Fröhliche Streuung: Wechselwirkungen zwischen polaroptischen Phononen in Halbleitern

Die „Fröhlich-Streuung“ beschreibt die Wechselwirkung von Elektronen und Löchern mit longitudinalen optischen (LO-)Phononen in polaren Halbleitern wie GaAs, InP, GaN, ZnO und Metallhalogenid-Perowskiten. Der physikalische Ursprung dieser Wechselwirkung wird in ?? veranschaulicht. In einem polaren Kristall tragen benachbarte Atome entgegengesetzte Teilungsladungen. Wenn das Gitter in einem optischen Modus schwingt, bewegen sich die positiven und negativen Ionen relativ zueinander, wodurch eine oszillierende elektrische Polarisation entsteht. Für ein longitudinales optisches Phonon erzeugt dies ein makroskopisches elektrisches Feld, das mit den sich durch den Kristall bewegenden Ladungsträgern wechselwirkt.

Ein Elektron, das sich durch dieses Feld bewegt, kann von einem anfänglichen Zustand mit dem Wellenvektor \(\mathbf{k}\) in einen Endzustand \(\mathbf{k}'\) übergehen, wobei es entweder ein LO-Phonon mit der Energie \(\hbar\omega_{LO}\) absorbiert oder emittiert. Diese Übergänge sind in dem Diagramm des Leitungsbandes in ?? dargestellt. Die elektrostatische Kopplung zwischen freien Ladungsträgern und dem Polarisationsfeld des Gitters wird als Fröhlich-Wechselwirkung bezeichnet. Sie ist ein wichtiger Mechanismus, der die Beweglichkeit von Ladungsträgern in polaren Halbleitern begrenzt, insbesondere bei Raumtemperatur und darüber. Sie kann die Elektronenstreuung in hochreinen III–V-Materialien dominieren und bietet einen effizienten Weg für „heiße“ Ladungsträger, um Energie an das Gitter abzugeben.

Das Verständnis der Fröhlich-Streuung ist daher wichtig bei der Berechnung der Trägermobilität, der Modellierung der Abkühlung von photoangeregten Trägern und der Bestimmung der Energierelaxationszeiten, die in Energiebilanz-Transportmodellen verwendet werden. Die Energieabhängigkeit der Wechselwirkung ist in ?? dargestellt, wo die berechneten Absorptions-, Emissions- und Gesamtstreuraten für Elektronen in GaAs gezeigt werden. In den folgenden Abschnitten untersuchen wir die LO-Phononenabsorption und -emission genauer, bevor wir das Fröhlich-Matrixelement und das vollständige dreidimensionale \(k\)-Raumintegral ableiten, das zur Berechnung der Streurate verwendet wird.

Was ist die Fröhlich-Wechselwirkung?

In einem polaren Halbleiter erzeugt die relative Verschiebung von positiven und negativen Ionen während einer longitudinalen optischen (LO-)Schwingung ein oszillierendes elektrisches Feld \(\mathbf{E}_{LO}\), wie in ?? dargestellt. Ein Ladungsträger interagiert mit diesem Feld über das elektrostatische Potenzial \(\phi_{LO}\), wodurch eine Interaktionsenergie von \(-e\phi_{LO}\) für ein Elektron entsteht. Da die Interaktion auf der Coulomb-Kraft beruht, ist sie über eine größere Distanz wirksam und am stärksten bei kleinen Phonon-Wellenvektoren \(q\).

Die Stärke der Fröhlich-Wechselwirkung hängt davon ab, wie stark der Kristall auf ein elektrisches Feld reagiert. An dieser Reaktion sind zwei Faktoren beteiligt: die Elektronen, die sehr schnell reagieren, und die viel schwereren Ionen, die langsamer reagieren. Dies führt zu zwei dielektrischen Konstanten: der dielektrischen Hochfrequenzkonstante \(\varepsilon_\infty\), die allein die elektronische Reaktion beschreibt, und der statischen dielektrischen Konstante \(\varepsilon_s\), die den zusätzlichen Beitrag durch die Bewegung der Ionen berücksichtigt.

In einem polaren Halbleiter erzeugt die Verschiebung der Ionen während einer LO-Phononen-Anregung ein elektrisches Feld, das mit freien Ladungsträgern wechselwirkt. Die Stärke dieser Wechselwirkung wird durch die Differenz zwischen der elektronischen und der gesamten dielektrischen Abschirmung bestimmt, ausgedrückt als:

\[ \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s}. \]

Je größer diese Menge, desto stärker ist die polare Kopplung. In einem nichtpolaren Halbleiter wie Silizium gibt es kein entsprechendes, großräumiges elektrisches Feld, das mit den optischen Gittervibrationen verbunden ist. Der ionische Beitrag zur dielektrischen Reaktion fehlt daher in diesem Modell, was zu \(\varepsilon_s=\varepsilon_\infty\) und einer vernachlässigbaren Fröhlich-Wechselwirkung führt. Dieser dielektrische Term tritt direkt in dem weiter unten abgeleiteten Streumatrixelement auf.

Oft ist es zweckmäßig, die Kopplungsstärke als eine einzige dimensionslose Zahl, die Fröhlich-Kopplungskonstante, auszudrücken.

\[ \alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar}\sqrt{\frac{m^*}{2\hbar\omega_{LO}}}\left(\frac{1}{\varepsilon_\infty}-\frac{1}{\varepsilon_s}\right), \]

wobei \(m^*\) die effektive Masse der Ladungsträger ist. Für GaAs-Elektronen gilt \(\alpha\approx 0.07\) (schwache Kopplung); für ionischere Materialien wie GaN, ZnO und die Halogenid-Perowskite ist \(\alpha\) in der Größenordnung von 0,4–2. Wenn \(\alpha\) klein ist, kann die Wechselwirkung als eine Störung behandelt werden, was zu den unten angegebenen Streuraten führt. Wenn \(\alpha\) sich einem Wert von 1 nähert oder diesen überschreitet, zieht der Ladungsträger eine signifikante Polarisationswolke mit sich und lässt sich besser als ein Polariton beschreiben, mit einer renormalisierten Masse und Energie; die auf dieser Seite angegebenen Störungsraten sollten dann mit Vorsicht verwendet werden.

Absorption und Emission im Bandbild

Die inelastische Streuung nach Fröhlich ist ein Übergang, bei dem ein Elektron Energie und Impuls mit einem LO-Phonon austauscht. Wie in ?? dargestellt, kann ein Elektron, das sich zunächst im Zustand \(\mathbf{k}\) mit der Energie \(E(\mathbf{k})\) befindet, einen von zwei Prozessen durchlaufen:

Phononenabsorption: Das Elektron nimmt Energie \(\hbar\omega_{LO}\) vom Kristallgitter auf und gelangt in einen Zustand mit höherer Energie \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}+\mathbf{q}\), wo \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO}\).

Phononenemission: Das Elektron überträgt Energie \(\hbar\omega_{LO}\) auf das Kristallgitter und geht in einen Zustand mit niedrigerer Energie \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{q}\) über, wo \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO}\).

Beide Prozesse ermöglichen die Energie- und Impulserhaltung. Da LO-Phononen in der Nähe des Zonenzentrums nahezu keine Dispersion aufweisen, kann ihre Energie \(\hbar\omega_{LO}\) als konstant betrachtet werden, etwa 36 meV in GaAs und 92 meV in GaN. Dies setzt eine wichtige Beschränkung für die Emission: Ein Elektron muss mindestens \(\hbar\omega_{LO}\) an kinetischer Energie über dem Bandminimum besitzen, bevor es ein LO-Phonon emittieren kann. Elektronen unterhalb dieser Schwelle können nur Phononen absorbieren. Sobald die Schwelle erreicht ist, öffnet sich der Emissionskanal, wodurch heiße Elektronen in diskreten Schritten von \(\hbar\omega_{LO}\) Energie an das Gitter abgeben können. Dieses Verhalten ist deutlich in ?? zu sehen, das die berechneten Absorptions-, Emissions- und Gesamtstreuraten für Elektronen in GaAs zeigt.

Die Wahrscheinlichkeit jedes Prozesses hängt auch von der Anzahl der in der Gitterstruktur vorhandenen LO-Phononen ab. Im thermodynamischen Gleichgewicht wird die durchschnittliche Phononenbesetzung durch die Bose-Einstein-Verteilung beschrieben.

\[ N_{LO} = \frac{1}{\exp\!\left(\hbar\omega_{LO}/k_B T_L\right)-1}, \]

wobei \(T_L\) die Gittertemperatur ist. Die Absorptionswahrscheinlichkeit ist proportional zu \(N_{LO}\), da ein Phonon bereits vorhanden sein muss, damit das Elektron es absorbieren kann. Die Emission ist hingegen proportional zu \(N_{LO}+1\). Das zusätzliche \(+1\) steht für die spontane Emission von Phononen, die auch bei einer Temperatur von null Grad möglich bleibt, vorausgesetzt, das Elektron verfügt über ausreichend Energie.

Für GaAs bei 300 K gilt \(N_{LO}\approx 0.33\), was zu einem Emissionsbesetzungsfaktor führt, der etwa viermal größer ist als der für die Absorption. Die tatsächlichen Streuraten hängen auch von den verfügbaren endgültigen elektronischen Zuständen ab, wie in ?? dargestellt. Wenn die Gittertemperatur steigt, nimmt die Phononenpopulation zu, wodurch die Wechselwirkung verstärkt und zur Verringerung der Trägermobilität beigetragen wird, was bei polaren Halbleitern üblicherweise beobachtet wird.

Das Fröhlich-Kopplungsmatrixelement

Wir betrachten die Wechselwirkung nun quantenmechanisch. Die Kopplung zwischen einem Elektron und einem longitudinalen optischen Phonon wird durch das Fröhlich-Matrixelement beschrieben, das für einen massiven polaren Halbleiter wie folgt gegeben ist:

\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]

Hierbei ist \(V\) das Volumen zur Normalisierung der Kristallstruktur und \(q\) der Phononen-Wellenvektor. Wenn man davon ausgeht, dass die elektronischen Zustände durch ebene Wellen beschrieben werden, verbindet die Wechselwirkung einen Anfangszustand \(|\mathbf{k}\rangle\) mit einem Endzustand \(|\mathbf{k}'\rangle\), wobei der Kristallimpuls erhalten bleibt. Für die Absorption bzw. Emission von Phononen ist der finale Wellenvektor \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}\pm\mathbf{q}\).

Unter Berücksichtigung der Phononenbelegungszahlen und unter der Annahme, dass die Überlappung zwischen den periodischen Teilen der Anfangs- und End-Bloch-Funktionen ungefähr gleich eins ist, ergeben sich folgende quadrierten Übergangsmatrixelemente:

\[ |M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 = |M(q)|^2 N_{LO}, \]

\[ |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 = |M(q)|^2 (N_{LO}+1). \]

Der Absorptionsterm hängt von der Anzahl der verfügbaren LO-Phononen ab, während die Emission einen zusätzlichen spontanen Beitrag enthält. Diese Matrixelemente werden in Fermis goldener Regel verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs zwischen elektronischen Zuständen zu berechnen.

Von Fermis goldenem Satz zu einem dreidimensionalen k-Raum-Integral

Nachdem wir das Fröhlich-Kopplungsmatrixelement ermittelt haben, können wir nun die Rate berechnen, mit der ein Elektron von einem Anfangszustand \(|\mathbf{k}\rangle\) in einen Endzustand \(|\mathbf{k}'\rangle\) übergeht. Wie in ?? dargestellt, kann dies entweder durch Absorption oder Emission von LO-Phononen geschehen, wobei das Elektron Energie gewinnt oder verliert \(\hbar\omega_{LO}\).

Mithilfe der goldenen Regel von Fermi wird die gesamte Streuungsrate durch Summieren über alle zulässigen Phononenwellenvektoren \(\mathbf{q}\) und beide Streuprozesse ermittelt:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau(\mathbf{k})} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}-\mathbf{q})-E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO} \big) \Big]. \end{aligned} \]

Hierbei ist \(\delta\) die Dirac-Delta-Funktion, die die Energieerhaltung sicherstellt. Die Matrixelemente für Absorption und Emission, \(|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2=|M(q)|^2N_{LO}\) und \(|M_{\mathrm{em}}(q)|^2=|M(q)|^2(N_{LO}+1)\), wurden im vorherigen Abschnitt eingeführt. Wir nehmen an, dass die endgültigen elektronischen Zustände nicht besetzt sind, sodass die Pauli-Sperre vernachlässigt werden kann.

Bei einem ausreichend großen Kristall sind die zulässigen Phononen-Wellenvektoren eng beieinander, und die Summe kann durch ein Integral über die Brillouin-Zone ersetzt werden:

\[ \sum_{\mathbf{q}} \longrightarrow \frac{V}{(2\pi)^3}\int d^3q. \]

Der Faktor \(V\) hebt die Abhängigkeit des quadrierten Fröhlich-Matrixelements von \(1/V\) auf, wodurch eine Streurate entsteht, die unabhängig vom Kristallnormalisierungsvolumen ist. Setzt man den Ausdruck für \(M_{\mathrm{abs}}(q)\) ein, so ergibt sich die Absorptionsrate als:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big). \end{aligned} \]

Um dieses Integral zu berechnen, verwenden wir sphärische Koordinaten, wobei die Polarachse entlang des anfänglichen Wellenvektors des Elektrons ausgerichtet ist \(\mathbf{k}\). Die Integration über den Azimutwinkel ergibt:

\[ d^3q = 2\pi q^2\,dq\,d(\cos\theta), \]

wobei \(\theta\) der Winkel zwischen den Wellenvektoren des Elektrons und des Phonons, \(\mathbf{k}\) und \(\mathbf{q}\), ist. Beachten Sie, dass der Beitrag \(q^2\) aus dem Volumenelement die Abhängigkeit \(1/q^2\) des Fröhlich-Matrixelements aufhebt. Dadurch wird die verbleibende Integration erheblich vereinfacht.

Unter der Annahme eines parabolischen, isotropen Leitungsbandes \(E(\mathbf{k})=\hbar^2k^2/2m^*\) lässt sich das Argument der Absorptions-Deltafunktion wie folgt erweitern:

\[ \begin{aligned} &E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \\[4pt] &\qquad = \frac{\hbar^2}{2m^*} \left( 2kq\cos\theta+q^2 \right) -\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} \]

Die Integration über \(\cos\theta\) eliminiert die Delta-Funktion und trägt einen Faktor \(m^*/(\hbar^2kq)\) bei, vorausgesetzt, die Lösung erfüllt die Bedingung \(-1\leq\cos\theta\leq1\). Diese Bedingung schränkt den Bereich der zulässigen Phononen-Wellenvektoren gemäß dem Energie- und Kristallimpuls-Erhaltungssatz ein.

Für die Phononenabsorption gelten folgende zulässige Grenzwerte:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k'-k,\\ q_{\max} &= k'+k,\\ k' &= \sqrt{k^2+\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

Für die Phononenemission, die \(E\geq\hbar\omega_{LO}\) erfordert, gelten die folgenden Grenzwerte:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k-k',\\ q_{\max} &= k+k',\\ k' &= \sqrt{k^2-\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

Die verbleibende radiale Integration ist unkompliziert:

\[ \int_{q_{\min}}^{q_{\max}} \frac{dq}{q} = \ln\left(\frac{q_{\max}}{q_{\min}}\right). \]

Durch die Zusammenfassung der Terme und die Anwendung von \(\hbar k=\sqrt{2m^*E}\), wobei \(E\) die kinetische Energie der Ladungsträger ist, die relativ zum Bandminimum gemessen wird, erhält man die üblichen analytischen Ausdrücke für die Fröhlich-Streuraten. Für die Absorption gilt:

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} ={}& C(E)N_{LO} \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}+\sqrt{E} }{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}-\sqrt{E} } \right|, \end{aligned} } \]

während bei Emissionen

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)} ={}& C(E)(N_{LO}+1) \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E}+\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} }{ \sqrt{E}-\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} } \right|, \qquad E\geq\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} } \]

Die Emissionsrate ist unterhalb der Phonon-Energieschwelle des LO-Zustands null. In diesen Formeln ist der gemeinsame Vorfaktor

\[ C(E)= \frac{e^2\omega_{LO}}{4\pi\varepsilon_0\hbar} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \sqrt{\frac{m^*}{2E}}. \]

Die gesamte Fröhlich-Streuungsrate ist einfach die Summe der beiden Beiträge:

\[ \boxed{ \frac{1}{\tau(E)} = \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} + \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)}. } \]

Der gemeinsame Vorfaktor kann auch mithilfe der dimensionslosen Fröhlich-Kopplungskonstanten \(\alpha\) ausgedrückt werden, was zu \(C(E)=\alpha\omega_{LO}\sqrt{\hbar\omega_{LO}/E}\) führt. Es sind zwei Grenzfälle erwähnenswert. Wie in \(E\rightarrow0\) dargestellt, nähert sich die Absorptionsrate dem endlichen Wert \(2\alpha\omega_{LO}N_{LO}\). An der Emissionsschwelle, \(E=\hbar\omega_{LO}\), beginnt der Emissionsbeitrag bei Null und steigt mit zunehmender Trägerenergie rasch an.

Dieses Verhalten lässt sich direkt in ?? beobachten, in dem die berechneten Absorptions-, Emissions- und Gesamtstreuraten für Elektronen in GaAs bei 300 K dargestellt sind. Für „heiße“ Elektronen liegen die resultierenden Raten typischerweise in der Größenordnung von \(10^{12}\)–\(10^{13}\,\mathrm{s^{-1}}\), wobei die LO-Phononen-Emissionszeiten etwa 0,1–0,2 ps betragen. Diese schnellen Emissionsprozesse stellen einen wichtigen Mechanismus dar, durch den energiereiche Ladungsträger Energie an das Gitter übertragen.

Von der Streuung durch Trägerteilchen bis zur Beweglichkeit

Die Streuung von Ladungsträgern spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der elektrischen Beweglichkeit eines Halbleiters. Wenn ein elektrisches Feld angelegt wird, werden Elektronen und Löcher durch die Kraft des Feldes beschleunigt. Ihre Bewegung wird jedoch durch Wechselwirkungen mit Phononen, Verunreinigungen, Defekten und anderen Ladungsträgern kontinuierlich unterbrochen. Diese Streuprozesse verhindern, dass sich die Ladungsträger unbegrenzt beschleunigen, und bestimmen ihre durchschnittliche Driftgeschwindigkeit.

Im einfachsten Transportmodell wird die Beziehung zwischen der Beweglichkeit der Ladungsträger und der Streuung durch die Drude-Gleichung beschrieben.

\[ \boxed{ \mu = \frac{e\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*} } \]

wobei \(e\) die Elementarladung, \(m^*\) die effektive Masse der Ladungsträger und \(\tau_{\mathrm{tr}}\) die Zeit für die Impulsrelaxation ist. Physikalisch beschreibt \(\tau_{\mathrm{tr}}\), wie schnell Streuung die gerichtete Bewegung der durch ein angelegtes elektrisches Feld erzeugten Ladungsträger aufhebt. Eine längere Relaxationszeit führt im Allgemeinen zu einer höheren Beweglichkeit, während eine stärkere Impulsrelaxation diese verringert.

Von der Streuungsrate zur Impulsrelaxation

Es gibt einen wichtigen Unterschied zwischen der in dem vorherigen Abschnitt berechnete Gesamtstreuungsrate und der Rate, mit der die Streuung den Impuls der Ladungsträger reduziert. Die Gesamtstreuungsrate \(1/\tau(\mathbf{k})\) erfasst jeden Übergang aus einem anfänglichen elektronischen Zustand, unabhängig davon, wie stark sich die Richtung der Ladungsträgerbewegung ändert.

Stellen Sie sich ein Elektron vor, das sich mit einem anfänglichen Wellenvektor \(\mathbf{k}\) bewegt. Nach einer Streuung ändert sich sein Wellenvektor zu \(\mathbf{k}'\), wodurch ein Winkel \(\theta_s\) zu seiner ursprünglichen Richtung entsteht. Bei einem isotropen parabolischen Band und einer elastischen Streuung behält das Elektron die gleiche Geschwindigkeit bei, aber nur eine Komponente seiner Endgeschwindigkeit bleibt parallel zu seiner ursprünglichen Richtung. Diese Komponente ist

\[ v_{\parallel}' = v\cos\theta_s. \]

Der Anteil der ursprünglichen gerichteten Geschwindigkeit, der während des Streuprozesses verloren geht, beträgt daher

\[ \frac{v-v_{\parallel}'}{v} = \boxed{1-\cos\theta_s}. \]

Dieses einfache geometrische Argument erklärt, warum die Streuung in unterschiedlichen Winkeln nicht in gleichem Maße zur Impulsrelaxation beiträgt. Zum Beispiel:

• Vorwärtsstreuung (\(\theta_s=0^\circ\)): Die Gewichtung ist null, da sich das Elektron weiterhin in seiner ursprünglichen Richtung bewegt.
• Bei der Streuung in \(90^\circ\) beträgt die Gewichtung eins, da keine der ursprünglichen gerichteten Geschwindigkeitskomponenten erhalten bleibt.
• Rückstreuung (\(\theta_s=180^\circ\)): Die Gewichtung beträgt zwei, da das Elektron seine Bewegungsrichtung umkehrt.

Wir können diese Winkelabhängigkeit nutzen, um eine angenäherte Transportstreuungsrate zu berechnen. Für isotrope Bänder ist eine häufig verwendete Winkelgewichtungsapproximation:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf{k})} \simeq \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} (1-\cos\theta_s) \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta(E'-E-\hbar\omega_{LO}) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta(E'-E+\hbar\omega_{LO}) \Big]. \end{aligned} \]

Hierbei ist \(\theta_s\) der Winkel zwischen der anfänglichen und der endgültigen Trägergeschwindigkeit. Für ein isotropes parabolisches Band sind diese Geschwindigkeiten parallel zu ihren jeweiligen Wellenvektoren. Die Matrixelemente \(M_{\mathrm{abs}}\) und \(M_{\mathrm{em}}\) sind diejenigen, die im vorherigen Abschnitt hergeleitet wurden.

Bei inelastischer Streuung, bei der sich auch die Trägergeschwindigkeit ändert, stellt die einfache Winkelgewichtung lediglich eine Näherung dar. Ein allgemeinerer Projektionsfaktor für ein einzelnes Ereignis ist \(1-(v'/v)\cos\theta_s\) für ein isotropes Band. Eine präzise Behandlung des inelastischen Transports erfordert die Lösung der linearisierten Boltzmann-Transportgleichung, die die Kopplung zwischen den anfänglichen und endgültigen Trägerzuständen berücksichtigt.

Diese Unterscheidung ist besonders relevant für die Fröhlich-Streuung. Da die Wechselwirkung kleine Phonon-Wellenvektoren begünstigt \(q\), beinhalten viele Übergänge relativ geringe Änderungen der Richtung der Ladungsträger. Die gesamte Streurate kann daher deutlich von der Rate abweichen, mit der sich die gerichtete Bewegung der Ladungsträger entspannt.

Berechnung der Beweglichkeit anhand der Bandstruktur

Die Drude-Gleichung bietet einen nützlichen Ausgangspunkt, aber reale Halbleiter weisen nicht unbedingt eine einzige effektive Masse oder eine konstante Relaxationszeit auf. Sowohl die Streuungsrate als auch die Trägergeschwindigkeit können innerhalb der elektronischen Bandstruktur variieren.

Um dies zu berücksichtigen, kann die Beweglichkeit durch Mittelung der Beiträge der in den Transportprozess involvierten elektronischen Zustände berechnet werden. Innerhalb der Annäherung der Relaxationszeit ist der Elektronbeweglichkeitstensor

\[ \boxed{ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})} } \]

Hierbei ist \(n\) die Elektronendichte, \(f\) die Fermi-Dirac-Verteilung, und die Summe erstreckt sich über die relevanten elektronischen Bänder und die explizit dargestellten Spin- oder Talszustände. Die Gruppengeschwindigkeit jedes Zustands wird aus der Banddispersion ermittelt.

\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]

Die Ableitung der Fermi-Dirac-Verteilung bestimmt, welche elektronischen Zustände zur elektrischen Leitfähigkeit beitragen. Das Integral kombiniert dann deren Geschwindigkeiten und Transportrelaxationszeiten, um die Gesamtmobilität zu erhalten.

Dieser Ansatz ist besonders nützlich für die Berechnung von numerischen Bandstrukturen, wie sie beispielsweise mit der \(k\cdot p\)-Theorie berechnet werden, da die energieabhängigen Geschwindigkeiten direkt aus der berechneten Dispersionsrelation ermittelt werden können, anstatt eine konstante effektive Masse anzunehmen. Er ermöglicht auch die Einbeziehung verschiedener Streumechanismen durch deren Beitrag zur Transportrelaxationszeit. Verwandte Mobilitätsberechnungen, die auf Bandstrukturen basieren, werden in den Tutorials Si/SiGe Δ-Tal-Elektronenmobilität und Si/SiGe-Sechsband-Luttinger-Kohn-Lochmobilität demonstriert. Diese Siliziumbeispiele verwenden nicht-polare Streumechanismen anstelle der Fröhlich-Streuung, veranschaulichen aber die gleiche Entwicklung von der elektronischen Bandstruktur und den Streuraten zur Trägermobilität.