Silizium/SiGe-Quantenpotentialtopf: Einführung in die sechs Δ-Täler und die Elektronenbeweglichkeit

1. Einleitung

In den vorherigen Beispielen mit Quantenringen haben wir direkte Halbleiter der Gruppe III–V verwendet, um die räumlich begrenzten Leitungs- und Valenzzustände sowie optische Übergänge zu berechnen. Silizium erfordert jedoch einen ganz anderen Ausgangspunkt. Die Minima seines Leitungsbandes liegen nicht im Zentrum der Brillouin-Zone (Γ). Stattdessen besitzt Silizium sechs äquivalente Minima im Leitungsband oder Δ-Täler, die paarweise und entgegengesetzt entlang der drei kubischen Kristallachsen angeordnet sind. Ihre unterschiedlichen effektiven Massen werden besonders wichtig, wenn Ladungsträger auf eine dünne Schicht beschränkt sind.

Hier werden wir ein 10 nm dickes Silizium-Quantenpotential zwischen zwei 20 nm dicken SiGe-Schichten simulieren. Wir werden die Dispersion der Elektronen-Unterbanden untersuchen und die Berechnung dann über die in den optischen Tutorials behandelten Aspekte hinaus fortsetzen: von der Streuung durch akustische Phononen bis zur Transportrelaxation, der Elektronendichte, dem Fermi-Niveau und der Beweglichkeit. Der Schwerpunkt liegt auf dem Elektronentransport und nicht auf einer direkten optischen Verstärkung; Silizium ist ein Halbleiter mit indirekter Bandlücke.

2. Öffnen des Beispiels für das Silizium-Δ-Tal

In OghmaNano wählen Sie Datei → Neue Simulation. Doppelklicken Sie in der Vorlagenbibliothek auf die Kategorie „GaAs-Beispiele“ (??). Diese Sammlung enthält auch die anderen Halbleiter-Quantenwellenmodelle. Öffnen Sie im nächsten Fenster „Strained Si/SiGe Delta-Valley Quantum Well“ (??). Verwenden Sie zunächst die mitgelieferte Konfiguration unverändert, damit Sie die Ergebnisse Ihrer ersten Simulation mit den untenstehenden Diagrammen vergleichen können.

3. Untersuchung der Schichtstruktur aus Silizium/Siliziumgermanium

Klicken Sie im Bereich „Gerätestruktur“ auf „Layereditor“, um das Beispiel (??) zu untersuchen. Die Einschränkungsrichtung erfolgt durch die drei Schichten (hier als z-Achse dargestellt); Elektronen können sich weiterhin parallel zum Potentialtopf in der x-y-Ebene bewegen.

Die im Editor sichtbaren Einträge zu den optischen Materialien sollten nicht mit einer vollständigen Spezifikation der elektronischen Bandverschiebung oder des Ge-Anteilanteils verwechselt werden. Diese hängen von den konfigurierten Materialparametern ab. Lassen Sie das bereitgestellte Beispiel vorerst unverändert.

Sie können die Materialdaten einsehen, indem Sie die elektrischen Parameter öffnen und die Registerkarte „Si (QW)“ auswählen (??). Die Silizium-Materialbibliothek stellt temperaturabhängige Halbleiterparameter bereit. Für eine präzise Berechnung von Si/SiGe sollten Sie die effektiven Massen, die Bandverschiebung, die Ge-Zusammensetzung und die Spannungskonfiguration überprüfen, anstatt sich ausschließlich auf einen einzelnen Wert für die Bandlücke von Silizium zu verlassen.

4. Warum benötigt Silizium ein Modell mit sechs Tälern?

Stellen Sie sich ein Elektron vor, das sich in der Ebene des Quantenbrunnens bewegt. In einem herkömmlichen, isotropen, parabolischen Modell hängt seine Energie nur von der Größe seines Wellenvektors ab. Silizium ist anders: Jedes Δ-Tal ähnelt einem Ellipsoid mit einer größeren Längsmasse entlang seiner Achse und einer kleineren Quer masse senkrecht zu dieser Achse. Die Täler bilden die drei entgegengesetzten Paare ±x, ±y und ±z. Jedes Paar wird mit der Masse behandelt, die seiner Ausrichtung relativ zur Wachstumsrichtung des Quantenbrunnens entspricht.

Für ein gegebenes Tal lässt sich das Problem der effektiven Massenbeschränkung schematisch wie folgt darstellen:

\[ \left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{1}{m_z^{*}(z)}\frac{\partial}{\partial z}\right) +V_{\Delta}(z)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}(z)} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}(z)}\right]\psi(z) =E(k_x,k_y)\psi(z). \]

Hierbei bezeichnet \(V_{\Delta}\) das Konfinementpotenzial für das Leitungsband des gewählten Valenzbandminimums, einschließlich der durch die Verspannung verursachten Verschiebung. Die effektiven Massen können sich von Schicht zu Schicht unterscheiden. Das wichtige Merkmal ist, dass die Masse in z-Richtung das Konfinement bestimmt, während die beiden Massen in der Ebene die Steigung und Krümmung der Teilbanddispersion bestimmen.

Bei einer (001)-ausgerichteten Struktur hat das ±z-Paar (oft als Δ2 bezeichnet) seine longitudinale Masse entlang der Richtung, in der die Struktur eingeschränkt ist. Die vier ±x/±y-Täler (Δ4) haben stattdessen ihre transversale Masse entlang der z-Achse. Selbst ohne äußere Beanspruchung müssen ihre Einschlussenergien nicht übereinstimmen. Eine äußere Beanspruchung kann ihre Talränder weiter voneinander trennen, und zwar ungefähr gemäß

\[ \Delta E_{c,i}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)+\Xi_u\,\varepsilon_{ii}, \qquad i\in\{x,y,z\}. \]

Der erste Term verschiebt alle Talsymmetrien entsprechend der Gesamtdehnung, während der zweite Term die Dehnungskomponente entlang der Achse jedes Tals differenziert. Diese Energiedifferenz Δ2/Δ4 ist nicht dasselbe wie die geringfügige, durch die Grenzfläche verursachte Aufspaltung zwischen den beiden gegenüberliegenden Tälern innerhalb eines Paares; letztere würde zusätzliche physikalische Wechselwirkungen zwischen den Tälern erfordern und sollte nicht allein aus dieser Darstellung abgeleitet werden. Weitere Informationen finden Sie auf der Seite Silizium-Δ-Tal-Theorie.

5. Führen Sie die Simulation aus.

Kehren Sie zur Registerkarte „Datei“ zurück und klicken Sie auf „Simulation starten“. Das Modell berechnet zunächst die räumlich begrenzten Leitfähigkeitszustände anhand einer Reihe von Wellenvektoren in der Ebene, bevor es die Ergebnisse der Elektronenstreuung und des Elektronentransports auswertet. In ?? hat das Terminal die Phase der akustischen Streuung erreicht. Eine während der laufenden Simulation angezeigte Prozentzahl dient als Fortschrittsanzeige und stellt kein endgültiges Streuergebnis dar.

Warten Sie, bis die Berechnung abgeschlossen ist, und öffnen Sie dann die Diagramme über den Reiter „Ausgabe“. In diesem Tutorial werden wir zunächst die Bandenstreuung betrachten, gefolgt von einer individuellen, vom Wellenvektor abhängigen Streurate und den von der Dichte abhängigen Transportgrößen.

6. Die Dispersionskurve des Leitungsbandes untersuchen

Öffnen Sie den Ausgang des Leitungsbandes, um ?? zu erhalten. Bei einem In-Ebenen-Wellenvektor von Null beginnt jeder Zweig bei einer diskreten Einschlussenergie. Wenn \(k_{\parallel}\) zunimmt, steigen die Zweige an, jedoch nicht alle mit der gleichen Geschwindigkeit. Einige sind deutlich flacher, da ihre effektive In-Ebenen-Masse in der dargestellten Richtung größer ist. Nahe beieinander liegende Zweige können sich annähern oder kreuzen, wenn sie von getrennt betrachteten Talsymmetrien ausgehen; man sollte nicht automatisch jede Annäherung als eine Mehrband-Antikreuzung interpretieren.

In einem Bereich mit gleichmäßiger Massenverteilung weist ein einzelnes, in einer bestimmten Richtung ausgerichtetes Tal eine typische, in der Ebene verlaufende Streuung auf.

\[ E_n(k_x,k_y)\simeq E_n(0)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}}. \]

Aus diesem Grund ist es sinnvoll, die Richtung des Wellenvektors in der Ebene zu untersuchen, anstatt die Menge der farbigen Kurven als Kopien einer einzelnen isotropen Parabel zu interpretieren. Die in der Grafik dargestellte Energienorm ist die gleiche, die im Beispiel verwendet wird; Unterschiede zwischen den Energien der Teilbänder sind in der Regel aussagekräftiger als ihre absolute Abweichung.

7. Von der Streuung an Akustikphononen zur Impulsrelaxation

Das Banddiagramm zeigt uns, welche Elektronenzustände verfügbar sind. Es gibt uns jedoch nicht von selbst Auskunft darüber, wie leicht Elektronen sich entlang des Potentialsprungs bewegen können. Um die Beweglichkeit zu berechnen, müssen wir auch untersuchen, wie häufig Phononen ein Elektron aus seinem aktuellen Zustand streuen, und – was entscheidend ist – wie effektiv diese Ereignisse seine Bewegungsrichtung verändern.

Öffnen Sie die Streuungsergebnisse im Register „Ausgabe“ (??). Das Beispiel zeigt sowohl die üblichen Phononen-Ereignisraten als auch die transportgewichteten Streuraten. Der Unterschied zwischen ihnen ist nicht nur eine Frage der Darstellung: Eine Kollision mit einem sehr kleinen Winkel verändert zwar den Zustand eines Elektrons, hat aber möglicherweise nur geringe Auswirkungen auf die Veränderung seines gesamten Impulses.

Der Ausgangspunkt für einen Phononenübergang ist Fermis goldene Regel, vereinfacht dargestellt.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar}|M_{fi}|^2 \,\delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}), \]

Dabei enthält das Element \(M_{fi}\) der Interaktionsmatrix die Kopplung des Deformationspotenzials und die Überlappung der anfänglichen und endgültigen, räumlich begrenzten Elektronenzustände. Das Vorzeichen ermöglicht im Allgemeinen die Absorption oder Emission von Phononen. Für die hier dargestellte akustische Berechnung wird die übliche, nahezu elastische, thermische Phononen-Approximation verwendet. Längs- und querpolarisiertes akustisches Feld sowie der Phononen-Wellenvektor außerhalb der Ebene werden in die Berechnung der räumlich begrenzten Zustände einbezogen.

Die Transportrate führt eine zusätzliche Winkelgewichtung ein. Für das einfache Impulsrichtungskonzept, das in diesem Modell verwendet wird, lässt sich ihre Funktion wie folgt zusammenfassen:

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(i)} =\sum_f W_{i\rightarrow f}\bigl(1-\cos\theta_{if}\bigr), \qquad \tau_{\mathrm{tr}}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr}}}. \]

Bei dieser Transportmethode wird die Vorwärtsstreuung (geringe \(\theta_{if}\)-Werte) unterdrückt, während die Rückwärtsstreuung einen größeren Beitrag leistet. Dies ist der Grund, warum die gesamte Phononenstreuungslebensdauer und die Transportlebensdauer nicht unbedingt identisch sein müssen. Ein Beispiel für eine Grafik der Transportrate ist in ?? dargestellt: Die dargestellte Rate nimmt im Allgemeinen mit dem Wellenvektor über den angezeigten Bereich zu. Ihre genaue Form hängt von den Nebenbändern, den zulässigen Endzuständen, den Materialparametern und den Phononenüberlappungen ab.

Die ausgewählte Ausgabe bezieht sich auf die in x-Richtung ausgerichtete Talfamilie und ein einzelnes Teilband; sie stellt nicht allein die vollständige Beweglichkeit des Elektronengases mit seinen sechs Tälern dar. Auch sollte eine Null- oder fehlende Rate genau bei \(k=0\) in einer abgetasteten Ausgabe nicht als Beweis dafür interpretiert werden, dass Elektronen dort niemals gestreut werden.

8. Vom Fermi-Niveau zur Beweglichkeit

Die Beweglichkeit wird nicht an einem einzelnen, willkürlich ausgewählten Wellenvektor bewertet. Elektronen besetzen eine Reihe von verfügbaren Zuständen, und der besetzte Bereich ändert sich mit der Trägerdichte in der Schicht. Die Simulation bestimmt daher ein für die angeforderte zweidimensionale Dichte geeignetes Fermi-Niveau und mittelt die Transportantwort über die besetzten Bänder und die Ausrichtung der Täler.

Die Fermi-Dirac-Belegung eines Elektronenenergiezustands mit der Energie \(E\) ist

\[ f(E;E_F,T)=\frac{1}{1+\exp\!\left[(E-E_F)/(k_BT)\right]}. \]

Die Summation der besetzten Zustände über die in der Ebene liegenden Wellenvektoren und die relevanten Teilbänder ergibt eine Flächenladungsdichte \(n_{2D}\) in m\(^{-2}\). Eine Erhöhung von \(n_{2D}\) erfordert in der Regel eine Anhebung des Fermi-Niveaus der Elektronen: dieser Zusammenhang wird direkt in der ersten Grafik weiter unten dargestellt.

Im Rahmen der Relaxationszeit-Näherung für den Ladungsträgertransport kann die Leitfähigkeit entlang der ausgewählten Ebene durch die Bandgeschwindigkeiten und die Transportlebensdauern ausgedrückt werden:

\[ \sigma_{xx}^{2D}=e^2\sum_{n,v}\int\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} v_{n,v,x}^2(\mathbf{k}_{\parallel})\, \tau_{n,v,\mathrm{tr}}(\mathbf{k}_{\parallel}) \left(-\frac{\partial f}{\partial E}\right), \qquad \mu_x=\frac{\sigma_{xx}^{2D}}{e\,n_{2D}}. \]

Hierbei bezeichnet \(v_{n,v,x}\) die Gruppengeschwindigkeit der Elektronen entlang der x-Achse für das Teilband \(n\) der Talschwingung \(v\). Bei der Summation der physikalisch äquivalenten Orientierungen werden die entsprechenden Talfachzahlen berücksichtigt. Der Faktor \(-\partial f/\partial E\) gewichtet Zustände, die auf ein schwaches angelegtes Feld reagieren können, stärker als alle anderen besetzten Zustände.

Die berechnete Beweglichkeit nimmt im dargestellten Dichtebereich in ?? von etwa 0,57 auf 0,49 m2 V−1 s−1 ab. Gleichzeitig steigt die effektive Streuungsrate für den Ladungsträgertransport, wie in ?? dargestellt. Dies steht im Einklang mit der Dichteabhängigkeit der Besetzung, die in dieser speziellen Konfiguration den Elektronenzuständen mit stärkerer Impulsrelaxation eine größere Bedeutung beimisst. Die entsprechende effektive Lebensdauer ist eine durch den Ladungsträgertransport gewichtete Größe, und ihr Kehrwert sollte nicht mit einer separat dargestellten Einzelzustands-Phononrate verwechselt werden.

Dieses Beispiel veranschaulicht die durch das konfigurierte Streumodell vorhergesagte Beweglichkeit; es sollte nicht automatisch als eine vollständige experimentelle Si/SiGe-Beweglichkeit interpretiert werden, die alle möglichen Störfaktoren, Grenzflächen, Verunreinigungen und Phononenmechanismen berücksichtigt.

9. Probieren Sie es selbst aus.

Sobald Sie die vorgegebenen Ergebnisse reproduzieren können, nehmen Sie jeweils nur eine Änderung vor und führen die Berechnung erneut aus. Die folgenden Experimente helfen dabei, die Modelleingaben mit den zugrunde liegenden physikalischen Prinzipien in Verbindung zu bringen:

Das wichtigste Ergebnis ist, dass die Beweglichkeit von Silizium mit einer Kette von Berechnungen verbunden ist: Ausrichtung und Verformung des Tals → eingeschränkte Subbänder → verfügbare Phononenübergänge → Transportlebensdauern → Leitfähigkeit im besetzten Zustand → Beweglichkeit. Dies ist der Hauptunterschied zu den Beispielen und den Anleitungen zu optischen Quantenpotentialtälern.