та дірки, використовуючи окремі параболи. Це корисна відправна точка, але верхні валентні зони багатьох напівпровідників значно складніші. Замість однієї зони дірок ми маємо справу з кількома тісно розташованими зонами, які можуть взаємодіяти між собою.

Зазвичай їх називають зонами важких дірок (HH), легких дірок (LH) і розщеплених зон (SO), що зображено на ??. Назви «важкі» та «легкі» стосуються різних кривизн цих зон і, відповідно, різних ефективних мас; це не означає, що існує два різні типи фізичних дірок.

Цей. шестисмугова модель Люттінгера–Кона (LK) описує ці валентні стани разом. Це особливо корисно для кремнію, германію та квантових ям SiGe, де провідні стани можна розглядати окремо. модель Кремнієвої долиниНа відміну від восьмизонної моделі, шестизонна модель LK не містить явно визначеної зони провідності: вона зосереджується на фізиці дірок.

Звідки беруться ці шість станів?

Щоб зрозуміти значення числа шість, корисно почати з валентних орбіталей. Поблизу центру зони відповідні стани в напівпровідниках типу алмазу та цинк-бленду мають три компоненти орбіталей, схожі на p-орбіталі, які ми можемо позначити як X, Y і Z. Електрон також має дві можливі компоненти спіну. Отже, три компоненти орбіталей, помножені на дві компоненти спіну, дають шість станів.

В кристалі взаємодія між орбітальним і спіновим моментами імпульсу поєднує їх. Тому зручно замінити окремі позначення для орбітального та спінового моментів імпульсу на позначення станів повного моменту імпульсу, які позначаються як J і його проєкція mJ. Шість станів розділяються на групу з чотирьох станів, для яких J = 3/2, і групу з двох станів, для яких J = 1/2:

\[ \underbrace{4\text{ states}}_{J=3/2} \quad+\quad \underbrace{2\text{ states}}_{J=1/2} \quad=\quad 6\text{ states}. \]

Чотири стани з J = 3/2 утворюють важку та легку зони в центрі зони Бріллюена. Решта пар станів утворює розщеплену зону, зміщену вниз під дією енергії спін-орбітальної взаємодії \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Це не шість непов’язаних парабол: коли носій віддаляється від центру зони, різні компоненти можуть змішуватися, тому їх потрібно розв’язувати разом.

Вибір шестисмугової системи координат

OghmaNano використовує базис, що ґрунтується на повному кутовому моменті, зі встановленою послідовністю станів:

\[ \begin{aligned} &\left|\tfrac32,+\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,-\tfrac12\right\rangle,\\[4pt] &\left|\tfrac32,-\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,-\tfrac12\right\rangle. \end{aligned} \]

Перший і четвертий стани мають властивості важких дірок, два середні стани групи J = 3/2 мають властивості легких дірок, а останні два стани є відщепленими станами. Така послідовність є зручною, оскільки розщеплення спін-орбітальної взаємодії вже враховано в основі: у центрі зони відщеплена пара розташована \(\Delta_{\mathrm{so}}\) нижче за верхні валентні стани.

Отже, ми можемо створити гамільтоніан розміром 6 × 6, тобто матрицю, яка описує окремі стани та взаємодії між ними. Допустимі значення енергії отримують шляхом знаходження власних значень цієї матриці, а власні вектори вказують на те, чи є кожен отриманий стан важкою, легкою або розділеною зоною.

Як ми описуємо рух отвору?

В одній параболічній зоні єдина ефективна маса визначає, як швидко змінюється енергія залежно від хвильового вектора. У нашому випадку ми маємо декілька взаємопов’язаних валентних станів, тому однієї маси вже недостатньо. Натомість модель Луттінгера — Кона використовує три матеріальні параметри: \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) і \(\gamma_3\), щоб описати кривизну та змішування зон.

Ці параметри об’єднуються у чотири зручні математичні величини, які традиційно позначаються як \(P\), \(Q\), \(R\) і \(S\). Їх фізичну роль легше зрозуміти, перш ніж ознайомитися з їхніми повними формулами:

• \(P\): загальний внесок у кривизну валентних станів.
• \(Q\): дозволяє розрізняти різні орієнтації важких і легких зонних станів і визначати їхні енергії.
• \(R\): поєднує валентні компоненти за допомогою руху в площині напівпровідникових шарів.
• \(S\): пари атомів з’єднуються за допомогою комбінації руху в одній площині та руху між шарами.

Основний хвильовий вектор має три складові: \(k_x\) і \(k_y\) описують рух паралельно до шарів квантової ями, тоді як \(k_z\) вказує на напрямок росту, перпендикулярний до них. Ми також визначаємо \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\), де \(m_0\) – маса вільних електронів.

Відповідно до умовної системи позначень, що використовується в наданій формулі OghmaNano, кінетичні складові такі:

\[ \begin{aligned} P_k &= -A_0\gamma_1(k_x^2+k_y^2+k_z^2),\\[5pt] Q_k &= -A_0\gamma_2(k_x^2+k_y^2-2k_z^2),\\[5pt] R_k &= \sqrt{3}A_0\left[\gamma_2(k_x^2-k_y^2) -2i\gamma_3k_xk_y\right],\\[5pt] S_k &= 2\sqrt{3}A_0\gamma_3(k_x-ik_y)k_z. \end{aligned} \]

Нам не потрібно запам’ятовувати ці вирази, щоб зрозуміти модель. Замість цього зверніть увагу на те, що деякі терміни залежать від \(k_x\) і \(k_y\) інакше, ніж від \(k_z\). Це математичний принцип, який дозволяє моделі описувати різні типи поведінки важких і легких дірок у різних кристалічних напрямках. Уявні множники в \(R\) і \(S\) є частиною обраної квантової бази; повний гамільтоніан залишається ермітовим і має дійсні значення енергії.

Корисний приклад: отвір, що переміщується вздовж напрямку росту.

Перш ніж розглядати повну матрицю, проаналізуємо простіший випадок, коли вектор хвилі в площині дорівнює нулю, тобто \(k_x=k_y=0\). У цьому випадку кінетичні члени спрощуються до:

\[ \begin{aligned} P_k &=-A_0\gamma_1k_z^2,\\[3pt] Q_k &=+2A_0\gamma_2k_z^2,\\[3pt] R_k &=0,\qquad S_k=0. \end{aligned} \]

Отже, діагональ для важких дірок містить \(P+Q\), а діагональ для легких дірок містить \(P-Q\). Навіть без обчислення всіх власних значень, ми можемо побачити, як виникають різні кривизни:

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{HH}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1-2\gamma_2)k_z^2,\\[4pt] E_{\mathrm{LH,diag}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1+2\gamma_2)k_z^2. \end{aligned} \]

Ці вирази показують різні масштаби кривизни вздовж напрямку росту. Важливо зазначити наступне: «світла» частина повної шестизонної гамільтоніани все ще може взаємодіяти з розщепленими станами через \(Q\). Таким чином, другий вираз є діагональним внеском, і, як правило, не є точною власною функцією «світлої» зони шестизонної моделі. Це наочно демонструє, чому нам потрібно розв’язувати матричне рівняння, а не припускати, що кожна валентна зона є незалежною параболічною функцією.

Об’єднання шести штатів.

Тепер, коли кожен доданок має фізичний зміст, ми можемо скласти повний гамільтоніан. Його рядки та стовпці відповідають, у певному порядку, шести станам, які були введені раніше. Ми вимірюємо енергії відносно опорної точки валентної зони \(E_v\) і записуємо \(\Delta=\Delta_{\mathrm{so}}\):

\[ \small H=E_v\mathbb{1}+ \begin{pmatrix} P+Q & S & R & 0 & -S/\sqrt2 & -\sqrt2 R\\ S^\dagger & P-Q & 0 & R & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S\\ R^\dagger & 0 & P-Q & -S & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q\\ 0 & R^\dagger & -S^\dagger & P+Q & \sqrt2 R^\dagger & -S^\dagger/\sqrt2\\ -S^\dagger/\sqrt2 & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S & \sqrt2 R & P-\Delta & 0\\ -\sqrt2 R^\dagger & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q & -S/\sqrt2 & 0 & P-\Delta \end{pmatrix}. \]

Це виглядає набагато складніше, ніж просте рівняння Шредінгера, але його структура досить проста. Перші чотири рядки та стовпці описують важку та легку зони провідності. Останні два описують розділену пару. Елементи на головній діагоналі описують енергії окремих компонентів, а елементи, що не знаходяться на головній діагоналі, змішують їх. Символ «кинджал» позначає ермітове спряження члена; для скалярного коефіцієнта це означає його комплексно спряжений вигляд.

У центрі зони та за відсутності напружень кінетичні члени зникають: чотири стани з J = 3/2 мають спільну межу валентної зони, а розщеплена пара розташована \(\Delta\) нижче за нею. Подалі від центру зони змішування змінює енергії та характеристики утворених зон.

Що відбувається, коли напівпровідник піддається деформації?

Квантові ями, що містять кремній і германій, часто вирощують на підкладці з дещо іншою сталою решітки. Це створює напруження, яке може змінити енергію валентних електронів і зняти виродження важких і легких діркових станів.

Однією з корисних особливостей формулювання Люттінгера–Кона є те, що деформацію можна ввести, використовуючи інший набір членів \(P,Q,R,S\). Ми просто об’єднуємо кінетичні та деформаційні складові:

\[ \begin{aligned} P&=P_k+P_{\varepsilon}, &Q&=Q_k+Q_{\varepsilon},\\ R&=R_k+R_{\varepsilon}, &S&=S_k+S_{\varepsilon}. \end{aligned} \]

Наприклад, внесок гідростатичної деформації реагує на загальну зміну об’єму, тоді як біаксіальна складова розрізняє деформацію вздовж напрямку росту та деформацію в площині:

\[ \begin{aligned} P_{\varepsilon}&=a_v(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}),\\[4pt] Q_{\varepsilon}&=\frac{b}{2} (\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}). \end{aligned} \]

Решта складових деформації впливають на \(R_{\varepsilon}\) і \(S_{\varepsilon}\), що дає змогу деформації зсуву змішувати валентні стани. Їхні повні вирази та умовні позначення деформаційного потенціалу наведено на сторінці сторінка про деформацію Біра–Пікуса. Після цього ми можемо розв’язати ту саму шестисмугову матрицю, включивши до неї члени, що описують деформацію.

Застосування моделі до квантової ями

До цього моменту ми описували зонну структуру, використовуючи три компоненти хвильового вектора. У квантовій ямі носії локалізовані вздовж напрямку росту \(z\), але при цьому можуть вільно рухатися вздовж \(x\) і \(y\). Тому площинні хвильові вектори зберігаються у вигляді чисел, але рух вздовж \(z\) має бути представлений оператором:

\[ k_z\longrightarrow-i\frac{d}{dz}. \]

Усі члени, що містять \(k_z\), стають похідними від амплітудних хвильових функцій. Потім розв’язується задача для шести зон у шарах напівпровідника, враховуючи профіль потенціалу, параметри матеріалу та деформацію. У результаті отримуємо набір локалізованих валентних підзон, кожна з яких має шестикомпонентну амплітудну хвильову функцію. Ці компоненти показують, яка частка важких, легких і розділених дірок присутня в кожному стані.

Якщо сітка, що визначає напрямок росту, містить \(N_z\) просторових точок, дискретний гамільтоніан має розмірність \(6N_z\) на \(6N_z\). OghmaNano використовує цей багатосмуговий розрахунок для валентних станів, тоді як розв’язувач для кремнієвої дельта-долини обробляє провідні стани окремо. На відміну від простого параболічного наближення, цей підхід може описувати змішування валентної зони, яке змінюється залежно від хвильового вектора в площині. Повний розрахунок Si/SiGe з використанням цієї моделі продемонстровано в навчальному посібнику з шестисмугової квантової ями Люттінгера–Кона.

Який зв’язок між цим і восьмирівневою моделлю?

Шестиканальна модель LK і восьмизонна модель цинкбленду k·p вони описують пов’язані фізичні явища, але по-різному визначають, які стани включатимуться безпосередньо. Обидві моделі зберігають взаємодіючі валентні стани. Восьмизонна модель також додає два спін-розділені, схожі на s-стани провідності та їхнє з’єднання за Каном до валентної зони.

У напівпровіднику, такому як кремній, де мінімальні значення провідності досягаються не в центрі зони, восьмизонна гамільтонова функція, зосереджена в центрі зони, не є прямим описом цих шести мінімумів. Тому доцільно розглядати валентну зону за допомогою шестизонної моделі ЛК, а зону провідності – за допомогою спеціальної моделі мінімумів.