Розуміння 8-смугової моделі цинкбленду k·p.

Навіщо нам потрібно вісім діапазонів?

У нашому навчальному матеріалі про параболічні зони ми розглядали зони провідності та валентності як незалежні параболи. Це корисна відправна точка: розв’язування рівняння Шредінгера в межах потенціальної ями дає обмежені стани, а дозволяючи носіям заряду рухатися паралельно до шарів, ми перетворюємо ці стани на електронні підзони. Але це передбачає, що кожну зону можна описати за допомогою однієї ефективної маси.

Реальні зони провідності напівпровідників не є незалежними. У міру зміни хвильового вектора електрона, стани, отримані з різних атомних орбіталей, можуть взаємодіяти, змінюючи їхню енергію та форму хвильових функцій. Цей ефект особливо важливий у валентній зоні, де важка, легка та відщеплена зони розташовані близько одна до одної. Восьмизонна модель k·p описує ці взаємодії безпосередньо, а не намагається об’єднати їх усі в одну ефективну масу.

У цьому розділі ми розглядаємо напівпровідники з кристалічною структурою цинкбленду, зокрема такі матеріали, як GaAs, InAs та InP. Мета полягає в тому, щоб поетапно розробити восьмизонну модель: спочатку визначити стани, потім дослідити, як вони взаємодіють, і, нарешті, зрозуміти, що розв’язування отриманої матриці говорить нам про квантову яму.

Які вісім штатів?

Поруч із центром зони Бріллюена (точка Гамма) корисним початковим пунктом є опис стану зони провідності як стану, що має переважно S-подібну симетрію. Валентні стани мають переважно p-подібну симетрію, яку ми позначаємо літерами X, Y і Z, щоб вказати їх декартові орієнтації. Це кристалічні стани, а не окремі атомні орбіталі, але позначення орбіталей допомагають нам зрозуміти взаємодію між ними.

Якщо не враховувати спін, то ми маємо чотири стани:

\[ |S\rangle,\qquad |X\rangle,\qquad |Y\rangle,\qquad |Z\rangle. \]

Кожен стан може мати спін, спрямований вгору або вниз. Фактична базова функція, що використовується в цьому декартовому представленні, має такий вигляд:

\[ \begin{gathered} |S\uparrow\rangle,\quad |S\downarrow\rangle,\\[3pt] |X\uparrow\rangle,\quad |Y\uparrow\rangle,\quad |Z\uparrow\rangle,\\[3pt] |X\downarrow\rangle,\quad |Y\downarrow\rangle,\quad |Z\downarrow\rangle. \end{gathered} \]

Звідси й походить назва «восьмисмугова модель»: чотири орбітальні функції, помножені на дві спінові складові. Спочатку ми не враховуватимемо спінову взаємодію, щоб спочатку зрозуміти простішу задачу, що включає чотири стани. Спін-орбітальну взаємодію буде введено після того, як стане зрозумілою орбітальна взаємодія.

Що означає, коли два музичні гурти об’єднуються?

Уявіть, що ми знаємо енергії станів S і X у точці Гамма. Якщо ці два стани ніколи не взаємодіяли б, то зміна хвильового вектора просто змінювала б їхні індивідуальні енергії. Однак у реальному кристалі рух у періодичному потенціалі може призвести до їхньої взаємодії. Тоді хвильова функція електрона може містити суміш характеристик, подібних до станів S і X, а не належати виключно одному зі станів.

Ми представляємо це, записуючи хвильову функцію у вигляді суми базових станів. Наприклад, для системи з чотирма орбіталями:

\[ |\Psi\rangle = c_S|S\rangle+c_X|X\rangle+c_Y|Y\rangle+c_Z|Z\rangle. \]

Коефіцієнти показують, наскільки кожен базовий стан впливає на конкретне рішення. Замість того, щоб розв’язувати окреме рівняння для кожної орбіталі, ми розв’язуємо матричне рівняння Шредінгера, яке визначає всі коефіцієнти разом:

\[ H\,\mathbf{c}=E\,\mathbf{c},\qquad \mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_S\\c_X\\c_Y\\c_Z\end{pmatrix}. \]

Значення, розташовані по діагоналі, описують енергію кожного стану. Значення, розташовані поза діагоналлю, описують взаємодію між різними станами. Якщо ці значення, розташовані поза діагоналлю, дорівнюють нулю, то стани залишаються незалежними. Якщо вони не дорівнюють нулю, розв’язання матриці змінює як допустимі значення енергії, так і склад отриманих хвильових функцій.

З’єднання Кейна: зв’язок між зонами провідності та валентності.

У теорії k·p взаємодія між провідним станом типу S і валентними станами X, Y і Z залежить від хвильового вектора електрона. Ця взаємодія описується за допомогою зв’язку Кейна. Наприклад, стани S і X пов’язані членом, пропорційним компоненті хвильового вектора вздовж осі x; відповідні зв’язки між станами S і Y, а також S і Z залежать від компонент y і z.

Використовуючи умовне позначення «енергія помножена на час і довжину» для параметра Кейна P, ми можемо схематично записати взаємозв’язки наступним чином:

\[ H_{SX}\propto iPk_x,\qquad H_{SY}\propto iPk_y,\qquad H_{SZ}\propto iPk_z. \]

Тут параметр P визначає інтенсивність взаємодії. Його величина часто виражається через енергію Кейна, \(E_p\):

\[ P=\sqrt{A_0E_p},\qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}, \]

де \(m_0\) — маса вільних електронів. Більше значення параметра Кейна призводить до сильнішої взаємодії провідних і валентних зон, коли хвильовий вектор віддаляється від точки Гамма. Уявні множники та знаки у повній гамільтоніані залежать від обраної системи координат; важлива фізична ідея полягає в тому, що діагональні члени пов’язують зони.

Приклад із двома державами

Перш ніж розглядати всі вісім станів, корисно проаналізувати найпростіший можливий приклад. Припустимо, що ми зберігаємо лише один стан провідності та один валентний стан. Якщо їхні незалежні енергії становлять \(E_c\) і \(E_v\), то зручна ермітова модель матиме такий вигляд:

\[ H=\begin{pmatrix} E_c & Pk\\ Pk & E_v \end{pmatrix}. \]

У цій наочній моделі, що передбачає наявність двох станів, ми обрали фази базових функцій таким чином, щоб зв’язок між ними був дійсним. Розв’язування матриці дає два значення енергії:

\[ E_{\pm}(k)=\frac{E_c+E_v}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{E_c-E_v}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

При нульовому хвильовому векторі зв’язок зникає, і ми відновлюємо початкові межі зон. Віддаляючись від нуля, верхнє та нижнє розв’язки розходяться. Ступінь розходження залежить від інтенсивності зв’язку P, і відповідні хвильові функції стають комбінацією двох початкових базових станів. Цей простий приклад ілюструє основний принцип повної вісімнадцятизонної обчислювальної моделі: зв’язок змінює дисперсію зон, а не просто зсуває існуючу параболу.

Чому взаємодія змінює ефективну масу?

Згадайте рівняння параболічної зони, наведене в попередньому навчальному матеріалі. Поруч із мінімумом зони провідності енергія приблизно залежить від квадрата хвильового вектора, а ефективна маса визначає кривизну. Двостатева модель, описана вище, пояснює, чому інші зони можуть впливати на цю масу.

Якщо величина сполучення \(Pk\) незначна порівняно з шириною забороненої зони \(E_g=E_c-E_v\), то верхнє рішення можна розкласти в ряд біля точки \(k=0\):

\[ E_+(k)\simeq E_c+\frac{P^2}{E_g}k^2. \]

Зверніть увагу, що додатковий член пропорційний \(k^2\): хоча ми ввели взаємодію, яка є лінійною відносно k, її вплив на енергію поблизу краю зони є квадратичним. Отже, це змінює кривизну зони провідності і, як наслідок, ефективну масу електрона.

У фактичній моделі також враховується безпосередній внесок кінетичної енергії та взаємодія з кількома валентними станами, зокрема зі станами, що виникають внаслідок спін-орбітальної взаємодії. Ці внески необхідно об’єднати, щоб відтворити спостережувану масу на межі зони. Саме тому ефективна маса не є довільною заміною маси вільних електронів: вона узагальнює вплив навколишніх кристалічних зон на рух електрона поблизу певної межі зони.

Чому існує три валентні орбіталі?

Власне, стан провідності є відносно простим. З валентною зоною потрібно поводитися обережніше, оскільки вона містить стани, подібні до X-, Y- і Z-, які можуть взаємодіяти між собою. Їхня поведінка залежить від напрямку хвильового вектора, а не лише від його величини. Отже, одна парабола, що відкривається вниз, не відображає важливі характеристики структури валентної зони.

У декартовому представленні ми будуємо блок валентної зони, де для кожної орбіталі передбачено діагональний елемент, а недіагональні елементи описують їх взаємодію. Використовуючи коефіцієнти L, M і N, типовий орбітальний блок має такий вигляд:

\[ H_{vv}^{\mathrm{orb}}= \begin{pmatrix} D_X & Nk_xk_y & Nk_xk_z\\ Nk_xk_y & D_Y & Nk_yk_z\\ Nk_xk_z & Nk_yk_z & D_Z \end{pmatrix}, \]

де діагональні елементи мають такий вигляд:

\[ \begin{aligned} D_X&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_x^2+M(k_y^2+k_z^2),\\[3pt] D_Y&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_y^2+M(k_x^2+k_z^2),\\[3pt] D_Z&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_z^2+M(k_x^2+k_y^2). \end{aligned} \]

Нам не потрібно запам’ятовувати цю матрицю, щоб зрозуміти її призначення. L і M визначають, як змінюються енергії окремих орбітальних компонентів залежно від напрямку; N контролює змішування між різними орбітальними компонентами. Повний розрахунок із використанням восьми смуг включає цей валентний блок для обох спінових компонент і пов’язує його зі станами провідності.

Звідки беруться зони з високою концентрацією носіїв заряду, зони з низькою концентрацією носіїв заряду та відшарована смуга?

До цього моменту ми описували S, X, Y і Z як орбітальні стани. Електрон також має спін, що зумовлює наявність складових зі спіном, спрямованим вгору, і зі спіном, спрямованим вниз, для кожної орбіти. Просте подвоєння бази було б простим, якби спін ніколи не взаємодіяв з орбітальним рухом. Однак напівпровідник містить додаткову взаємодію, яка називається спін-орбітальною взаємодією.

У валентній зоні таке поєднання призводить до змішування орбітальних і спінових компонент. У точці Гамма не деформованого кристала цинкбленду шість спін-орбітальних станів, подібних до p-станів, розділяються на чотирикратну групу, яка містить стани важкої та легкої дірок, і на двократну групу, яка називається розділеною зоною. Різниця енергій позначається як \(\Delta_{\mathrm{so}}\).

Терміни «зона з великою кривизною» та «зона з малою кривизною» стосуються різних кривизн цих зон поблизу точки Гамма, і, отже, різних ефективних мас. Зони не обов’язково повинні залишатися незалежними після зміни хвильового вектора. У квантовій ямі їх можна додатково змішати за допомогою обмеження та деформації, і це є однією з головних причин використання повної багатозонної моделі.

Якщо за точку відліку взяти максимальну енергію валентної зони, то середню енергію валентної зони у декартовій системі координат зазвичай можна записати так:

\[ E_{v,\mathrm{av}}=E_v-\frac{\Delta_{\mathrm{so}}}{3}. \]

Матриця спін-орбітальної взаємодії відокремлює верхні валентні стани від розщеплених станів, відтворюючи необхідні значення їх енергії в точці Гамма. OghmaNano зберігає цю взаємодію у явному вигляді, замість того щоб намагатися змоделювати всі валентні зони за допомогою однієї ефективної маси дірок.

Об’єднуємо вісімкомпонентний гамільтоніан.

Тепер ми можемо побачити, як різні частини поєднуються між собою. Існують два стани провідності, що нагадують літеру «S» (по одному для кожного спіну), і шість валентних станів, що нагадують літеру «p». Гамільтоніан поділено на чотири блоки:

\[ \boxed{ H=\begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger} & H_{vv} \end{pmatrix} } \]

Блок провідності \(H_{cc}\) містить межу зони провідності та її кінетичну енергію. Блок валентності \(H_{vv}\) містить орбітальні члени X/Y/Z та спін-орбітальну взаємодію. Блок зв’язку \(H_{cv}\) містить взаємодії Кейна, які поєднують провідні та валентні стани. Символ \(\dagger\) позначає ермітове спряження, що забезпечує необхідну ермітову структуру гамільтоніана.

Хоча повна матриця містить вісім рядків і вісім стовпців для однорідного об’ємного матеріалу при заданому хвильовому векторі, її окремі елементи тепер менш загадкові: кожен елемент або визначає енергію для базового стану, або описує взаємодію між двома станами. Ми розв’язуємо задачу знаходження власних значень матриці, щоб отримати допустимі енергії зон і склад їхніх хвильових функцій.

Звідки беруться параметри моделі?

Експериментальні та теоретичні дані про напівпровідники зазвичай подаються у вигляді значень ширини забороненої зони \(E_g\), ефективної маси провідності, енергії Кейна \(E_p\), енергії спін-орбітальної взаємодії \(\Delta_{\mathrm{so}}\) та параметрів Луттінгера \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) і \(\gamma_3\). Ці величини визначають діагональну дисперсію моделі та інтенсивність взаємодії між станами.

Існує важливе питання, пов’язане з бухгалтерським обліком. У параболічній моделі виміряна ефективна маса вже враховує вплив сусідніх зон. У моделі з вісьмома зонами деякі з цих сусідніх зон тепер явно враховуються за допомогою зв’язку Кейна. Тому ми повинні скоригувати решту коефіцієнтів кінетичної енергії, щоб одна й та сама фізична взаємодія не враховувалася двічі.

У параметризації OghmaNano коефіцієнт провідності віддаленої зони позначається як \(A_c\), а коефіцієнти валентної орбіти позначаються літерами L, M і N. Перетворення виміряних параметрів матеріалу є частиною визначення моделі; отримані коефіцієнти не слід плутати з фактичними ефективними масами незалежних параболічних зон.

Корекція зони провідності

Одним із виразів, що використовується для опису внеску віддаленої зони провідності, є:

\[ A_c=A_0\left( \frac{m_0}{m_e^{*}} -\frac{2E_p}{3E_g} -\frac{E_p}{3(E_g+\Delta_{\mathrm{so}})} \right), \]

разом із \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\). Перший член визначає виміряну кривизну на межі зони, тоді як два члени, що містять \(E_p\), усувають частину, яка зумовлена валентними станами, які тепер явно пов’язані між собою. Тут \(m_e^{*}\) – це маса з розмірностями СІ; якщо в базі даних матеріалів зберігається відносна маса \(m_e^{*}/m_0\), замість неї використовується її обернена величина.

Аналогічні поправки вводяться в L, M і N через параметри Люттінгера. Необхідно дотримуватися узгодженості щодо точних параметричних умов, враховуючи обраний базис і гамільтоніан; використання коефіцієнтів, отриманих з різних параметричних умов, може призвести до неправильної форми енергетичних зон, навіть якщо розмірності матриці виглядають правильними.

Які зміни відбуваються, коли ми розміщуємо модель всередині квантової ями?

До цього моменту все стосувалося напівпровідника з визначеним тривимірним хвильовим вектором кристалічної ґратки. Для квантової ями ми знову обираємо \(z\) перпендикулярним до шарів, а \(x\) і \(y\) – паралельними до них. Носії заряду можуть вільно переміщатися вздовж шарів, тому \(k_x\) і \(k_y\) залишаються звичайними складовими хвильового вектора в площині шарів.

Однак, розглядаючи різні шари, ми повинні знайти розв’язок для обмежених хвильових функцій. Відповідно, z-компонента представляється диференціальним оператором:

\[ \boxed{k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}} \]

Це багатоканальне розширення підходу, заснованого на рівнянні Шредінгера, який було представлено на попередніх сторінках. Замість того, щоб розв’язувати лише одне скалярне рівняння для амплітуди, ми розв’язуємо систему з восьми взаємопов’язаних рівнянь для компонентів амплітуди:

\[ \boldsymbol{\Psi}(z)= \begin{pmatrix} \psi_{S\uparrow}(z)\\ \psi_{S\downarrow}(z)\\ \psi_{X\uparrow}(z)\\ \psi_{Y\uparrow}(z)\\ \psi_{Z\uparrow}(z)\\ \psi_{X\downarrow}(z)\\ \psi_{Y\downarrow}(z)\\ \psi_{Z\downarrow}(z) \end{pmatrix}. \]

У кожній точці числової сітки, розташованій над квантовою ямою, міститься вісім пов’язаних між собою значень. Якщо N – кількість точок просторової сітки, то дискретизований гамільтоніан матиме розмірність \(8N\). Розв’язуючи його, можна отримати значення енергії в обмеженому стані, а також орбітальну та спінову структуру кожної обчисленої підзони. Повний приклад цього обчислення наведено в GaAs/AlGaAs – навчальний посібник із квантової ями з використанням восьмизонної моделі цинкбленду k·p.

Фізичні параметри також можуть змінюватися на межі розділу. Коли коефіцієнти множаться на диференціальні оператори, їх порядок слід ретельно підбирати, щоб зберегти ермітовість і забезпечити правильну поведінку на межі розділу. Наприклад, коефіцієнт Кейна, який змінюється в просторі, зазвичай вводять за допомогою симетризованого оператора, а не розглядають як константу поза межами похідної.

Звідки виникає напруга?

Коли один напівпровідниковий шар наноситься на інший, який має іншу міжплощинну відстань, шар може стискатися або розтягуватися. Це призводить до виникнення напружень, які змінюють відносні енергії провідності та валентності.

Зона провідності зазнає гідростатичного зсуву енергії, тоді як зони валентності можуть рухатися відносно одна одної та змішуватися. У моделях цинкбленду ці ефекти зазвичай зображають за допомогою Гамільтоніан для штаму Бір–ПікусаДодавання цього члена до восьмизонкової гамільтоніани дозволяє нам розрахувати, як взаємодіють обмеження та деформація, замість того щоб коригувати зони окремо після розв’язання задачі для квантової ями.

Чому це важливо для оптичних обчислень?

У навчальному посібнику з оптичних переходів пояснюється, як піддіапазони електронів і дірок визначають можливі енергії фотонів. У параболічній апроксимації інтенсивність переходів можна оцінити, використовуючи ступінь перекриття двох скалярних амплітудних функцій і об’ємний оптичний матричний елемент.

У восьмизонній моделі кожен стан, замість того, щоб бути окремим, є сумішшю компонентів S, X, Y і Z. Її оптична реакція залежить від цих компонентів і від поляризації світла. Саме тому багатозонні обчислення можуть передбачати зміни в інтенсивності переходу та в реакції TE/TM, яких немає в описі з єдиною масою.

Основне вдосконалення полягає не лише в тому, що ми обчислюємо більше кривих. Ми обчислюємо, з чого складаються стани, зокрема, як змінюється їхній орбітальний характер залежно від хвильового вектора, обмеження та деформації.