Кремнієві квантові ями та шість долин у зоні провідності

Чим кремній відрізняється від арсеніду галію?

У навчальному матеріалі про параболічну зону, ми описали квантову яму, використовуючи мінімум зони провідності та єдину ефективну масу. Це слугує корисним відправним пунктом для матеріалів із прямою забороненою зоною, таких як GaAs, найнижчий стан провідності якого знаходиться в центрі зони Бріллюена (точка Гамма). Для кремнію потрібна додаткова концепція: його найнижчі стани провідності розташовані не в точці Гамма.

Замість того, щоб мати лише одну мінімальну точку в зоні провідності, кремній має шість еквівалентних мінімальних точок, які зазвичай називають «долинами Дельта» (Δ). Як показано на ??, ці точки розташовані вздовж позитивних і негативних напрямків трьох кубічних осей: +x, −x, +y, −y, +z і −z. Кожна долина є областю в структурі зони, в якій електрони можуть перебувати в станах поблизу локального мінімуму енергії.

У масивному кристалі кремнію, який не зазнає деформацій, симетрія забезпечує однакову енергію для всіх шести мінімумів. Однак, коли з кремнію створюють квантову яму, його скінченна товщина виділяє один напрямок. Деякі мінімуми енергії тоді по-різному реагують на обмеження, хоча вони й належали до однієї енергетичної групи в масивному матеріалі.

Що насправді символізує долина?

Долина — це не фізична порожнина всередині кремнію. Це мінімум на графіку залежності енергії електронів від хвильового вектора кристала. Якщо ми розглянемо зонну структуру поблизу одного з таких мінімумів, то побачимо, що її енергія знову має приблизно параболічну форму. Але, на відміну від єдиної ізотропної параболи, яка використовується в нашій вступній моделі, кривина кремнієвої долини залежить від напрямку, в якому ми рухаємося в оберненому просторі.

Ми можемо уявити собі поверхню постійної енергії навколо кожної мінімальної точки у вигляді видовженого еліпсоїда, який схематично зображено на рисунку вище. Довша вісь цього еліпсоїда визначає вісь долини. Відповідна ефективна маса називається поздовжною масою, тоді як маси в двох перпендикулярних напрямках називаються поперечними масами.

Важливо розрізняти положення долини у взаємному просторі та траєкторію руху електронів у реальному просторі. Долина з координатою +z не означає, що електрони можуть рухатися лише вгору всередині пристрою; це означає, що описаний мінімум розташований вздовж осі +z кристалічної зонної структури. Рух електронів навколо цього мінімуму все ще має три компоненти в різних напрямках, причому кожна з них характеризується різною ефективною масою.

Ефективна маса в поздовжньому та поперечному напрямках

Поруч із заданим мінімумом долини енергію електрона можна представити за допомогою анізотропної параболічної апроксимації. Для долини, вісь якої спрямована вздовж осі z, ми можемо записати:

\[ E(\mathbf{q})=E_{c,\Delta} +\frac{\hbar^2 q_x^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_y^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_z^2}{2m_l}. \]

Тут \(\mathbf{q}\) визначає хвильовий вектор відносно центру конкретної долини, а не відносно точки Гамма. Символ \(E_{c,\Delta}\) позначає енергію в мінімумі долини. Кремній має дві характерні маси:

• Поздовжня маса, \(m_l\): ефективна маса вздовж осі долини, приблизно \(0.916m_0\).
• Поперечна маса, \(m_t\): ефективна маса в будь-якому перпендикулярному напрямку, приблизно \(0.190m_0\).

Поздовжня маса значно більша за поперечну масу. Відповідно, енергія збільшується з різною швидкістю, залежно від напрямку руху. Те саме твердження стосується долини, орієнтованої вздовж осі x або y, після того як відповідній осі присвоєно значення поздовжньої маси.

Саме ця відмінність робить кремнієві квантові ями такими цікавими: ефективна маса, що впливає на обмеження, залежить від того, яку з долин ми розглядаємо.

Що відбувається, коли ми створюємо кремнієву квантову яму?

Уявімо собі шар кремнію, обмежений відповідними бар’єрами, наприклад, гетероструктурою Si/SiGe. Припустимо, що його товщина та напрямок росту – вісь z, а напівпровідникові шари простягаються вздовж площини x–y. Як і в нашій попередній роботі вступ до квантової ями, рух у площині шару стає квантованим, тоді як рух паралельно шару залишається вільним. Але тепер шість мінімумів енергії не мають однакової маси у напрямку обмеження.

Дві долини, осі яких спрямовані вздовж осей +z і −z, мають значну поздовжню масу. \(m_l\) у напрямку, перпендикулярному до осі обмеження. Інші чотири долини, розташовані вздовж осей ±x і ±y, мають меншу поперечну масу. \(m_t\) у цьому напрямку. Для зростання, орієнтованого на площину [001], ці дві групи називають:

• Δ₂: дві долини, розташовані вздовж осі зростання (+z і −z).
• Δ₄: чотири долини, осі яких розташовані паралельно шару (±x і ±y).

Чому ця різниця має значення? Згадайте результат для найнижчого рівня енергії нескінченної квантової ями:

\[ E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m_z L^2}. \]

Тут. \(m_z\) яка ефективна маса в усьому потенціальному колодязі? \(L\) ширина свердловини. З рівняння ми можемо дізнатися, що більша маса, що утримує частинки, призводить до меншої енергії утримання.За інших рівних умов, стани Δ₂ мають нижчі енергії локалізації, ніж стани Δ₄ у квантовій ямі [001]. Сама локалізація може відокремити мінімуми їхніх субзон, навіть до того, як ми введемо деформацію.

Зверніть увагу, що ми не стверджуємо, що долина є або повністю замкнутою, або повністю відкритою. Усі шість долин відчувають обмеження вздовж осі z; просто кожна з них відчуває це з різною ефективною масою. Їхні енергетичні характеристики, що відповідають напрямку, паралельному шарам, також відрізняються, оскільки кожна долина має власний набір поздовжніх і поперечних мас.

Як деформація впливає на енергетичні характеристики долини?

Існує ще один важливий спосіб контролювати ці долини. Коли на матеріал з іншою сталою решітки наносять тонкий шар кремнію, його кристалічна решітка може розтягуватися або стискатися. Це явище називають деформацією. Оскільки деформація змінює кристалічне середовище, вона зсуває мінімуми зони провідності. Зсув не обов’язково має бути однаковим для кожної долини.

У моделі кремнієвої дельта-подібної структури зміна енергії описується так:

\[ \boxed{ \Delta E_{c,i}= \Xi_d\,\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\,\varepsilon_{ii} } \]

Хоча позначення здаються складними, ця формула описує лише два фізичні явища. Тензор деформації \(\varepsilon\) показує, як деформується кристал, а його слід є сумою трьох компонентів нормальної деформації:

\[ \operatorname{Tr}(\varepsilon) =\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}. \]

• \(\Xi_d\), потенціал деформації, пов’язаної з розширенням: він збільшує загальну деформацію, що залежить від об’єму, і зміщує всі шість мінімумів на однакову величину.
• \(\Xi_u\), потенціал одноосьової деформації: він збільшує деформацію вздовж осі кожного окремого долинного прогину, що дозволяє різним долинним прогинам зміщуватися на різну відстань.

У другому терміні індекс \(i\) визначає вісь долини: для долини, орієнтованої вздовж осі x, використовується \(\varepsilon_{xx}\), для долини, орієнтованої вздовж осі y, використовується \(\varepsilon_{yy}\), а для долини, орієнтованої вздовж осі z, використовується \(\varepsilon_{zz}\). Додатні (+) та від’ємні (-) долини на одній і тій самій осі отримують однакове зміщення в цій моделі.

Чому ми отримуємо розщеплення Δ₂ і Δ₄?

Найпоширенішим прикладом є [001] шар кремнію, який зазнає двовісної деформації. Деформація однакова в обох напрямках, паралельних до шарів, тому \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}=\varepsilon_{\parallel}\). Деформація, перпендикулярна до них, \(\varepsilon_{zz}\), зазвичай відрізняється, оскільки кристал еластично розслаблюється в цьому напрямку.

Отже, наше рівняння деформації визначає одну зміну для двох областей Δ₂ і іншу – для чотирьох областей Δ₄:

\[ \begin{aligned} \Delta E_{\Delta_2} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{zz},\\[5pt] \Delta E_{\Delta_4} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{\parallel}. \end{aligned} \]

Якщо від однієї з цих двох формул відняти іншу, то стає особливо зрозумілою причина розщеплення: спільний внесок, пов’язаний із розширенням, взаємно нейтралізується, і залишається лише

\[ \boxed{ \Delta E_{\Delta_2}-\Delta E_{\Delta_4} =\Xi_u\big(\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{\parallel}\big) }. \]

У звичайному випадку розтягувальної деформації в площині в кремнії, перпендикулярна деформація є стискальною. За умови використання стандартного додатного значення \(\Xi_u\), мінімуми Δ₂ зміщуються вниз відносно Δ₄, як показано на ??. Це змінює спосіб розподілу електронів між наявними мінімумами.

Зараз ми можемо побачити, що на кремнієву квантову яму впливають два різні механізми: енергія обмеження, яка залежить від орієнтації, про яку йшлося вище, і зсув, який також залежить від орієнтації та спричинений деформацією. Обидва ці механізми впливають на кінцеве положення підзон Δ₂ і Δ₄.

Як OghmaNano обчислює параметри квантових ям із кремнію?

Опис шести долин спочатку може здатися складним завданням, що передбачає розгляд великої кількості зон, але кожну долину можна описати, використовуючи ту саму скалярну концепцію ефективної маси, яка була представлена на нашій сторінці параболічної зони. Ключова відмінність полягає в тому, що кожна долина має різну напрямлену масу та, можливо, різну зміщену напругою межу зони.

Для заданої долини OghmaNano розв’язує одномірне рівняння функції огинаючої по всій ширині квантової ями:

\[ -\frac{\hbar^2}{2}\frac{d}{dz} \left[\frac{1}{m_z(z)}\frac{d\psi(z)}{dz}\right] +V_{\Delta}(z)\psi(z)=E\psi(z). \]

Ефективна маса \(m_z(z)\) визначається відповідно до орієнтації долини та властивостей місцевого напівпровідникового матеріалу, тоді як \(V_{\Delta}(z)\) враховує відповідний профіль краю зони та зміну, спричинену деформацією. Потім додається рух у площині з урахуванням відповідних мас у напрямках x і y:

\[ E_n(k_x,k_y)=E_n(0,0) +\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y}. \]

У структурі [001] позитивні та негативні «долини» вздовж осі z мають однакове значення маси в межах цієї незалежної апроксимації «долин», і аналогічно пари ±x і ±y можна згрупувати за орієнтацією. Отже, розрахунок дає значення енергії локалізації та дисперсії в площині, пов’язані з шістьма кремнієвими «долинами», без необхідності використовувати єдиний великий зв’язаний гамільтоніан. Повний приклад Si/SiGe з використанням цієї моделі наведено в навчальний посібник з квантової ями Δ-типу для кремнію.

Проте існує важливе обмеження. У цій моделі дві протилежні долини, розташовані на одній осі, розглядаються як еквівалентні незалежні стани. Будь-яке додаткове розщеплення, спричинене атомарно гострими межами, які поєднують долини +z і −z, не описується наведеним вище простим рівнянням, що враховує масу та деформацію. Для цього потрібне явне врахування взаємодії між долинами.

У чому полягає користь розділення долини на окремі частини?

Зміна взаємного розташування груп Δ₂ і Δ₄ впливає на те, які електронні стани будуть заповнені за певної температури та концентрації носіїв заряду. Оскільки долинні групи мають різні транспортні маси, зміна їхньої відносної кількості може вплинути на транспорт електронів паралельно до шарів напівпровідника. Це одна з важливих фізичних ідей, що лежать в основі структур із деформованого кремнію та гетероструктур Si/SiGe.

Кремній також є гарним прикладом, що ілюструє ширше правило в моделюванні квантових ям: знання товщини та різниці енергетичних зон шару не завжди є достатнім. Ми також повинні знати, де в просторі зворотних кристалічних решіток знаходяться мінімуми енергетичних зон, як ефективна маса залежить від напрямку та як змінюється кристал під дією напруги.