Silizium/SiGe-Quantenpotentialtopf: Einführung in das sechsbandige Luttinger-Kohn-Modell für Löcher

1. Einleitung

In unserem Silizium-Δ-Tal-Tutorial haben wir die Elektronen in einem Si/SiGe-Quantenpotential untersucht. In diesem Tutorial betrachten wir die andere Seite seiner elektronischen Struktur: Löcher im Valenzband. Obwohl die Schichtanordnung ähnlich ist, ist die zugrunde liegende Physik jedoch ganz anders. Ein Elektron in der Nähe eines einzelnen Silizium-Leitungsbandtals kann mithilfe einer anisotropen effektiven Masse beschrieben werden; die Spitze des Valenzbandes enthält mehrere benachbarte, interagierende Zustände. Eine einzelne Löcherparabel erfasst daher nicht alle wichtigen Informationen.

Hier verwenden wir das sechsbandige Luttinger-Kohn-Modell (LK6) von OghmaNano, um die Energieniveaus von eingeschränkten Loch-Subbändern in einem 10 nm dicken Silizium-Quantenbrunnen zwischen zwei 20 nm dicken SiGe-Schichten zu berechnen. Anschließend erweitern wir die Berechnung über die Bandenergien hinaus: Das Beispiel umfasst auch die Streuung durch akustische Phononen, die Besetzung von Lochzuständen und die daraus resultierende In-Plane-Mobilität. Sie können das mitgelieferte Standardbeispiel verwenden, ohne die Struktur von Grund auf neu aufbauen zu müssen.

2. Öffnen des Beispiels mit sechs Frequenzbändern

Wählen Sie Datei → Neue Simulation. Im Beispielbrowser doppelklicken Sie auf GaAs-Demonstrationen (??). Dieser Ordner enthält auch die Vorlagen für Halbleiter-Quantenpotentialtöpfe, einschließlich Siliziumbeispiele. Im nächsten Fenster doppelklicken Sie auf „Strained Si/SiGe Valence-Band Quantum Well“ (LK6) (??). Achten Sie darauf, das Beispiel für das Valenzband auszuwählen: die benachbarte Delta-Valley-Vorlage berechnet stattdessen Silizium-Leitungselektronen.

3. Untersuchung der Si/SiGe-Struktur und der Materialparameter

Das Hauptfenster zeigt eine dreidimensionale Darstellung des Beispiels (??). Die Ladungsträger sind auf die Schichten beschränkt, die wir als z-Richtung bezeichnen, behalten aber ihre Bewegungsfreiheit in der x-y-Ebene. Klicken Sie auf „Schichteneditor“, um die tatsächlichen Schichtdicken und die Zuordnung der zentralen Schicht als Quantenpotential zu sehen.

Die in ?? dargestellte optische Materialspalte ist kein Ersatz für die Überprüfung der Definitionen für elektronische Materialien. Bandkantenverschiebung, Legierungszusammensetzung und alle Einstellungen für die Beanspruchung beeinflussen das tatsächliche Einschluss- bzw. Begrenzungspotenzial. Behalten Sie daher die in dem Beispiel angegebene Konfiguration für Ihre erste Ausführung bei.

Öffnen Sie die elektrischen Parameter und wählen Sie Si (QW) (??) aus. Der Screenshot zeigt den Luttinger-Parameter Gamma1 und die entsprechende Literaturreferenz. Im Gegensatz zu einem Einband-Elektronenmodell verwendet die Valenzbandberechnung drei Luttinger-Parameter, um die gekoppelten Schwerloch-, Leichterloch- und abgespaltenen Zweige zu beschreiben. Darüber hinaus sind die Spin-Bahn-Aufspaltung und, falls eine Dehnung berücksichtigt wird, geeignete Deformationspotenzialparameter erforderlich.

4. Warum benötigt das Valenzband sechs Komponenten?

In der Nähe des maximalen Wertes des Valenzbandes von Silizium gibt es zwei bekannte Arten von Lochzuständen: schwere Löcher (HH) und leichte Löcher (LH). Eine weitere, energieärmere Gruppe von Zuständen (SO) entsteht durch die Spin-Bahn-Wechselwirkung. Jede dieser Gruppen besteht aus zwei spinabhängigen Basiszuständen, was die sechs Komponenten im LK6-Modell ergibt. Diese sind Basiskomponenten einer gekoppelten Wellenfunktion, es handelt sich also nicht unbedingt um sechs unabhängig voneinander verlaufende parabolische Bänder.

Die Quantenwellen-Hüllfunktion kann schematisch als ein sechsdimensionaler Spaltenvektor dargestellt werden.

\[ \Psi(z)=\begin{pmatrix} F_{\mathrm{HH}+}(z) & F_{\mathrm{LH}+}(z) & F_{\mathrm{SO}+}(z) & F_{\mathrm{HH}-}(z) & F_{\mathrm{LH}-}(z) & F_{\mathrm{SO}-}(z) \end{pmatrix}^{\!T}. \]

Hier geben die Bezeichnungen die grundlegenden Eigenschaften der zugrunde liegenden Drehimpulsbasis an. Wenn sich der Impuls in der Ebene ändert, vermischen sich die Komponenten im Allgemeinen, sodass ein Eigenzustand, der anfänglich als HH-ähnlich beschrieben wird, bei größeren Wellenvektoren nicht unbedingt rein als schweres Lochverhalten vorliegen muss. Das vom Computer gelöste Problem hat die folgende Form:

\[ \left[H_{\mathrm{LK}}(k_x,k_y,-i\partial_z) +H_{\mathrm{BP}}(\varepsilon)+V_v(z)I_6\right]\Psi =E(k_x,k_y)\Psi. \]

Der Luttinger-Kohn-Term beschreibt die kinetische Energie und das Mischen der Valenzzustände; der Bir-Pikus-Term beschreibt ihre Reaktion auf eine Verformung; und \(V_v(z)\) stellt das Konfinementprofil des Valenzbandes dar. Das Modell behält die Kopplung zwischen den Basiskomponenten bei, anstatt HH, LH und SO jeweils eine unabhängige konstante Masse zuzuweisen. Für das Tutorial müssen Sie diese Matrix nicht manuell erstellen; weitere Informationen finden Sie unter die Seite zur LK6-Theorie für den detaillierten Hamilton-Operator.

Zum Vergleich zeigt selbst eine vereinfachte, allgemeine Näherung, warum die drei Luttinger-Parameter von Bedeutung sind: Entlang einer kubischen Hauptrichtung stehen die Krümmungen der schweren und leichten Löcher in einer Beziehung zu unterschiedlichen Kombinationen der Parameter, was schematisch dargestellt werden kann.

\[ \frac{m_0}{m_{\mathrm{HH}}^{*}}\simeq\gamma_1-2\gamma_2, \qquad \frac{m_0}{m_{\mathrm{LH}}^{*}}\simeq\gamma_1+2\gamma_2. \]

Dies sind nützliche, veranschaulichende Näherungsverhältnisse, aber keine Anweisung, die vollständige Berechnung mit sechs Energieniveaus in der Quantenpotentialtopfstruktur durch zwei getrennte Parabeln zu ersetzen. In der begrenzten Struktur bestimmen die Breite des Potentialtopfs, die Spin-Bahn-Kopplung, die Verspannung und der Impuls in der Ebene die tatsächlichen Eigenwerte und deren sich ändernden Zustandscharakter.

5. Durchführung der Berechnung

Kehren Sie zum Menüband „Datei“ zurück und klicken Sie auf „Simulation ausführen“. OghmaNano berechnet zunächst die räumlich begrenzten Valenzzustände von LK6 entlang einer Reihe von Wellenvektoren in der Ebene. Sie können den Berechnungsprozess im Tab „Terminal“ verfolgen (??). Die angezeigten target-Energiewerte sind interne Ziele des Eigenwertlösers; die angezeigten Konvergenzmeldungen deuten darauf hin, dass die angeforderten Eigenzustände numerisch gefunden wurden.

Warten Sie, bis der Solver seine Berechnungen abgeschlossen hat. Die Berechnung der Streuung benötigt zusätzliche Zeit, da die Übergänge zwischen den besetzten Anfangs- und den verfügbaren Endzuständen der Elektronen bewertet werden müssen, anstatt lediglich die Energien der Teilbänder zu bestimmen.

6. Auswertung der berechneten Valenzbanddispersion

Öffnen Sie die Registerkarte „Ausgabe“. Die erstellten Dateien enthalten Diagramme, die sich auf die Bandstruktur beziehen, sowie Ordner für Streuung und Mobilität (??). Öffnen Sie das Ergebnis für das Valenzband, um ?? zu erhalten.

Bei \(k_{\parallel}=0\) bestimmt die räumliche Begrenzung die diskrete Anfangsenergie jeder Teilband. Bei Übergang zu einem endlichen \(k_{\parallel}\) biegen sich die Kurven in der dargestellten Elektronenenergie-Darstellung nach unten, wobei sie eine etwas andere Krümmung und einen etwas größeren Abstand aufweisen. Die eng beieinander liegenden Linienpaare stimmen mit spinbezogenen (Kramers-)Partnern in einer zeitumgekehrten symmetrischen Berechnung überein; sie sollten nicht automatisch verschiedenen Locharten zugeordnet werden.

Eine hilfreiche Methode, um diesen Sachverhalt zu verstehen, ist, sich daran zu erinnern, dass ein „Loch“ das Fehlen eines Elektrons im Valenzband bezeichnet. Die Energie eines Lochs kann daher relativ zu einem gewählten Bezugspunkt im Valenzband ausgedrückt werden als:

\[ E_h(\mathbf{k}_{\parallel})=E_{v,\mathrm{ref}}-E_v(\mathbf{k}_{\parallel}). \]

Daraus folgt, dass ein Zweig der Valenzelektronen, der sich nach unten von seinem Maximum aus wölbt, einer zunehmenden Anregungsenergie für Löcher entspricht. Die tatsächliche HH/LH/SO-Charakteristik eines einzelnen Zweigs wird anhand des sechsdimensionalen Eigenvektors und nicht allein anhand seiner Farbe oder Krümmung bestimmt.

Es lohnt sich, dieses Ergebnis mit der Leitungsbanddispersion in dem Tutorial Silizium-Δ-Tal-Tutorial zu vergleichen. Dort werden die verschiedenen Talorientierungen unter Verwendung anisotroper Elektronenmassen behandelt; hier werden die Lochzustände direkt in dem Mehrband-Valenz-Hamilton-Operator gekoppelt.

7. Akustisch-phononische Streuung und die Lebensdauer von Löchern

Eine Bandstruktur gibt Auskunft darüber, welche Leerstellenzustände verfügbar sind, kann aber nicht eigenständig vorhersagen, wie schnell eine Leerstelle ihren Impuls verliert. In diesem Beispiel verwendet OghmaNano die berechneten, auf bestimmte Bereiche beschränkten Zustände, um die Streuung durch akustische Phononen zu bewerten. Ein akustisches Phonon erzeugt ein kleines Spannungsfeld im Kristall, das die Valenzbänder beeinflusst und potenziell eine Leerstelle von einem Anfangszustand \(i\) in einen Endzustand \(f\) überträgt.

Öffnen Sie den Ordner für die Streuungsdaten im Reiter „Ausgabe“ (??). Die nummerierten Dateien stellen die berechneten Zustände dar. Das bereitgestellte Beispielbild von si_lk6_acoustic_tau_02.csv zeigt beispielsweise die akustische Streuungslebensdauer in Abhängigkeit vom Wellenvektor in der Ebene.

Der physikalische Ausgangspunkt ist Fermis goldene Regel.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle\Psi_f|H_{\mathrm{e-ph}}|\Psi_i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}). \]

Das Matrixelement beschreibt, wie stark eine Gittervibration die beiden Lochzustände miteinander koppelt; die Delta-Funktion stellt die Energieerhaltung bei der Absorption oder Emission von Phononen dar. In einem sechsbandigen Valenzbandmodell hängt die Kopplung von den mehrkomponentigen Lochwellenfunktionen ab, sodass die zulässigen Übergänge sowohl durch die Mischung von HH/LH/SO als auch durch die verfügbaren Endenergien beeinflusst werden. Die vorliegende Ausgabe bezieht sich auf die akustische Phononen-Approximation, die in diesem Beispiel verwendet wird.

Die Summe der zulässigen Übergänge ergibt die Gesamtübergangsrate \(\Gamma_i\) und die entsprechende Lebensdauer.

\[ \Gamma_i=\sum_f W_{i\rightarrow f},\qquad \tau_i=\frac{1}{\Gamma_i}\quad(\Gamma_i\gt 0). \]

Die in ?? angegebene Lebensdauer ist nicht konstant. Sie ändert sich, wenn sich der Wellenvektor durch verschiedene Bereiche der gekoppelten Valenzbanddispersion bewegt. Die bei dem ersten erfassten Punkt angezeigte Null sollte als eine Konvention für eine Grenze/Ausgabe oder als ein Wert betrachtet werden, der einer Überprüfung bedarf, und nicht als Beweis dafür, dass die physikalische Streulebensdauer genau bei \(k_{\parallel}=0\) tatsächlich Null ist.

Eine weitere Unterscheidung ist für den Transport von Bedeutung: Nicht jede Kollision führt zu einer gleichmäßigen Entspannung des Stroms. Eine Streuung in kleinen Winkeln kann den mikroskopischen Zustand verändern, hat aber relativ wenig Einfluss auf die resultierende Bewegungsrichtung. Eine transportgewichtete Rate wird daher oft schematisch wie folgt dargestellt:

\[ \Gamma_{\mathrm{tr},i}=\sum_f W_{i\rightarrow f} \left(1-\cos\theta_{if}\right),\qquad \tau_{\mathrm{tr},i}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr},i}}. \]

Der hier dargestellte Ausdruck für den Winkelbereich veranschaulicht das Prinzip der Impulsrelaxation. Bei anisotropen Mischbandstrukturen muss die vollständige Transportberechnung die entsprechenden Geschwindigkeiten und Gewichtungsfaktoren verwenden. Aus diesem Grund unterscheidet die Ausgabe zwischen akustischen Streuraten/Lebensdauern und transportbezogenen Größen, anstatt für jeden Zweck eine einzige Zahl zu verwenden.

8. Von der Konzentration der Defektstellen und dem Fermi-Niveau zur Beweglichkeit.

Um eine messbare Transportgröße zu erhalten, müssen wir die Streuinformationen mit der Anzahl der Löcher kombinieren, die jeden Teil jedes Unterbandes besetzen. Das Tutorial enthält daher eine Reihe von Messungen der Flächenladungsträgerdichte \(p_{2D}\) in den Einheiten m−2.

Das Fermi-Niveau gibt an, welche elektronischen Zustände besetzt sind. Für die Energie eines Valenzelektrons \(E_v\) kann die Gleichgewichtsausfüllung des entsprechenden Lochzustands wie folgt dargestellt werden:

\[ f_h(E_v)=1-f_e(E_v) =\frac{1}{1+\exp\!\left[(E_F-E_v)/(k_B T)\right]}. \]

Eine Erhöhung der Dichte der Löcher im Material verschiebt das chemische Potenzial relativ zu den Valenzzuständen, was in der Grafik auf der linken Seite dargestellt wird. Die genauen numerischen Energiewerte hängen von der im Modell verwendeten Referenz ab; die Richtung der Veränderung und die daraus resultierenden Belegungen sind die zentralen Merkmale.

OghmaNano berechnet anschließend die Geschwindigkeit und die Transportrelaxationszeit der besetzten Zustände, um die Leitfähigkeit der Ebene in der jeweiligen Richtung zu ermitteln \(\sigma_{2D}\). Die entsprechende Beweglichkeit der Löcher beträgt

\[ \mu_h=\frac{\sigma_{2D}}{q\,p_{2D}}, \qquad \sigma_{2D}\sim q^2\sum_n\int \frac{d^2 k_{\parallel}}{(2\pi)^2} \,v_{n,x}^{2}\,\tau_{\mathrm{tr},n} \left(-\frac{\partial f_e}{\partial E}\right). \]

Hierbei bezeichnet \(v_{n,x}\) die Gruppengeschwindigkeit in der Ebene des Teilbandes \(n\), und das Integral zeigt, dass Zustände mit unterschiedlichen Wellenvektoren unterschiedlich zur Stromstärke beitragen. Die Darstellung der Beweglichkeit (??) zeigt einen moderaten Abfall über den dargestellten Dichtebereich (ungefähr 0,165 bis 0,151 m2 V−1 s−1). Dies ist ein Ergebnis für das konfigurierte Beispiel und die darin enthaltene Streuphysik, nicht ein allgemeingültiges Gesetz für die Beweglichkeit von Löchern in Silizium oder eine Vorhersage, die alle experimentellen Verlustmechanismen berücksichtigt.

9. Probieren Sie es selbst aus.

Damit ist die Einführungsserie mit sechs Modellen für Quantenpotentiale abgeschlossen. Die vollständige mathematische Formulierung und die Bedeutung der Materialparameter werden im Kapitel Sechs-Band-Luttinger-Kohn-Theorie und im Kapitel Bir-Pikus-Dehnungstheorie beschrieben.