Зональна структура квантової ями та наближення параболічної зони.
Від квантових ям до електронних зон
У нашому вступі до квантових ям, ми використали рівняння Шредінгера для обчислення допустимих енергій та хвильових функцій електрона, обмеженого в потенціальній ямі. Приклад цих розв’язків наведено в ??.
Однак, цей розрахунок лише описує, як поводиться електрон у межах ширини потенціальної ями. Напівпровідникова квантова яма зазвичай утворюється з дуже тонкого шару матеріалу, який розтягується на значно більшу площу. Якщо ми визначимо напрямок \(z\) як перпендикулярний до шарів напівпровідника, то електрон буде обмежений у напрямку \(z\), але залишатиметься вільним для руху в напрямках \(x\) і \(y\), паралельних до шарів.
Іншими словами, електрон обмежений в одному вимірі, але все ще може рухатися в двох інших. Саме тому квантові ями зазвичай описують як двовимірні електронні системи.
Щоб зрозуміти наслідки цього, нам потрібно встановити зв’язок між дискретними рівнями енергії, отриманими з рівняння Шредінгера, та електронною зонною структурою напівпровідника.
🧪 Спробуйте це в OghmaNano: Цей. Навчальний матеріал про параболічні квантові ями на основі GaAs/AlGaAs. обчислює обмежені електронні та діркові стани, хвильові функції та двовимірні підзони, описані на цій сторінці. Огляд наявних моделей квантових ям і багатозонних моделей наведено в k·p метод для розрахунку зонної структури, квантової ями та рухливості носіїв заряду..
Від обмежених енергетичних рівнів до параболічних зон.
Розглянемо квантову яму, зображену в лівій частині ??. Розв’язування рівняння Шредінгера в межах цієї ями дає ряд локалізованих станів з енергіями \(E_1\), \(E_2\) і \(E_3\).
Ці енергії описують обмеження руху електрона у напрямку \(z\). Однак, електрон також може рухатися паралельно до шарів, у напрямках \(x\) і \(y\). У міру того, як він набирає імпульс у цій площині, його загальна енергія збільшується.
Щоб описати цей рух, ми вводимо поняття векторної хвилі в площині, яке позначається як \(k_{\parallel}\). Її величина пов’язана зі складовими векторної хвилі вздовж двох напрямків, у яких рух не обмежений:
\[ k_{\parallel}^{2}=k_x^2+k_y^2. \]
Для простого напівпровідника з параболічною електронною зоною додаткова енергія, пов’язана з цим рухом у площині, становить:
\[ E_{\mathrm{parallel}}= \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}}, \]
де \(m^{*}\) – ефективна маса електрона. Ефективна маса описує, як електрон реагує на сили всередині кристалічної решітки, враховуючи вплив електронної структури напівпровідника.
Зараз ми можемо поєднати енергію, отриману завдяки квантовому обмеженню, з додатковою енергією, пов’язаною з рухом, паралельним до шарів:
\[ \boxed{ E_n(k_{\parallel})= E_n+\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}} } \]
Це рівняння показує, що кожен з обмежених енергетичних рівнів стає початковою точкою параболи, як показано на правій стороні ??. Ці параболи відомі як електронні піддіапазони.
При нульовому значення іншопланарного хвильового вектора, нижня точка кожної параболи точно відповідає енергії, обчисленій шляхом розв’язання рівняння Шредінгера для всієї квантової ями. У міру збільшення іншопланарного хвильового вектора, електрон рухається вгору по параболі та набуває енергії, залишаючись при цьому в тому самому обмеженому стані вздовж \(z\).
Таким чином, ми перетворили набір дискретних енергетичних рівнів квантової ями на набір неперервних двовимірних електронних підзон.
Для чого ми використовуємо параболічні смуги?
Щоб зрозуміти, чому зони напівпровідників часто зображають у вигляді парабол, розглянемо щось більш звичне: кидання крикетного м’яча. Кінетична енергія м’яча залежить від його маси та швидкості:
\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{1}{2}mv^2. \]
Це показує, що якщо ми кинемо м’яч удвічі швидше, його кінетична енергія збільшиться вчетверо. Оскільки імпульс визначається формулою \(p=mv\), ми також можемо записати цей зв’язок у такий спосіб:
\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{p^2}{2m}. \]
Якщо ми відобразимо залежність енергії нашого крикетного м’яча від його імпульсу, ми отримаємо параболу. Найменшу кінетичну енергію м’яч має, коли його імпульс дорівнює нулю, і його енергія збільшується квадратично зі збільшенням імпульсу.
Цікаво, що ми можемо використати дуже схожий принцип для опису поведінки електрона всередині напівпровідника. У квантовій механіці імпульс пов’язаний із хвильовим вектором через \(p=\hbar k\). Підставивши це у наше попереднє рівняння, отримаємо:
\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \]
Однак, електрон у напівпровіднику не рухається у порожнечі. Він взаємодіє з періодичним потенціалом кристалічної решітки, що змінює взаємозв’язок між його енергією та рухом. У нижній частині багатьох зон провідності ми можемо врахувати це, замінивши звичайну масу електрона на ефективну масу \(m_e^{*}\).
Нам також потрібно врахувати енергію на нижній межі зони провідності, \(E_c\), що дасть нам наближення у вигляді параболічної зони:
\[ \boxed{ E(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}} } \]
Ефективна маса визначає кривизну параболи. Менша ефективна маса призводить до більш вираженої кривизни зони, що означає, що електрон швидше набирає енергію зі збільшенням його хвильового вектора. Більша ефективна маса створює більш пласку зону.
Перевага цього наближення полягає в тому, що воно дозволяє нам описати електронну зону, використовуючи лише енергію на її межі та ефективну масу. Після того, як ми обчислимо енергії локалізації, використовуючи рівняння Шредінгера, ми можемо використати цей зв’язок для побудови відповідних підзон квантової ями. Цей розрахунок можна безпосередньо застосувати в... Навчальний матеріал про параболічні квантові ями на основі GaAs/AlGaAs..
Знайомтесь: електрони та дірки.
До цього моменту ми розглядали лише електрони в зоні провідності. Однак напівпровідник також містить валентну зону, в якій відсутність електрона можна описати як позитивно заряджену частинку, яка називається «дірка».
У районі мінімуму зони провідності енергію електрона можна наближено визначити за допомогою параболи, вітки якої спрямовані вгору:
\[ E_c(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}}. \]
Аналогічно, поблизу максимуму валентної зони ми можемо наближено визначити енергії валентних електронів, використовуючи параболу, гілки якої розвернуті вниз:
\[ E_v(k)=E_v-\frac{\hbar^2 k^2}{2m_h^{*}}. \]
Ці дві параболи зображено на ??. Мінімальна енергія провідної зони та максимальна енергія валентної зони розділені енергетичною щілиною напівпровідника, \(E_g\).
Так само, як електрони можуть бути локалізовані в квантовій ямі зони провідності, дірки можуть бути локалізовані відповідним потенціалом валентної зони. Отже, розв’язування рівняння Шредінгера для обох типів носіїв заряду дає два набори локалізованих енергетичних рівнів, на основі яких ми можемо створити відповідні підзони для електронів і дірок.
Від квантових ям до випромінювання та поглинання світла
Ми вже бачили, як розв’язання рівняння Шредінгера для електрона, обмеженого в квантовій ямі, дає ряд енергетичних рівнів, кожен з яких перетворюється на параболічну підсмугу, коли враховується рух паралельно до шарів напівпровідника.
Ми можемо виконати абсолютно такий самий розрахунок для дірок. Це показано на ??, де на верхніх схемах зображено локалізовані електронні стани в зоні провідності, а на нижніх схемах – відповідні локалізовані стани дірок у валентній зоні. Для наочності валентна зона зображена у перевернутому вигляді, а енергії локалізації дірок вимірюються вниз від максимуму валентної зони.
Після того, як ми обчислимо обидва набори станів, ми зможемо почати описувати взаємодію квантової ями зі світлом. Наприклад, електрон, який перебуває в стані зони провідності, може рекомбінувати з діркою в стані валентної зони, вивільняючи енергію у вигляді фотона. Зворотний процес також можливий: вхідний фотон може поглинатися, збуджуючи електрон із валентної зони в зону провідності.
Обчислення енергії переходу
Зверніть увагу на суцільну червону стрілку на ??. Вона ілюструє перехід між найнижчими піддіапазонами електронів і дірок при нульовому хвильовому векторі в площині.
Енергія, необхідна для цього переходу, визначається шириною забороненої зони напівпровідника, а також енергією локалізації електрона та дірки:
\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}} = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} } \]
Тут \(E_g\) – це ширина забороненої зони матеріалу квантової ями, а \(E_{e,n}\) і \(E_{h,m}\) – енергії локалізації електронів і дірок, виміряні відносно відповідних країв зони.
Для наведеного на рисунку прикладу ширина забороненої зони становить \(1.42\,\mathrm{eV}\), найнижча енергія локалізації електронів – \(39\,\mathrm{meV}\), а найнижча енергія локалізації дірок – \(7\,\mathrm{meV}\). Відповідно, результуюча енергія переходу дорівнює:
\[ E_{\mathrm{photon}} = 1.42+0.039+0.007 = 1.466\,\mathrm{eV}. \]
Зверніть увагу, що ця величина дещо більша за ширину забороненої зони об’ємного напівпровідника. Обмежуючи електрони та дірки в квантовій ямі, ми збільшили енергію, необхідну для оптичного переходу. Це дає нам можливість регулювати довжину хвилі поглинання та випромінювання, просто змінюючи ширину ями.
Що відбувається при більшому імпульсі в площині?
Електрони та дірки не обмежені лише нижніми межами відповідних підзон. Вони також можуть рухатися паралельно шарам напівпровідника, отримуючи додаткову енергію зі збільшенням їхнього хвильового вектора в площині шару.
Це ілюструється пунктирною червоною стрілкою на рисунку. У випадку прямого оптичного переходу вектор кристалічної хвилі в площині зберігається приблизно, оскільки імпульс, який несе фотон, є відносно невеликим.
У нашій простій моделі з параболічною зоною, енергія переходу, отже, набуває такого вигляду:
\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}}(k_{\parallel}) = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} + \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu} } \]
Тут \(\mu\) – це зменшена ефективна маса електронно-діркової пари, яка визначається наступним чином:
\[ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e^{*}} + \frac{1}{m_h^{*}}. \]
У міру збільшення хвильового вектора в площині, енергія переходу також збільшується. Це означає, що оптичний перехід між двома піддіапазонами не обмежується єдиною енергією фотона: різні заповнені стани вздовж парабол можуть сприяти ширшому спектру оптичних переходів.
Наскільки точною є параболічна апроксимація?
Розроблена нами модель є навмисно простою. Вона ґрунтується на припущенні, що кожну електронну зону можна представити у вигляді параболи з відповідною ефективною масою. Це часто є корисним наближенням поблизу мінімуму зони провідності, де залежність між енергією та хвильовим вектором є приблизно квадратичною.
Однак, реальні зонні структури напівпровідників є складнішими. Приклад наведено в ??, де показано розраховану електронну зонну структуру GaAs.
Зверніть увагу, що зона провідності має приблизно параболічну форму поблизу своєї мінімальної точки в точці Гамма, але ця проста форма змінюється, коли ми віддаляємося від неї. Зона валентності ще складніша, вона містить зони важких, легких і розділених дірок, які можуть взаємодіяти між собою.
Також важливо зазначити, що горизонтальна вісь на цій схемі проходить через простір обернених кристалічних ґраток, від точки L через точку Гамма до точки X. Це не графік, що відображає положення в напівпровідниковому пристрої. Він описує, як змінюються дозволені енергії електронів залежно від хвильового вектора кристала.
Під час змішування електронних зон, коли важливими стають такі фактори, як відхилення від параболічної форми, деформація або сильне обмеження, нам потрібно вийти за межі простого наближення ефективної маси. Один із способів зробити це – використовувати багатозонну теорію k·p, яка дозволяє розглядати кілька електронних зон разом, а не наближати кожну з них окремо до незалежної параболи.