Псевдоморфна епітаксія та тензори деформації

Коли шар наноситься на підкладку з іншою сталою решітки, він деформується, щоб відповідати міжплощинній відстані підкладки. Ця псевдоморфна деформація не є чимось небажаним, від чого слід уникати: це інструмент проєктування, який змінює межі зон, розділяє зони важких і легких дірок і регулює довжину хвилі та поляризацію випромінювання. На цій сторінці наведено тензор деформації, який використовує OghmaNano, і пояснюється, як він впливає на гамільтоніани k·p.

1. Псевдоморфний ріст

За певної критичної товщини утворюється тонка, однорідна структура: її атомні ряди в площині вирівнюються з підкладкою, тому її кристалічна ґратка в площині набуває значень, що відповідають підкладці, водночас вона вільно розширюється у напрямку росту. Отже, напруження в площині становить

\[ \varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} = \frac{a_{\text{sub}} - a_{\text{layer}}}{a_{\text{layer}}}, \]

де \(a_{\text{sub}}\) і \(a_{\text{layer}}\) – параметри ґратки ненапруженого субстрату та шару. Якщо природна відстань між атомами шару перевищує відстань між атомами субстрату (\(a_{\text{layer}} > a_{\text{sub}}\)), то напруга в площині шару є від’ємною, і шар зазнає стискаючої деформації; навпаки, якщо відстань між атомами субстрату перевищує відстань між атомами шару, то напруга в площині шару є додатньою, і шар зазнає розтягуючої деформації. Програма OghmaNano повідомляє про помилку, якщо відсутні параметри ґратки або пружні характеристики, оскільки в такому разі неможливо визначити напругу.

2. Деформація поза площиною.

Уздовж напрямку росту шар не зазнає обмежень, тому напруження, перпендикулярне до поверхні, відсутнє: \(\sigma_{zz}=0\). Для кубічного кристала, який росте на площині [001], закон Гука пов’язує нормальне напруження з деформаціями через пружні константи \(C_{11}\) і \(C_{12}\).

\[ \sigma_{zz} = C_{11}\varepsilon_{zz} + C_{12}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}) = 0. \]

Встановлення \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}\) та розв’язання дають співвідношення, яке використовує OghmaNano.

\[ \varepsilon_{zz} = -\,\frac{2 C_{12}}{C_{11}}\,\varepsilon_{xx}. \]

Отже, цей шар деформується в протилежних напрямках уздовж \(z\): шар, що зазнає стискальних деформацій (\(\varepsilon_{xx}\)<0\)) stretches along the growth direction (\(\varepsilon_{zz}>0), і навпаки. Для [001] напрямку росту важливими є компоненти зсуву. \(\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{xz}, \varepsilon_{yz}\) всі вони дорівнюють нулю, тому деформація є виключно двовісною.

3. Гідростатичні та біаксіальні компоненти

Корисно розділити напруження на гідростатичну складову, яка змінює об’єм, і двовісну (дотичну) складову, яка змінює форму. Гідростатична складова є слідом.

\[ \mathrm{Tr}(\varepsilon) = \varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} = 2\varepsilon_{xx}\left(1 - \frac{C_{12}}{C_{11}}\right), \]

яка змінює ширину забороненої зони за допомогою потенціалів деформації. Двовісна складова, пропорційна \(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}\), не змінює об’єм, але усуває виродження валентних зон і, у випадку кремнію, розділяє провідні долини. Обидві складові діють через різні члени гамільтоніана, тому їх можна обговорювати окремо.

4. Вплив на краї смуги.

Гідростатична складова зсуває зону провідності на \(a_c\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\), а середню валентну зону – на \(a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\), змінюючи ширину забороненої зони. Двовісна складова впливає на валентну зону через потенціали зсувної деформації \(b\) і \(d\) (для структури цинкбленду) і розщеплює важкі та легкі дірки. Зазвичай, стискальна деформація підіймає важку дірку вгору, сприяючи TE-випромінюванню; розтягувальна деформація може підіймати легку дірку вгору, сприяючи TM-випромінюванню. Точні оператори є темою сторінка Bir–Pikus, а те, як кожен розв’язувач використовує тензор деформації, узагальнено там і на сторінках моделей ( цинкбленду, вюрциту, кремнію, Луттінджера–Кона).