Absorption, stimulierte Emission und optische Verstärkung

Die optische Verstärkung ist der Mechanismus, der es einer Quantenwanne ermöglicht, Licht zu verstärken: Sie tritt auf, wenn die stimulierte Emission die Absorption übersteigt, was eine Inversion der Besetzung zwischen den Leitungs- und Valenzunterbändern erfordert. Auf dieser Seite werden die physikalischen Grundlagen der OghmaNano-Verstärkungsberechnung zusammengefasst – Trägerstatistik, die zweidimensionale Zustandsdichte, die optischen Matrixelemente und die Linienverbreiterung –, und es wird klar dargelegt, was die aktuelle Implementierung beinhaltet und was nicht.

1. Belegung und quasi-Fermi-Niveaus

Bei optischer oder elektrischer Anregung werden die Elektronen und Löcher jeweils intern thermisch angeregt, befinden sich aber nicht im thermodynamischen Gleichgewicht zueinander, sodass jeder Ladungsträgertyp sein eigenes Quasi-Fermi-Niveau aufweist. Die Besetzung eines Zustands bei der Energie \(E\) wird durch die Fermi-Dirac-Funktion beschrieben.

\[ f(E) = \frac{1}{1 + \exp\!\big((E - E_F)/k_B T\big)}, \]

wobei \(E_F=E_{F,c}\) für die Leitfähigkeitszustände und \(E_F=E_{F,v}\) für die Valenzzustände steht. Die beiden quasi-Fermi-Niveaus entfernen sich voneinander, wenn die Anregungsleistung zunimmt; eine Populationsinversion und damit eine Verstärkung erfordern, dass ihre Trennung die Übergangsenergie übersteigt.

2. Flächengewicht und das zweidimensionale Integral

Da die Bewegung in der Ebene frei ist, stellt jede Teilband eine zweidimensionale Bandstruktur dar, und ihre Trägerdichte ist das Integral über den Wellenvektor in der Ebene. Die zweidimensionale Zustandsdichte gibt das Integrationsgewicht \(k\,dk/2\pi\) pro Spin/Entartungsgrad an, sodass die Elektronendichte in der Ebene wie folgt berechnet wird:

\[ n_{2D} = \sum_{n} g\!\int \frac{k\,dk}{2\pi}\; f\!\big(E_n(k)\big), \]

mit \(g\) wird die Entartung des Zustands und die Summe über die Teilbänder berechnet. OghmaNano berechnet dieses Integral numerisch über die berechnete Dispersionsrelation. Bei einer vorgegebenen Ziel-Ladungsträgerdichte wird das Quasi-Fermi-Niveau durch eine Bisektionsmethode ermittelt – \(E_F\) wird so lange angepasst, bis das Integral mit der Zielgröße übereinstimmt – und das Gleiche wird für Löcher mit \(1-f\) durchgeführt. Im Vollspektrumsmodus, in dem elektronen- und löcherartige Zustände gemischt sind, skaliert das S-Charakter-Gewicht jedes Zustands dessen Beitrag.

3. Einbeziehung der Matrixelemente

Jeder Übergang trägt in dem Maße bei, wie es seinem optischen Matrixelement \(M^2\) entspricht, wobei dieser Wert als das Quadrat des Überlappungs- und Charakterfaktors aus den Hüllkurven berechnet wird. Die absolute Skala wird durch einen Präfaktor bestimmt, der aus der Kane-Energie und den optischen Konstanten gebildet wird.

\[ \text{prefactor} \propto \frac{\pi\,q^2\,p^2}{n_r\,c\,\varepsilon_0\,m_0^2\,\omega\,W}, \qquad p^2 = \tfrac{1}{2} m_0 E_p q, \]

wobei \(n_r\) der Brechungsindex, \(W\) die Breite der Quantenstruktur, \(\omega\) die optische Winkel­frequenz und \(E_p\) die Kane-Energie ist. \(1/W\) wandelt die Flächenantwort in einen volumenartigen Verstärkungskoeffizienten um (Einheit: inverse Länge).

4. Verbreiterung der Spektrallinie

Echte Übergänge werden dadurch verbreitert, dass sie sich eher in eine Linienform als in eine scharfe Deltafunktion verteilen. OghmaNano verwendet eine Lorentz-Funktion mit einer Halbwertsbreite von \(\gamma\).

\[ L(E - \hbar\omega) = \frac{1}{\pi}\,\frac{\gamma}{(E - \hbar\omega)^2 + \gamma^2}, \]

Der Schwerpunkt liegt auf jeder einzelnen Übergangsenergie \(E = E_e(k) - E_v(k)\). Dadurch wird jeder Übergang über einen Bereich von Photonenenergien verteilt, was das Spektrum glättet.

5. Anregung, Absorption und Nettozuwachs

Für eine gegebene Photonenenergie \(\hbar\omega\) trägt jeder Übergang mit der Wahrscheinlichkeit \(f_c(1-f_v)\) zur stimulierten Emission bei (ein Elektron ist im oberen Energiezustand vorhanden, ein Loch im unteren) und mit der Wahrscheinlichkeit \(f_v(1-f_c)\) zur Absorption. Die Summation erfolgt über die Teilbänder und über das zweidimensionale Integral.

\[ \begin{aligned} g_{\text{stim}}(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_c(1-f_v)\, L, \\ \alpha(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_v(1-f_c)\, L, \end{aligned} \]

wobei \(C\) der Vorfaktor ist. Der Gesamtvorteil entspricht ihrer Differenz.

\[ g_{\text{net}}(\hbar\omega) = g_{\text{stim}}(\hbar\omega) - \alpha(\hbar\omega). \]

Der Nettozuwachs ist nur dann positiv, wenn die Population invertiert ist – also wenn \(f_c > f_v\) gilt –, was der Bernard-Duraffourg-Bedingung entspricht, wonach die quasi-Fermi-Differenz die Energie der Photonen übersteigen muss. Unterhalb der Schwellenwertbedingung ist derselbe Ausdruck negativ, was die Absorption korrekt beschreibt.

6. TE-/TM-Spektren und Dichteverlaufsmessung

Für das Wurtzit-Modell führt OghmaNano die Berechnung der Verstärkungsfunktion zweimal durch, einmal mit den TE-Matrixelementen (basal, \(P_2\)) und einmal mit den TM-Matrixelementen (c-Achse, \(P_1\)), wodurch separate TE- und TM-Spektren entstehen, deren Verhältnis den Valenzorbitalcharakter der höchsten Energiezustände widerspiegelt. Die gesamte Berechnung wird über einen Bereich von Schichtdichten wiederholt, sodass das Ergebnis eine Familie von Spektren ist, die zeigt, wie sich die Verstärkung beim Anregen aufbaut; eine grobe Volumenkonzentration \(n_{3D}\approx n_{2D}/W\) wird zur Vergleichbarkeit mit den Werten für das Volumenmaterial angegeben.