Кремнієва/SiGe квантова яма: навчальний матеріал про шість Δ-долин і рухливість електронів.

1. Вступ

У попередніх прикладах з використанням квантових ям ми застосовували напівпровідники III–V групи з прямою забороненою зоною для обчислення обмежених зон провідності та валентності, а також оптичних переходів. Кремній вимагає дещо іншого підходу. Мінімальні значення зони провідності кремнію не розташовані в центрі зони Бріллюена (Γ). Натомість, об’ємний кремній має шість еквівалентних мінімальних значень зони провідності, або Δ-долини, розташовані парами в протилежних напрямках вздовж трьох кубічних кристалічних осей. Їхні різні ефективні маси стають особливо важливими, коли носії заряду обмежені тонким шаром.

Тут ми змоделюємо квантову яму з кремнію розміром 10 нм, розташовану між двома шарами SiGe розміром 20 нм. Ми розглянемо дисперсію електронних субзон, а потім продовжимо обчислення, виходячи за межі матеріалів, представлених в оптичних посібниках: від розсіювання акустичних фононів до релаксації транспорту, щільності електронного шару, рівня Фермі та рухливості. Основна увага приділяється електронному транспорту, а не безпосередньому оптичному підсиленню; кремній є напівпровідником із непрямою забороненою зоною.

2. Відкриття прикладу «силіконової дельти»

В OghmaNano виберіть «Файл» → «Нове моделювання». Двічі клацніть на категорії «Приклади GaAs» в переглядачі шаблонів (??). У цій колекції також містяться інші квантово-ямочні моделі напівпровідників. У наступному вікні відкрийте модель «Деформована Si/SiGe Delta-Valley Quantum Well» (??). Почніть із наданої конфігурації без змін, щоб можна було порівняти результати першого запуску з графіками, наведеними нижче.

3. Огляд структури шарів Si/SiGe.

У панелі структури пристрою натисніть «Редактор шарів», щоб переглянути приклад (??). Напрямок обмеження задається трьома шарами (у цьому випадку їх позначено як z); електрони все ще можуть рухатися паралельно до області в площині x–y.

Оптичні та матеріальні параметри, які відображаються в редакторі, не слід сприймати як повну специфікацію електронних енергетичних смуг або концентрації германію. Ці параметри залежать від налаштованих параметрів матеріалу. Наразі залиште наданий приклад без змін.

Ви можете переглянути дані про матеріал, відкривши розділ «Електричні параметри» та обравши вкладку «Si (QW)» (??). Бібліотека даних про кремній містить параметри напівпровідників, які залежать від температури. Для прогнозованого обчислення Si/SiGe слід перевірити ефективну масу, зміщення смуг, склад Ge та конфігурацію напружень, а не покладатися лише на значення ширини забороненої зони для об’ємного кремнію.

4. Чому кремнію потрібна модель із шістьма долінами?

Уявіть собі електрон, що рухається в площині потенціальної ями. У звичайній ізотропній параболічній моделі його енергія залежить лише від величини хвильового вектора. Кремній відрізняється: кожна «долина» Δ нагадує еліпсоїд із більшою поздовжньою масою вздовж своєї осі та меншою поперечною масою, перпендикулярною до цієї осі. Долини утворюють три пари, розташовані одна навпроти одної: ±x, ±y і ±z. Для кожної пари використовується маса, що відповідає її орієнтації відносно напрямку росту квантової ями.

Для певної долини задачу про обмеження ефективної маси можна схематично представити у вигляді:

\[ \left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{1}{m_z^{*}(z)}\frac{\partial}{\partial z}\right) +V_{\Delta}(z)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}(z)} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}(z)}\right]\psi(z) =E(k_x,k_y)\psi(z). \]

Тут \(V_{\Delta}\) – це потенціал обмеження в зоні провідності для обраної долини, включно зі зміщенням, спричиненим деформацією. Ефективні маси можуть відрізнятися в різних шарах. Важливою особливістю є те, що маса вздовж осі z визначає ступінь обмеження, тоді як дві інші маси, що діють у площині, контролюють нахил і кривизну дисперсії підзони.

Для свердловини, орієнтованої за віссю (001), пара ±z (яку часто називають Δ2) має свою поздовжню масу вздовж напрямку обмеження. Чотири долини ±x/±y (Δ4) мають поперечну масу вздовж осі z. Навіть за відсутності деформації, їхні енергії обмеження не обов’язково мають збігатися. Деформація може ще більше роз’єднати краї цих долин, приблизно відповідно до

\[ \Delta E_{c,i}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)+\Xi_u\,\varepsilon_{ii}, \qquad i\in\{x,y,z\}. \]

Перший член зміщує всі орієнтації долин відповідно до загального розширення, тоді як другий член розрізняє складову деформації вздовж осі кожної долини. Це розходження енергій Δ2/Δ4 не є ідентичним невеликому розщепленню, спричиненому міжфазною взаємодією між двома протилежними долинами в межах однієї пари; для останнього потрібна додаткова фізика міждолинної взаємодії, і його не можна визначати лише на основі цього графіку. Додаткову інформацію див. на сторінці теорія Δ-долин для кремнію.

5. Запустіть симуляцію.

Поверніться до вкладки «Файл» і натисніть «Запустити моделювання». Модель розв’язує задачі про теплопровідність у обмеженому просторі для певного набору площинних хвильових векторів, перш ніж оцінювати результати розсіювання та транспорту електронів. У ?? термінал досяг стадії акустичного розсіювання. Відсоток, який відображається під час виконання моделювання, є індикатором прогресу, а не остаточним результатом розсіювання.

Зачекайте, поки завершиться обчислення, а потім використайте вкладку «Результати», щоб відкрити графіки. У цьому навчальному посібнику ми спочатку розглянемо дисперсію зон, а потім – залежність окремого коефіцієнта розсіювання від хвильового вектора та транспортні величини, що залежать від густини.

6. Аналіз дисперсії зони провідності

Відкрийте вихід каналу провідності, щоб отримати ??. При нульовому площинному хвильовому векторі кожна гілка починається з певної дискретної енергії локалізації. У міру збільшення \(k_{\parallel}\) гілки підіймаються, але не всі з однаковою швидкістю. Деякі з них значно вирівнюються, оскільки їхня ефективна площинна маса більша у напрямку, який відображено на графіку. Близькі гілки можуть зближуватися або перетинатися, якщо вони походять з окремо розглянутих орієнтацій долини; не слід автоматично інтерпретувати кожне зближення як мультисмугове перехрещення.

В однорідній за масою області окрема витягнута долина демонструє характерну для неї дисперсію в площині.

\[ E_n(k_x,k_y)\simeq E_n(0)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}}. \]

Саме тому корисно досліджувати напрямок векторів хвилі в площині, а не інтерпретувати набір кольорових кривих як копії єдиної ізотропної параболи. На графіку зображено еталонну енергію, яка використовується в прикладі; відмінності між енергіями піддіапазонів зазвичай є більш інформативними, ніж їх абсолютна різниця.

7. Від розсіювання акустичними фононами до релаксації імпульсу

Діаграма зон показує, які електронні стани є доступними. Сама по собі вона не дає відповіді на питання, наскільки легко електрони можуть проводити струм у цій області. Щоб обчислити рухливість, ми також повинні з’ясувати, як часто фонони розсіюють електрон, виводячи його з поточного стану, і – що дуже важливо – наскільки ефективно ці події змінюють напрямок його руху.

Відкрийте вікно відображення результатів розсіювання на вкладці «Результати» (??). У прикладі наведено як звичайні значення частоти фононних подій, так і значення частоти розсіювання з урахуванням транспортних характеристик. Їхня різниця не є суто формальною: зіткнення під дуже малим кутом змінює стан електрона, але може незначно впливати на загальний імпульс.

Відправною точкою для опису фазового переходу є правило Фермі, яке можна схематично представити.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar}|M_{fi}|^2 \,\delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}), \]

де елемент матриці взаємодії \(M_{fi}\) містить член, що описує зв’язок між деформаційним потенціалом і перекриттям початкового та кінцевого локалізованих електронних станів. Знак дозволяє поглинання або випромінювання фононів у загальному випадку. Для акустичного розрахунку, представленого тут, використовується звичайна наближена модель, що передбачає майже пружну, термічну взаємодію з фононами. У розрахунок локалізованих станів включено поздовню та поперечну акустичні поляризації, а також вектор фононної хвилі, перпендикулярний до площини.

Коефіцієнт транспортної швидкості вводить додатковий кутовий коефіцієнт. Для спрощеної моделі, яка використовує поняття напрямку імпульсу, його роль можна коротко описати так:

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(i)} =\sum_f W_{i\rightarrow f}\bigl(1-\cos\theta_{if}\bigr), \qquad \tau_{\mathrm{tr}}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr}}}. \]

У цій моделі переносу пригнічується пряме розсіювання (мале \(\theta_{if}\)), тоді як зворотне розсіювання відіграє більш значну роль. Саме тому загальний час життя фононів і час життя при переносі не обов’язково мають бути однаковими. На графіку ?? показано приклад залежності швидкості переносу: загалом, на зображеному діапазоні, ця швидкість збільшується зі збільшенням хвильового вектора. Її точна форма залежить від підзон, дозволених кінцевих станів, параметрів матеріалу та перекриття фононів.

Обраний результат призначений для сімейства долин, орієнтованих за віссю x, і для однієї підсмуги; сам по собі він не відображає повну рухливість електронного газу, що існує в шести долинах. Крім того, нульове значення або відсутність даних у точці \(k=0\) у вибірці не слід інтерпретувати як доказ того, що електрони в цій точці ніколи не розсіюються.

8. Від рівня Фермі до рухливості.

Показник рухливості не визначається для одного довільно обраного хвильового вектора. Електрони займають певний діапазон доступних станів, і частка зайнятих станів змінюється залежно від концентрації носіїв заряду в шарі. Отже, в процесі моделювання визначається рівень Фермі, який відповідає заданій двовимірній концентрації, і обчислюється середнє значення транспортної характеристики для всіх заповнених зон і орієнтацій долин.

Функція Фермі–Дірака, що описує заповнення електроном енергетичного рівня \(E\), дорівнює:

\[ f(E;E_F,T)=\frac{1}{1+\exp\!\left[(E-E_F)/(k_BT)\right]}. \]

Підсумовування зайнятих станів за площинними хвильовими векторами та відповідними піддіапазонами дає об’ємну густину \(n_{2D}\) в одиницях м\(^{-2}\). Зазвичай, для збільшення \(n_{2D}\) необхідно підвищувати рівень Фермі для електронів: ця залежність безпосередньо відображається на першому графіку нижче.

За умови застосування наближення про релаксацію часу переносу, провідність уздовж обраної площинної осі можна виразити через швидкості в зонах провідності та час життя носіїв заряду:

\[ \sigma_{xx}^{2D}=e^2\sum_{n,v}\int\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} v_{n,v,x}^2(\mathbf{k}_{\parallel})\, \tau_{n,v,\mathrm{tr}}(\mathbf{k}_{\parallel}) \left(-\frac{\partial f}{\partial E}\right), \qquad \mu_x=\frac{\sigma_{xx}^{2D}}{e\,n_{2D}}. \]

Тут \(v_{n,v,x}\) – це швидкість руху електронної групи вздовж осі x для піддіапазону \(n\) в межах долинної сім’ї \(v\). Відповідні кратні значення долин враховуються під час підсумовування фізично еквівалентних орієнтацій. Фактор \(-\partial f/\partial E\) надає найбільшу вагу станам, які можуть реагувати на невелике прикладене поле, а не розподіляє вагу рівномірно між усіма заповненими станами.

Обчислена рухливість зменшується приблизно з 0,57 до 0,49 м²/В⁻¹·с⁻¹ у межах показаного діапазону концентрацій на рисунку ??. Водночас зростає ефективна частота розсіювання при транспорті, як показано на рисунку ??. Це узгоджується з тим, що залежність від концентрації призводить до більшої ваги електронних станів із сильнішою релаксацією імпульсу в цій конкретній конфігурації. Відповідний ефективний час життя є величиною, що враховує транспорт, і його обернена величина не повинна плутатися з окремо зображеною частотою фононів для одного стану.

Цей приклад демонструє рухливість, передбачену налаштованою моделлю розсіювання; його не слід автоматично інтерпретувати як повну експериментальну характеристику рухливості Si/SiGe, що враховує всі можливі дефекти, характеристики міжфазної межі, домішки та фононні механізми.

9. Спробуйте самі.

Після того, як ви зможете відтворити надані результати, внесіть одну зміну за раз і повторіть обчислення. Наступні експерименти допоможуть встановити зв’язок між вхідними даними моделі та основною фізикою:

Найважливішим результатом є те, що рухливість електронів у кремнієвих структурах пов’язана з послідовністю обчислень: орієнтація та деформація долин енергії → обмежені підзони → доступні фононні переходи → час існування носіїв заряду → провідність у заповнених станах → рухливість. Це є основною відмінністю між цим прикладом і навчальними матеріалами про оптичні квантові ями.