Streuung, Relaxationszeiten und Mobilität

Die Trägermobilität in einem Quantenpotential ist durch Streuung begrenzt. OghmaNano implementiert derzeit die Streuung durch akustische Phononen mithilfe des Deformationspotenzials, wobei die Fermi-Goldene Regel angewendet wird, und wandelt die resultierenden Relaxationszeiten mithilfe der Relaxationszeit-Approximation in eine Mobilität um. Auf dieser Seite wird dieser Mechanismus dokumentiert, und es wird klar dargelegt, was enthalten ist und was nicht.

1. Fermis goldene Regel

Die Übergangsrate von einem Anfangszustand \(|i\rangle\) zu Endzuständen \(|f\rangle\) unter dem Einfluss einer Störung \(\delta H\) beträgt

\[ \Gamma_i = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_f \big|\langle f|\delta H|i\rangle\big|^2\, \delta\!\big(E_f - E_i\big), \]

Die Delta-Funktion erzwingt die Energieerhaltung bei elastischer Streuung. Für akustische Phononen bei Betriebstemperaturen ist der Prozess nahezu elastisch, und im Grenzfall der gleichmäßigen Energieverteilung trägt die Phononenbesetzung mit einem Faktor \(k_B T\) bei. Die Störung ist das Spannungsfeld des akustischen Phonons, das über das Deformationspotential mit den Energiebändern koppelt.

2. Das akustische Deformationspotenzial

Ein akustisches Phonon erzeugt lokal eine Verformung des Kristallgitters, und diese Verformung verschiebt die Bandränder durch das Deformationspotential \(D\). OghmaNano erstellt das Verformungsfeld eines Phonons mit dem Wellenvektor \(\mathbf{q}\) und der Polarisation \(\hat{\mathbf{e}}\) und koppelt es dann an die Bänder an – für die Valenzbänder über das gleiche Bir–Pikus-Deformationspotential, das auch für die statische Verformung verwendet wird. Die Mittelung des quadrierten Matrixelements über die Phononenbesetzung im Gleichverteilungszustand ergibt den Präfaktor.

\[ \text{prefactor} = \frac{D^2\,k_B T}{\rho\,v_s^2\,\hbar}, \]

wobei \(\rho\) die Massendichte und \(v_s\) die Schallgeschwindigkeit ist. Die Rate nimmt linear mit der Temperatur zu, was ein typisches Merkmal der akustischen Deformationsstreuung ist.

3. Dichte der Endzustände und Formfaktor

Zwei weitere Faktoren vervollständigen die Berechnung der Übergangsrate. Die Energiedifferenzfunktion wird berechnet, indem für jedes finale Teilband der Wellenvektor \(k_f\) ermittelt wird, bei dem \(E_f(k_f)=E_i\) gilt, und dieser Wert mit der zweidimensionalen Zustandsdichte an dieser Stelle gewichtet wird, die proportional zu \(k_f/|dE/dk|\) ist. Und die Überlappung der anfänglichen und finalen Wellenfunktionen – der Formfaktor \(G\) – misst, inwieweit die beiden Zustände denselben Bereich des Potentials teilen; die Intersubband-Streuung wird unterdrückt, wenn die Zustände nur wenig räumliche Überlappung aufweisen. Die Übergangsrate für den Zustand \(i\) ist daher

\[ \Gamma_i = \text{prefactor}\,\sum_f \frac{k_f\,G_{if}}{|dE/dk|_f}, \qquad \tau_i = \frac{1}{\Gamma_i}. \]

Die Relaxationszeit \(\tau_i\) ist einfach der Kehrwert der Gesamtübergangsrate aus dem Zustand \(i\).

4. Von der Entspannungszeit zur Mobilität

Die Beweglichkeit ergibt sich aus der linearisierten Boltzmann-Gleichung unter Verwendung der Annäherung der Relaxationszeit. Jeder Zustand trägt proportional zum Quadrat seiner Gruppengeschwindigkeit, seiner Relaxationszeit und der Ableitung der Besetzungsfunktion zur Leitfähigkeit bei. Die Gruppengeschwindigkeit ist

\[ v(k) = \frac{1}{\hbar}\,\frac{dE}{dk}, \]

und die aus der Belegung resultierende Ableitungsfunktion, die den Transport auf Zustände in der Nähe des Fermi-Niveaus beschränkt, ist \(-\partial f/\partial E = f(1-f)/k_B T\). Durch Integration über die Teilbänder ergibt sich:

\[ \sigma \propto q^2 \sum_n \int \frac{dk}{(2\pi)}\; k\,v(k)^2\,\tau(k)\,\big[-\partial f/\partial E\big], \]

und die Beweglichkeit ist die Leitfähigkeit pro Einheitsladung und Flächenladungsdichte.

\[ \mu = \frac{\sigma}{q\,p_{2D}}, \]

Dabei wird die Flächenbeschaffenheit \(p_{2D}=\sum_n\int (k\,dk/2\pi)\,f\) anhand derselben Dispersion bewertet. Dies ergibt eine effektive Beweglichkeit, die die tatsächliche, nicht-parabolische Subbandstruktur widerspiegelt und nicht auf einer Schätzung basierend auf einer einzigen Masse beruht.

5. Annahmen und Einschränkungen

Das implementierte Modell ist bewusst spezifisch. Es behandelt die Streuung von akustischen Phononen durch das Deformationspotential im elastischen, gleichverteilten Zustand und berechnet den Transport unter Verwendung der Relaxationszeit-Approximation. Es berücksichtigt keine Streuung durch polare optische (Fröhlich-) Phononen, ionisierte Verunreinigungen, Oberflächenrauheit oder Legierungsstörungen sowie keine inelastische Phononenemission/Absorption, die über die gleichverteilte Behandlung hinausgeht. Wenn diese Mechanismen vorherrschend sind – beispielsweise bei polaren Materialien bei Raumtemperatur oder bei stark dotierten oder rauen Strukturen – sollte die berechnete Beweglichkeit als der durch akustische Phononen begrenzte Beitrag und nicht als eine vollständige Transportvorhersage interpretiert werden.