Базисні стани, функціонали огинальної та багатосмугові гамільтоніани.

Навчальні цілі. Після прочитання цієї сторінки ви повинні вміти:

Розрізняють функції Блоха, клітинно-періодичні функції та функції амплітуди.
Зазначте наближення за допомогою обвідної функції для гетероструктур.
Зрозумійте процедуру заміни оператора \(k_z \to -i\,d/dz\).
Ознайомтеся з блоковим гамільтоніаном і визначте його підблоки, що відповідають за провідність і валентність.
Ознайомтеся з основними алгоритмами, які використовуються в багатодіапазонних вирішувачах OghmaNano.

Необхідні знання. вступ до теорії k·p та розділ про метод скінченних різниць.

Орієнтовний час читання: 25 хвилин.

Щоб перетворити об’ємний гамільтоніан k·p на задачу, що описує квантову яму, потрібні два компоненти: наближення за допомогою амплітудної функції, яке дозволяє об’ємній матриці описувати структуру, що змінюється в просторі, і узгоджений набір базисних функцій, у якому можна записати цю матрицю. На цій сторінці зібрано обидва ці компоненти та занотовано точний порядок базисних функцій, який використовує OghmaNano, щоб сторінки, що містять інформацію про конкретну модель, могли посилатися на єдине визначення.

1. Три види функцій

Варто виділити три об’єкти, які легко сплутати. Функція Блоха \(\psi_{n\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}\) є точним власним станом кристала. Періодична за коміркою функція \(u_{n0}\) в центрі зони є однією з фіксованих базових функцій — схожа на s-функцію для зони провідності та на p-функцію (\(X,Y,Z\)) для валентної зони. Оболонкова функція \(F_n(z)\) — це амплітуда, яка повільно змінюється і множить кожну базову функцію, передаючи ефект локалізації. У гетероструктурі повний стан є сумою базових функцій.

\[ \Psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}_\parallel\cdot\boldsymbol{\rho}} \sum_n F_n(z)\, u_{n0}(\mathbf{r}), \]

і саме цей набір «конвертів» \(\{F_n(z)\}\) обчислює алгоритм.

2. Наближення за допомогою обвідної функції

Метод апроксимації за допомогою «огинаючої функції» ґрунтується на двох припущеннях: по-перше, однакові базові функції для центру зони \(u_{n0}\) можуть використовуватися в кожному шарі, і по-друге, параметри матеріалу (ширина забороненої зони, маси, параметри Кейна та Люттінгера) змінюються в залежності від положення в масштабі, який значно більший за постійну решітки. У результаті матриця k·p для об’ємної структури перетворюється на диференціальний оператор, що діє на «огинаючі функції», причому коефіцієнти цього оператора залежать від положення. Ключова зміна полягає в тому, що хвильовий вектор, який визначає напрямок росту, перетворюється на диференціальний оператор.

\[ k_z \;\longrightarrow\; -i\,\frac{d}{dz}, \]

оскільки вектори хвилі в площині \(k_x, k_y\) залишаються хорошими квантовими числами, оскільки структура є трансляційно інваріантною в площині. Кожен член \(k_z\) у гамільтоніані замінюється цим оператором, а кожен член \(k_z^2\) – симетричною другою похідною від попередньої сторінки. Добутки, такі як \(k_x k_z\), перетворюються на \(k_x(-i\,d/dz)\) і симетризуються таким чином, щоб оператор залишався ермітовим, коли коефіцієнт змінюється. В результаті отримуємо матричне диференціальне рівняння для амплітуд, яке дискретизується, як описано на сторінці сторінка з методом скінченних різниць.

3. Аналіз блокової гамільтоніанової функції.

Багатосмуговий гамільтоніан найкраще аналізувати, розбиваючи його на невелику кількість блоків, перш ніж досліджувати окремі елементи. Найбільш загальний поділ відокремлює стани, що нагадують провідні, від станів, що нагадують валентні.

\[ H = \begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv} \\[2pt] H_{vc} & H_{vv} \end{pmatrix}, \]

де \(H_{cc}\) описує s-подібні провідні стани, \(H_{vv}\) – p-подібні валентні стани, а \(H_{cv}=H_{vc}^\dagger\) – зв’язок імпульсу Кейна між ними. Провідний блок по суті є (непараболічним) оператором ефективної маси; валентний блок містить фізику важких, легких і розділених дірок; а блок зв’язку робить модель «багатосмуговою» у широкому сенсі, пов’язуючи непараболічність провідності з валентною структурою. До відповідних блоків додаються члени, що враховують деформацію та спін-орбітальну взаємодію.

Conceptual 2x2 block structure of a multiband k dot p Hamiltonian with conduction, valence and coupling blocks. — Рисунок 1. Схематична структура багатосмугового гамільтоніана: провідний блок \(H_{cc}\), валентний блок \(H_{vv}\) і зв’язок Кейна \(H_{cv}\).

4. Основні параметри, що використовуються в OghmaNano.

Числове значення елемента гамільтоніана залежить від порядку, в якому перелічуються базисні стани. OghmaNano використовує фіксовану декартову орбітальну базу для моделей цинкбленду та вюрциту, а також базу на основі повного кутового моменту для моделі Луттінгера — Кона. Порядок переліку такий:

8-смугова структура цинкбленду та 8-смугова структура вюрциту: \(\{\,|S\!\uparrow\rangle,\ |S\!\downarrow\rangle,\ |X\!\uparrow\rangle,\ |Y\!\uparrow\rangle,\ |Z\!\uparrow\rangle,\ |X\!\downarrow\rangle,\ |Y\!\downarrow\rangle,\ |Z\!\downarrow\rangle\,\}\).
Десятисмугова структура цинкбленду: вісім основних смуг, за якими слідують дві локалізовані зони азоту \(\{\,|N\!\uparrow\rangle,\ |N\!\downarrow\rangle\,\}\).
Шестисмугова модель Люттінгера–Кона: \(\{\,\text{HH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\downarrow,\ \text{HH}\!\downarrow,\ \text{SO}\!\uparrow,\ \text{SO}\!\downarrow\,\}\).
Кремнієва дельта-долина: єдина (скалярна) зона на кожну долину, розраховується один раз для кожної з шести орієнтацій долини.

The zincblende eight-band basis built from one s-like and three p-like orbitals, each with two spins. — Рисунок 2. Базис із восьми електронних зон для кристалічних структур цинкбленду та вюрциту: одна s-подібна провідна орбіталь і три p-подібні валентні орбіталі, кожна з яких має два стани спіну: «спін вгору» та «спін вниз».

Використання картезіанських \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) атомних орбіталей замість комбінацій, що враховують повний кутовий момент \(|J,m_j\rangle\), дозволяє зберегти взаємозв’язки між імпульсом і деформацією реальними та простими для обчислення, але за рахунок того, що спін-орбітальна взаємодія залишається явною недіагональною величиною. Натомість модель Люттінгера–Кона використовує базис \(|J,m_j\rangle\), в якому спін-орбітальна взаємодія є діагональною, але кінетичні члени набувають класичної форми \(P,Q,R,S\). Обидва варіанти фізично еквівалентні; кожен з них зручний для певної моделі, і обидва описані на відповідних сторінках.

Основні моменти/ключові аспекти

Повний стан гетероструктури є сумою базових функцій, визначених у центрі зони, помножених на повільно змінні амплітуди.
Метод апроксимації за допомогою «огинальної функції» замінює \(k_z\) на \(-i\,d/dz\), при цьому \(k_x,k_y\) зберігає свої властивості як хороші квантові числа.
Багатосмуговий гамільтоніан поділяється на блоки, що описують провідність, валентність і взаємодію за схемою Кейна.
OghmaNano використовує декартову систему координат S/X/Y/Z⊗spin для кристалічних структур цинкбленду та вюрциту, а також систему \(|J,m_j\rangle\) для моделі Люттінгера–Кона.