Ефект Фрьоліха: взаємодія поляронних оптичних фононів у напівпровідниках.

Розсіювання Фрьоліха описує взаємодію електронів і дірок із поздовжніми оптичними (ЛО) фононами в полярних напівпровідниках, таких як GaAs, InP, GaN, ZnO та металогалогенні перовськіти. Фізична природа цієї взаємодії показана в ??. У полярному кристалі сусідні атоми мають протилежні часткові заряди. Коли кристалічна решітка коливається в оптичному режимі, позитивні та негативні іони рухаються відносно один одного, створюючи коливну електричну поляризацію. Для поздовжнього оптичного фонона це створює макроскопічне електричне поле, яке взаємодіє з носіями заряду, що рухаються крізь кристал.

Електрон, що рухається в цьому полі, може розсіюватися, переходячи з початкового стану з хвильовим вектором \(\mathbf{k}\) у кінцевий стан \(\mathbf{k}'\), при цьому поглинаючи або випромінюючи оптичний фонон з енергією \(\hbar\omega_{LO}\). Ці переходи показано на діаграмі зони провідності в ??. Електростатична взаємодія між вільними носіями заряду та полем поляризації кристалічної решітки відома як взаємодія Фрьоліха. Це важливий механізм, який обмежує рухливість носіїв заряду в полярних напівпровідниках, особливо при кімнатній температурі та вище. Він може домінувати в процесі розсіювання електронів у високочистих матеріалах групи III–V і забезпечує ефективний спосіб передачі енергії від гарячих носіїв заряду до кристалічної решітки.

Отже, розуміння розсіювання Фрьоліха є важливим під час обчислення рухливості носіїв заряду, моделювання охолодження фотозбуджених носіїв і визначення часу релаксації енергії, який використовується в моделях переносу, що базуються на балансі енергії. Залежність взаємодії від енергії можна побачити в ??, де показано розраховані коефіцієнти поглинання, випромінювання та загального розсіювання для електронів у GaAs. У наступних розділах ми детальніше розглянемо поглинання та випромінювання LO-фононів, перш ніж отримати елемент матриці Фрьоліха та повний тривимірний інтеграл \(k\), який використовується для обчислення коефіцієнта розсіювання.

Що таке взаємодія Фрьоліха?

У полярному напівпровіднику відносне зміщення позитивних і негативних іонів під час поздовжньої оптичної (ЛО) вібрації створює коливне електричне поле \(\mathbf{E}_{LO}\), як показано на ??. Носій заряду взаємодіє з цим полем через електростатичний потенціал \(\phi_{LO}\), що призводить до енергії взаємодії \(-e\phi_{LO}\) для електрона. Оскільки взаємодія має кулонівську природу, вона має великий радіус дії та є найсильнішою при малих хвильових векторах фононів \(q\).

Інтенсивність взаємодії Фрьоліха залежить від того, наскільки сильно кристал реагує на електричне поле. Існують два фактори, що впливають на цю реакцію: електрони, які реагують дуже швидко, і значно важчі іони, які реагують повільніше. Це призводить до виникнення двох діелектричних сталих: високочастотної діелектричної сталої \(\varepsilon_\infty\), яка описує лише електронну реакцію, і статичної діелектричної сталої \(\varepsilon_s\), яка враховує додатковий внесок, пов’язаний із рухом іонів.

У поляризованому напівпровіднику зміщення іонів під час коливання оптичного фонона створює електричне поле, яке взаємодіє з вільними носіями заряду. Інтенсивність цієї взаємодії визначається різницею між електронною та загальною діелектричною проникністю, яка виражається як

\[ \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s}. \]

Чим більша ця величина, тим сильніша поляризаційна взаємодія. У неполярному напівпровіднику, такому як кремній, немає відповідного далекодіючого електричного поля, пов’язаного з оптичними коливаннями кристалічної решітки. Отже, в цій моделі відсутній іонний внесок у діелектричну відповідь, що призводить до \(\varepsilon_s=\varepsilon_\infty\) і зникнення взаємодії Фрьоліха. Цей діелектричний член безпосередньо фігурує в елементі матриці розсіювання, який наведено нижче.

Часто зручно виражати величину взаємодії у вигляді єдиного безрозмірного числа, яке називається сталою Фрьоліха.

\[ \alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar}\sqrt{\frac{m^*}{2\hbar\omega_{LO}}}\left(\frac{1}{\varepsilon_\infty}-\frac{1}{\varepsilon_s}\right), \]

де \(m^*\) – ефективна маса носія заряду. Для електронів у GaAs \(\alpha\approx 0.07\) (слабка взаємодія); для більш іонних матеріалів, таких як GaN, ZnO та галогенні перовськіти, \(\alpha\) становить приблизно 0,4–2. Коли \(\alpha\) невелике, взаємодію можна розглядати як збурення, і це дає значення частот розсіяння, наведені нижче. Коли \(\alpha\) наближається або перевищує одиницю, носій заряду створює значну поляризаційну хмару навколо себе, і його краще описувати як полярон з перенормованою масою та енергією; у цьому випадку значення, наведені на цій сторінці, слід використовувати з обережністю.

Поглинання та випромінювання в спектральній області.

Розсіяння Фрьоліха — це непружний перехід, під час якого електрон обмінюється енергією та імпульсом із лонгітудинальним оптичним фононом. Як показано в ??, електрон, який спочатку перебуває в стані \(\mathbf{k}\) з енергією \(E(\mathbf{k})\), може зазнавати одного з двох процесів:

Поглинання фононів: електрон отримує енергію \(\hbar\omega_{LO}\) від кристалічної решітки, переходячи у стан з вищою енергією \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}+\mathbf{q}\), де \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO}\).

Випромінювання фононів: електрон передає енергію \(\hbar\omega_{LO}\) кристалічній решітці, переходячи в стан з нижчим рівнем енергії \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{q}\), де \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO}\).

Обидва процеси сприяють збереженню енергії та імпульсу кристалічної ґратки. Оскільки фонони LO поблизу центру зони мають приблизно однакову дисперсію, їхню енергію \(\hbar\omega_{LO}\) можна вважати постійною, приблизно 36 меВ для GaAs і 92 меВ для GaN. Це накладає важливе обмеження на процес випромінювання: електрон повинен мати принаймні \(\hbar\omega_{LO}\) кінетичної енергії, що перевищує мінімум енергії зони, перш ніж він зможе випромінювати фонон LO. Електрони, енергія яких нижча за цей поріг, можуть лише поглинати фонони. Після досягнення цього порогу відкривається канал випромінювання, що дозволяє «гарячим» електронам віддавати енергію кристалічній ґратці дискретними порціями \(\hbar\omega_{LO}\). Ця поведінка чітко видно на ??, де показано розраховані коефіцієнти поглинання, випромінювання та загального розсіювання для електронів у GaAs.

Імовірність кожного процесу також залежить від кількості фононів LO, присутніх у кристалічній решітці. У стані термічної рівноваги середню кількість заповнених фононів описує розподіл Бозе–Ейнштейна.

\[ N_{LO} = \frac{1}{\exp\!\left(\hbar\omega_{LO}/k_B T_L\right)-1}, \]

де \(T_L\) – температура кристалічної ґратки. Ймовірність поглинання пропорційна \(N_{LO}\), оскільки для поглинання електроном потрібна наявність фонона. Випромінювання, навпаки, пропорційне \(N_{LO}+1\). Додатковий член \(+1\) відображає спонтанне випромінювання фононів, яке залишається можливим навіть за нульової температури, за умови, що електрон має достатньо енергії.

Для GaAs при 300 K значення \(N_{LO}\approx 0.33\) показує, що коефіцієнт заповнення станів, пов’язаних з випромінюванням, приблизно вчетверо більший, ніж коефіцієнт, пов’язаний з поглинанням. Фактичні швидкості розсіювання також залежать від наявних кінцевих електронних станів, як показано в ??. Зі збільшенням температури кристалічної решітки зростає кількість фононів, що посилює взаємодію та сприяє зменшенню рухливості носіїв заряду, що зазвичай спостерігається в полярних напівпровідниках.

Елемент матриці зв’язку Фрьоліха

Зараз ми розглянемо взаємодію з точки зору квантової механіки. Взаємозв’язок між електроном і поздовжнім оптичним фононом описується елементом матриці Фрьоліха, який для об’ємного полярного напівпровідника має такий вигляд:

\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]

Тут \(V\) – об’єм, що використовується для нормалізації кристалічної структури, а \(q\) – хвильовий вектор фонону. Якщо вважати, що електронні стани є плоскими хвилями, то взаємодія пов’язує початковий стан \(|\mathbf{k}\rangle\) із кінцевим станом \(|\mathbf{k}'\rangle\) за умови збереження кристалічного імпульсу. Відповідно, для поглинання та випромінювання фононів кінцевий хвильовий вектор дорівнює \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}\pm\mathbf{q}\).

Враховуючи фактори заповнення фононів і припускаючи, що перекриття періодичних частин початкової та кінцевої функцій Блоха приблизно дорівнює одиниці, квадрати елементів матриці переходу набувають вигляду:

\[ |M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 = |M(q)|^2 N_{LO}, \]

\[ |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 = |M(q)|^2 (N_{LO}+1). \]

Член, що описує поглинання, залежить від кількості доступних фононів LO, тоді як процес випромінювання містить додатковий спонтанний внесок. Ці матричні елементи використовуються в «золотому правилі Фермі» для обчислення ймовірності переходу між електронними станами.

Від «золотого правила Фермі» до тривимірного інтеграла в k-просторі.

Після визначення елемента матриці зв’язку Фрьоліха, ми можемо обчислити швидкість, з якою електрон розсіюється з початкового стану \(|\mathbf{k}\rangle\) у кінцевий стан \(|\mathbf{k}'\rangle\). Як показано в ??, це може відбуватися шляхом поглинання або випромінювання фононів з низькою частотою, при цьому електрон або отримує, або втрачає енергію \(\hbar\omega_{LO}\).

Застосовуючи золоте правило Фермі, загальну швидкість розсіювання можна визначити шляхом підсумовування всіх допустимих хвильових векторів фононів \(\mathbf{q}\) і обох процесів розсіювання:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau(\mathbf{k})} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}-\mathbf{q})-E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO} \big) \Big]. \end{aligned} \]

Тут \(\delta\) — це дельта-функція Дірака, яка забезпечує збереження енергії. Матричні елементи поглинання та випромінювання, \(|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2=|M(q)|^2N_{LO}\) і \(|M_{\mathrm{em}}(q)|^2=|M(q)|^2(N_{LO}+1)\), були введені в попередньому розділі. Ми припускаємо, що кінцеві електронні стани є незаповненими, тому ефект блокування Паулі можна не враховувати.

Для кристала достатньо великого розміру дозволені хвильові вектори фононів розташовані близько один до одного, і суму можна замінити інтегралом по зоні Бріллюена:

\[ \sum_{\mathbf{q}} \longrightarrow \frac{V}{(2\pi)^3}\int d^3q. \]

Фактор \(V\) усуває залежність \(1/V\) квадрата елемента матриці Фрьоліха, залишаючи лише розсіювання, яке не залежить від об’єму нормалізації кристала. Підставивши вираз для \(M_{\mathrm{abs}}(q)\), отримаємо, що швидкість поглинання становить:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big). \end{aligned} \]

Щоб обчислити цей інтеграл, ми використовуємо сферичні координати, при цьому полярна вісь збігається з початковим вектором хвилі електрона \(\mathbf{k}\). Інтегрування за азимутальним кутом дає:

\[ d^3q = 2\pi q^2\,dq\,d(\cos\theta), \]

де \(\theta\) — кут між хвильовими векторами електрона та фонона, \(\mathbf{k}\) і \(\mathbf{q}\). Зверніть увагу, що внесок \(q^2\) від об’ємного елемента компенсує залежність \(1/q^2\) елемента матриці Фрьоліха. Це значно спрощує подальше інтегрування.

Припускаючи, що зона провідності має параболічну, ізотропну форму \(E(\mathbf{k})=\hbar^2k^2/2m^*\), аргумент дельта-функції поглинання можна розкласти наступним чином:

\[ \begin{aligned} &E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \\[4pt] &\qquad = \frac{\hbar^2}{2m^*} \left( 2kq\cos\theta+q^2 \right) -\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} \]

Інтегрування за змінною \(\cos\theta\) усуває дельта-функцію та додає множник \(m^*/(\hbar^2kq)\), за умови, що розв’язок задовольняє умову \(-1\leq\cos\theta\leq1\). Ця умова обмежує діапазон допустимих хвильових векторів фононів відповідно до законів збереження енергії та кристалічного імпульсу.

Щодо поглинання фононів, допустимі межі такі:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k'-k,\\ q_{\max} &= k'+k,\\ k' &= \sqrt{k^2+\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

Для випромінювання фононів, яке потребує \(E\geq\hbar\omega_{LO}\), відповідні граничні значення становлять:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k-k',\\ q_{\max} &= k+k',\\ k' &= \sqrt{k^2-\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

Подальша радіальна інтеграція є досить простою:

\[ \int_{q_{\min}}^{q_{\max}} \frac{dq}{q} = \ln\left(\frac{q_{\max}}{q_{\min}}\right). \]

Збираючи члени виразу та використовуючи \(\hbar k=\sqrt{2m^*E}\), де \(E\) — це кінетична енергія носія, виміряна відносно мінімуму зони, ми отримуємо стандартні аналітичні вирази для швидкостей розсіювання Фрьоліха. Для поглинання:

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} ={}& C(E)N_{LO} \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}+\sqrt{E} }{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}-\sqrt{E} } \right|, \end{aligned} } \]

що стосується викидів,

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)} ={}& C(E)(N_{LO}+1) \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E}+\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} }{ \sqrt{E}-\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} } \right|, \qquad E\geq\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} } \]

Інтенсивність випромінювання дорівнює нулю при енергіях, нижчих за поріг енергії фононів LO. У цих виразах спільним коефіцієнтом є

\[ C(E)= \frac{e^2\omega_{LO}}{4\pi\varepsilon_0\hbar} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \sqrt{\frac{m^*}{2E}}. \]

Загальна швидкість розсіювання Фрьоліха є просто сумою двох складових:

\[ \boxed{ \frac{1}{\tau(E)} = \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} + \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)}. } \]

Загальний коефіцієнт також можна виразити за допомогою безрозмірної сталої Фрьоліха \(\alpha\), що дає \(C(E)=\alpha\omega_{LO}\sqrt{\hbar\omega_{LO}/E}\). Варто зазначити дві граничні умови. Як показано в \(E\rightarrow0\), швидкість поглинання наближається до скінченного значення \(2\alpha\omega_{LO}N_{LO}\). У точці порогу випромінювання \(E=\hbar\omega_{LO}\) внесок випромінювання починається з нуля і швидко зростає зі збільшенням енергії носіїв заряду.

Таку поведінку можна безпосередньо спостерігати на графіку ??, який показує розраховані значення поглинання, випромінювання та загальної розсіювання для електронів у GaAs при 300 K. Для «гарячих» електронів отримані значення зазвичай становлять \(10^{12}\)–\(10^{13}\,\mathrm{s^{-1}}\), причому час випромінювання LO-фононів досягає приблизно 0,1–0,2 пікосекунди. Ці швидкі процеси випромінювання забезпечують важливий механізм, за допомогою якого енергетичні носії передають енергію кристалічній решітці.

Від розсіювання носіїв заряду до рухливості.

Розсіяння носіїв заряду відіграє важливу роль у визначенні електричної рухливості напівпровідника. Коли до напівпровідника прикладається електричне поле, електрони та дірки прискорюються під дією цього поля. Однак їхній рух постійно переривається взаємодією з фононами, домішками, дефектами та іншими носіями заряду. Ці процеси розсіяння перешкоджають нескінченному прискоренню носіїв і визначають їхню середню швидкість дрейфу.

У найпростішій моделі транспорту зв’язок між рухливістю носіїв заряду та розсіюванням описується формулою Друде.

\[ \boxed{ \mu = \frac{e\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*} } \]

де \(e\) — елементарний заряд, \(m^*\) — ефективна маса носіїв заряду, а \(\tau_{\mathrm{tr}}\) — час релаксації імпульсу. Фізично, \(\tau_{\mathrm{tr}}\) описує, наскільки швидко розсіювання припиняє спрямований рух носіїв заряду, що виникає під дією прикладеного електричного поля. Більший час релаксації, як правило, призводить до вищої рухливості, тоді як сильніше розсіювання імпульсу зменшує її.

Від коефіцієнта розсіювання до релаксації імпульсу

Існує важлива відмінність між загальною швидкістю розсіювання, розрахованою в попередньому розділі, і швидкістю, з якою розсіювання впливає на імпульс носіїв заряду. Загальна швидкість розсіювання, \(1/\tau(\mathbf{k})\), враховує кожен перехід із початкового електронного стану, незалежно від того, наскільки змінюється напрямок руху носіїв заряду.

Уявімо електрон, який рухається зі початковим хвильовим вектором \(\mathbf{k}\). Після події розсіяння його хвильовий вектор змінюється на \(\mathbf{k}'\), утворюючи кут \(\theta_s\) зі своїм початковим напрямком. Для ізотропної параболічної зони та пружної події розсіяння електрон зберігає ту саму швидкість, але лише складова його кінцевої швидкості залишається паралельною до його початкового напрямку. Ця складова є

\[ v_{\parallel}' = v\cos\theta_s. \]

Отже, частка початкової спрямованої швидкості, яка втрачається під час процесу розсіяння, становить:

\[ \frac{v-v_{\parallel}'}{v} = \boxed{1-\cos\theta_s}. \]

Цей простий геометричний аргумент пояснює, чому розсіювання під різними кутами не вносить однаковий внесок у релаксацію імпульсу. Наприклад:

• Пряме розсіювання (\(\theta_s=0^\circ\)): коефіцієнт дорівнює нулю, оскільки електрон продовжує рух у початковому напрямку.
• Розподіляючи по \(90^\circ\): коефіцієнт дорівнює одиниці, оскільки жодна з початкових складових вектора швидкості не зберігається.
• Зворотне розсіювання (\(\theta_s=180^\circ\)): коефіцієнт зважування дорівнює двом, оскільки електрон змінює напрямок свого руху.

Ми можемо використати цю кутову залежність для побудови наближеної функції швидкості розсіяння. Для ізотропних зон часто використовують наближення з кутовими коефіцієнтами.

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf{k})} \simeq \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} (1-\cos\theta_s) \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta(E'-E-\hbar\omega_{LO}) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta(E'-E+\hbar\omega_{LO}) \Big]. \end{aligned} \]

Тут \(\theta_s\) – це кут між початковою та кінцевою векторами швидкості носія заряду. Для ізотропної параболічної зони провідності ці швидкості паралельні відповідним хвильовим векторам. Матричні елементи \(M_{\mathrm{abs}}\) і \(M_{\mathrm{em}}\) – це ті, що були отримані в попередньому розділі.

У випадку нееластичного розсіяння, коли також змінюється швидкість носія, просте кутове зважування є лише наближенням. Більш загальний коефіцієнт для окремої події становить \(1-(v'/v)\cos\theta_s\) для ізотропної зони. Для точного опису нееластичного транспорту необхідно розв’язувати лінеаризоване рівняння Больцмана, яке враховує взаємозв’язок між початковим і кінцевим станами носія.

Ця відмінність особливо важлива для розсіювання Фрьоліха. Оскільки взаємодія сприяє невеликим хвильовим векторам фононів \(q\), багато переходів передбачають відносно невеликі зміни напрямку руху носіїв заряду. Отже, загальна швидкість розсіювання може значно відрізнятися від швидкості, з якою відбувається релаксація спрямованого руху носіїв заряду.

Обчислення рухливості на основі зонної структури.

Рівняння Друде є корисним відправним пунктом, але реальні напівпровідники не обов’язково мають єдину ефективну масу або постійний час релаксації. Як швидкість розсіювання, так і швидкість носіїв заряду можуть змінюватися в межах електронної зонної структури.

Щоб врахувати це, рухливість можна обчислити шляхом усереднення внесків від електронних станів, які беруть участь у транспорті. У рамках наближення часу релаксації тензор рухливості електронів є

\[ \boxed{ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})} } \]

Тут \(n\) – це електронна густина, \(f\) – розподіл Фермі–Дірака, а сума обчислюється за відповідними електронними зонами та явно визначеними спіновими або долинними станами. Групова швидкість кожного стану визначається за допомогою дисперсії зони.

\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]

Похідна функції розподілу Фермі–Дірака визначає, які електронні стани впливають на електричну провідність. Подальше інтегрування об’єднує їхні швидкості та часи релаксації для визначення загальної рухливості.

Цей підхід особливо корисний для числових моделей зонної структури, таких як ті, що розраховуються за допомогою \(k\cdot p\) теорії, оскільки енергозалежні швидкості можна отримати безпосередньо з розрахованої дисперсії, а не шляхом припущення про постійну ефективну масу. Крім того, він дозволяє враховувати різні механізми розсіювання, беручи до уваги їхній внесок у час релаксації транспорту. Приклади розрахунків рухливості на основі зонної структури наведено в Si/SiGe Δ-valley electron-mobility tutorial та Si/SiGe six-band Luttinger–Kohn hole-mobility tutorial. У цих прикладах із використанням кремнію застосовуються неполярні механізми розсіювання, а не розсіювання Фрьоліха, але вони ілюструють ту саму послідовність переходу від електронної зонної структури та швидкості розсіювання до рухливості носіїв заряду.