Розсіювання, час релаксації та рухливість

Мобільність носіїв заряду в квантовій ямі обмежується розсіюванням. Наразі компанія OghmaNano реалізує розсіювання акустичними фононами шляхом деформаційного потенціалу, яке оцінюється за допомогою золотого правила Фермі, і перетворює отримані часи релаксації на значення мобільності, використовуючи наближення часу релаксації. На цій сторінці описано цей механізм і чітко зазначено, що до нього входить і що ні.

1. Золоте правило Фермі

Швидкість переходу з початкового стану \(|i\rangle\) у кінцеві стани \(|f\rangle\) під впливом збурення \(\delta H\) становить:

\[ \Gamma_i = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_f \big|\langle f|\delta H|i\rangle\big|^2\, \delta\!\big(E_f - E_i\big), \]

дельта-функція забезпечує збереження енергії під час пружного розсіяння. Для акустичних фононів при температурах, що використовуються в пристроях, процес є майже пружним, і в межах рівномірного розподілу внесок фононів визначається коефіцієнтом \(k_B T\). Збурення полягає в полі деформації акустичного фонону, який пов’язаний із зонами через потенціал деформації.

2. Потенціал акустичної деформації

Акустичний фонон локально деформує кристалічну ґратку, і ця деформація зміщує межі зон за допомогою потенціалу деформації \(D\). OghmaNano створює поле деформації для фонона з хвильовим вектором \(\mathbf{q}\) і поляризацією \(\hat{\mathbf{e}}\), а потім поєднує його з зонами — для валентних зон через той самий потенціал деформації Bir–Pikus, який використовується для статичної деформації. Усереднення квадрата матричного елемента за умов заповнення фононів у межах рівномірного розподілу дає префактор.

\[ \text{prefactor} = \frac{D^2\,k_B T}{\rho\,v_s^2\,\hbar}, \]

де \(\rho\) – це густина речовини, а \(v_s\) – швидкість звуку. Ця величина лінійно зростає зі збільшенням температури, що є характерною ознакою акустичного розсіювання, зумовленого деформаційним потенціалом.

3. Щільність кінцевих станів і формальний фактор

Ще два фактори завершують визначення швидкості. Енергетична дельта-функція обчислюється шляхом визначення для кожної кінцевої підсмуги хвильового вектора \(k_f\), при якому \(E_f(k_f)=E_i\), і подальшого зважування за допомогою двовимірної щільності станів у цій точці, яка пропорційна \(k_f/|dE/dk|\). Крім того, перекриття початкової та кінцевої огинаючих – фактор форми \(G\) – визначає, наскільки обидва стани поділяють одну й ту саму область у потенціальній ямі; міжсмугове розсіювання пригнічується, коли стани мають незначне просторове перекриття. Отже, швидкість для стану \(i\) становить:

\[ \Gamma_i = \text{prefactor}\,\sum_f \frac{k_f\,G_{if}}{|dE/dk|_f}, \qquad \tau_i = \frac{1}{\Gamma_i}. \]

Час релаксації \(\tau_i\) – це просто величина, обернена до загальної швидкості переходу зі стану \(i\).

4. Від часу відпочинку до можливості пересування.

Рухливість випливає з лінеаризованого рівняння Больцмана, отриманого за допомогою наближення часу релаксації. Кожен стан вносить вклад у провідність пропорційно квадрату його групової швидкості, часу релаксації та похідній функції заповнення. Групова швидкість є

\[ v(k) = \frac{1}{\hbar}\,\frac{dE}{dk}, \]

а функція розподілу, що визначає ймовірність заповнення енергетичних рівнів, обмежує транспорт електронів областями, близькими до рівня Фермі, і дорівнює \(-\partial f/\partial E = f(1-f)/k_B T\). Інтегрування по підсмугах дає:

\[ \sigma \propto q^2 \sum_n \int \frac{dk}{(2\pi)}\; k\,v(k)^2\,\tau(k)\,\big[-\partial f/\partial E\big], \]

а рухливість визначається як провідність на одиницю заряду та площа покриття.

\[ \mu = \frac{\sigma}{q\,p_{2D}}, \]

де щільність шару \(p_{2D}=\sum_n\int (k\,dk/2\pi)\,f\) оцінюється на основі тієї ж дисперсії. Це дає змогу отримати ефективну рухливість, яка відображає фактичну, непараболічну структуру підзон, а не є лише оцінкою на основі єдиної маси.

5. Припущення та обмеження

Запропонована модель має чітко визначені параметри. Вона розглядає акустико-фононне розсіювання через деформаційний потенціал в межах пружної області та умови рівномірного розподілу енергії, а також оцінює транспорт за допомогою наближення часу релаксації. Вона не враховує поляризовано-оптичне (Фрьоліха), розсіювання на іонізованих домішках, нерівностях на межі поділу або внаслідок невпорядкованості в сплавах, а також непружне випромінювання/поглинання фононів за межами розглянутої області рівномірного розподілу енергії. У випадках, коли ці механізми домінують — наприклад, у поляризованих матеріалах при кімнатній температурі, сильно легованих матеріалах або матеріалах з нерівною поверхнею — обчислену рухливість слід інтерпретувати як внесок, обмежений акустико-фононним розсіюванням, а не як повну оцінку транспорту.