Оптичні переходи в квантових ямах: підсилення та спонтанна емісія.

Від електронних станів до світла

У попередньому навчальному матеріалі, присвяченому параболічним квантовим зонам, ми почали з розгляду розв’язків рівняння Шредінгера, обмежених певними умовами, і показали, як кожен із цих розв’язків перетворюється на електронну підзону, коли враховується рух, паралельний до шарів напівпровідника. Ми також розрахували енергію фотона, необхідну для переходу електрона з одного стану в інший, де другий стан є станом дірки.

Знання того, які переходи можливі, – це лише початок. Щоб обчислити кількість світла, яке поглинається або випромінюється квантовою ямою, ми також повинні визначити ймовірність кожного переходу та кількість електронів і дірок, які можуть у ньому брати участь. Саме тут у розрахунки вступають золоте правило Фермі та оптичні матричні елементи.

Ми виконаємо обчислення поетапно: спочатку розглянемо окремий перехід, потім обчислимо його ймовірність, підсумуємо значення для всіх підзон електронів і дірок, і, нарешті, застосуємо лоренцівське розширення, щоб отримати плавний оптичний спектр.

Три способи взаємодії світла з напівпровідником

Уявіть собі електрон у зоні провідності та вільний стан у валентній зоні. Існує три тісно пов’язані оптичні процеси:

• Поглинання: вхідний фотон збуджує електрон, переводячи його з заповненого енергетичного рівня валентної зони на незаповнений енергетичний рівень зони провідності.
• Вимушена емісія: вхідний фотон змушує електрон у зоні провідності перейти в порожню енергетичну зону валентності (створюючи «дірку»), в результаті чого випромінюється додатковий фотон.
• Спонтанна емісія: електрон рекомбінує з діркою та випромінює фотон, навіть якщо відсутній вхідний фотон.

Усі три процеси залежать від різниці енергій між початковим і кінцевим електронними станами, а також від того, наскільки сильно світло впливає на ці стани. Їхня головна відмінність полягає в тому, чи зайняті ці стани, і чи має фотон уже бути присутнім.

Почніть з одного переходу електрона–дірки.

Виберемо електронну підзону \(n\) і діркову підзону \(m\). Для простої параболічної квантової ями перехід між станами, що мають однаковий хвильовий вектор у площині, характеризується різницею енергій.

\[ E_{nm}(k_{\parallel})= E_g+\varepsilon_{e,n}+\varepsilon_{h,m} +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu}, \]

де \(E_g\) – ширина забороненої зони матеріалу, з якого виготовлено напівпровідник, \(\varepsilon_{e,n}\) і \(\varepsilon_{h,m}\) – енергії локалізації електронів і дірок, а \(\mu\) – зменшена ефективна маса в площині:

\[ \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_e^{*}}+\frac{1}{m_h^{*}}. \]

Під час прямого оптичного переходу площинний хвильовий вектор кристала зберігається приблизно, оскільки фотон несе відносно малу імпульсну енергію. Отже, електрон і дірка сприяють вертикальному переходу між двома підсмугами в ??.

Якщо енергія фотона відповідає різниці енергій між станами, то перехід є енергетично можливим:

\[ \hbar\omega=E_{nm}(k_{\parallel}). \]

Однак, порівняння енергій не дає нам інформації про те, як часто відбувається цей перехід. Для цього нам потрібно розрахувати взаємодію між електроном і електромагнітним полем.

Золоте правило Фермі: яка ймовірність переходу в інший стан?

Золоте правило Фермі визначає швидкість переходу між початковим квантовим станом \(i\) і кінцевим станом \(f\) у випадку відносно слабкої взаємодії, яка їх поєднує:

\[ \boxed{ W_{i\rightarrow f}= \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i) } \]

У цьому рівнянні містяться дві особливо важливі складові:

• Матричний елемент \(\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\) визначає, наскільки сильно початковий і кінцевий стани пов’язані між собою оптичним полем. Піднесення його модуля до квадрата дає коефіцієнт, який визначає ймовірність переходу.
• Дельта-функція \(\delta(E_f-E_i)\) забезпечує збереження енергії. Якщо початковий і кінцевий стани містять фотони, їхні енергії фотонів враховуються у \(E_i\) і \(E_f\).

Корисно розглядати це питання з точки зору двох необхідних умов: перехід має відбуватися за умови наявності відповідної енергії, і світло має взаємодіяти з обома електронними станами. Перша умова визначається різницею між підзонами; друга – матричним елементом.

Що таке оптичний матричний елемент?

Коли світло взаємодіє з електроном, його електричне поле може спричиняти переходи між квантовими станами. У загальному описі відповідна взаємодія пропорційна скалярному добутку оператора імпульсу електрона та вектора поляризації оптичного поля. Відповідний елемент матриці імпульсу має такий вигляд:

\[ p_{nm}= \langle\Psi_{c,n}|\,\mathbf e\!\cdot\!\hat{\mathbf p}\,|\Psi_{v,m}\rangle, \]

де \(\mathbf e\) – поляризація світла, а \(\Psi_{c,n}\) і \(\Psi_{v,m}\) позначають електронні стани, пов’язані з зонами провідності та валентності. Велика величина означає, що оптичне поле сильно взаємодіє зі станами; нульовий елемент матриці означає, що цей перехід оптично заборонений у межах використовуваної моделі.

У рамках спрощеної параболічної апроксимації ми можемо відокремити швидкозмінні атомні функції Блоха від повільніше змінних хвильових функцій, що описують квантову яму. Оптичне зв’язування тоді міститиме два фактори:

\[ \boxed{ |p_{nm}|^2\simeq |\mathbf e\!\cdot\!\mathbf p_{cv}|^2 \left|\int \psi_{e,n}^{*}(z)\psi_{h,m}(z)\,dz\right|^2 } \]

Перший фактор, \(\mathbf p_{cv}\), описує оптичне зв’язування між розташованими нижче напівпровідниковими зонами. Другий фактор – це ступінь перекриття амплітуд, який показує, наскільки добре перекриваються хвильові функції електронів і дірок у квантовій ямі.

Наприклад, дві зони, що розташовані в одній і тій самій області свердловини, можуть значною мірою перекриватися. Якщо електричне поле притягує електрони до однієї межі, а дірки – до іншої, то ступінь перекриття може значно зменшитися. Важливо зазначити, що вирішальним є інтеграл хвильових функцій, а не просто перекриття окремих графіків щільності ймовірності: знаки та фази хвильових функцій можуть призводити до взаємного скорочення їхнього впливу.

Це також пояснює, чому поляризація світла може мати значення. Наприклад, TE- та TM-поляризоване світло досліджує різні компоненти матричного елемента імпульсу, і для випадків, коли важливі змішування зон і правила вибору поляризації, потрібні більш складні багатозонні моделі. Ці ефекти можна вивчити в навчальному посібнику з восьмизонної структури цинкбленду для GaAs/AlGaAs та навчальному посібнику з восьмизонної структури вюрциту для GaN/AlGaN.

Дозволена зміна не означає, що вона обов’язково відбудеться.

Навіть перехід із правильною енергією та великим матричним елементом не може відбутися, якщо початковий стан не містить частинок, а кінцевий стан недоступний. Нехай \(f_c\) – ймовірність того, що відповідний стан зони провідності містить електрон, а \(f_v\) – ймовірність того, що відповідний стан валентної зони містить електрон. Отже, ймовірність того, що валентний стан містить дірку, становить \(1-f_v\).

Наявні популяції електронів зумовлюють різні коефіцієнти поглинання та випромінювання:

\[ \begin{aligned} \text{Absorption:}\qquad & f_v(1-f_c),\\[4pt] \text{Emission:}\qquad & f_c(1-f_v). \end{aligned} \]

Для поглинання необхідний заповнений стан у валентній зоні та вільний стан у зоні провідності. Для випромінювання потрібне саме протилежне: електрон у зоні провідності та «дірка» у валентній зоні. Ці фактори заповнення визначатимуть, чи сприяє певний перехід чистому поглинанню чи чистому оптичному підсиленню.

Від одного переходу до оптичного спектра.

Справжня квантова яма має більше ніж одну підзону для електронів і дірок, і електрони можуть займати різні площинні хвильові вектори вздовж кожної параболи. Щоб обчислити спектр, ми повинні врахувати внесок від кожної відповідної комбінації підзон для електронів \(n\), підзон для дірок \(m\) і площинних хвильових векторів \(k_{\parallel}\).

Узагальнено, розрахунок спектрального поглинання має такий вигляд:

\[ \alpha(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 f_v(1-f_c) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right]. \]

Сума обчислюється для пар піддіапазонів; інтеграл враховує всі стани в площині. Матричний елемент визначає вагу кожного переходу відповідно до його оптичної інтенсивності, фактори заповнення показують, чи присутні необхідні носії заряду, а дельта-функція вибирає переходи з правильною енергією фотона. Пропорційність не враховує загальні електромагнітні коефіцієнти нормалізації.

Для параболічної двовимірної підсмуги кількість доступних станів на одиницю енергії має особливо просту форму: їх сумісна щільність станів є постійною вище порогу переходу в ідеальній моделі. Отже, пара підсмуг починає впливати, коли енергія фотона досягає свого мінімального допустимого значення енергії переходу. Подальші пари підсмуг вводять додаткові пороги в спектрі.

У який момент поглинання перетворюється на оптичне підсилення?

Вхідний промінь може як поглинатися, так і стимулювати випромінювання. Оптичне підсилення – це баланс між цими двома взаємодіючими процесами, а не просто сумарна швидкість рекомбінації електронів і дірок. Віднімаючи поглинання від стимульованого випромінювання, отримуємо особливо корисне спрощення:

\[ \begin{aligned} f_c(1-f_v)-f_v(1-f_c) &=f_c-f_v. \end{aligned} \]

Отже, спектральне підсилення матеріалу має таку ж суму по всіх переходах, як і розрахунок поглинання, але використовує різницю в кількості частинок у різних енергетичних станах:

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

Якщо \(f_v\) більше за \(f_c\), переважає поглинання, і внесок у підсилення стає від’ємним. Якщо \(f_c\) більше за \(f_v\), переважає вимушена емісія: це явище інверсії населеності, і перехід сприяє позитивному підсиленню.

У повному обчисленні коефіцієнт пропорційності включає такі величини, як оптична частота, показник заломлення, електромагнітні константи та товщина, що використовується для нормалізації квантово-ямових станів. Також слід розрізняти коефіцієнт підсилення в активному матеріалі та модальний коефіцієнт підсилення лазера, який залежить від того, наскільки сильно оптична мода перекриває квантово-ямову область.

А що щодо спонтанної емісії?

Спонтанне випромінювання використовує ті самі енергії електронних переходів і оптичні матричні елементи, але це не те саме, що чисте посилення. Щоб зрозуміти різницю, уявіть, що певний фотонний режим уже містить \(N\) фотонів. Квантово-механічна швидкість випромінювання в цей режим містить коефіцієнт \(N+1\):

\[ \underbrace{(N+1)}_{\text{emission}} =\underbrace{N}_{\text{stimulated}} +\underbrace{1}_{\text{spontaneous}}. \]

Збуджена частина збільшується пропорційно до кількості фотонів, які вже присутні. Додаткове значення \(1\) означає, що випромінювання все ще може відбуватися, навіть коли початкова кількість фотонів дорівнює нулю. На відміну від цього, поглинання потребує вхідного фотона і пропорційне значенню \(N\).

Щоб обчислити спонтанне випромінювання, ми підсумовуємо ймовірності переходів для всіх доступних електронних станів і фотонних мод, у які може випромінюватися світло. Схематично спектр спонтанного випромінювання виглядає так:

\[ \boxed{ R_{\mathrm{sp}}(\hbar\omega)\ \propto D_{\mathrm{ph}}(\omega) \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |M_{nm}(\omega,k_{\parallel})|^2 f_c(1-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

Тут \(D_{\mathrm{ph}}\) позначає доступні фотонні режими, а \(M_{nm}\) – відповідний нормований елемент матриці взаємодії електрон–фотон для спонтанного випромінювання. Ця позначка чітко показує, що при обчисленні абсолютної інтенсивності випромінювання фотонів необхідно враховувати щільність фотонних режимів та оптичну нормалізацію.

Зверніть увагу на фактор, що впливає на процес: спонтанна емісія використовує \(f_c(1-f_v)\), а не різницю в кількості частинок \(f_c-f_v\), яка використовується для отримання чистого посилення. Отже, квантова яма може демонструвати спонтанну емісію навіть тоді, коли її загальна оптична реакція полягає в поглинанні. Ми не повинні отримувати спонтанну емісію, просто встановлюючи від’ємні значення посилення на нуль.

Навіщо нам потрібне лоренцівське розширення?

До цього моменту «золоте правило Фермі» використовувало дельта-функцію для відображення точного збереження енергії. Однак у реальному напівпровіднику оптичні переходи не проявляються у вигляді нескінченно чітких ліній. Розсіювання та скінченний час когерентності електронного переходу зумовлюють наявність у нього скінченної спектральної ширини.

Один із поширених способів відображення цього – замінити дельта-функцію на нормалізовану лоренцівську криву:

\[ \boxed{ L_{\gamma}(\Delta E)= \frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{(\Delta E)^2+\gamma^2} } \]

Тут \(\Delta E\) – це різниця між енергією електронного переходу та енергією фотона, а \(\gamma\) – напівширина Лоренцової кривої на рівні половини максимального значення (HWHM). Її повна ширина на рівні половини максимального значення становить \(2\gamma\). Оскільки лоренцівська функція нормалізована за енергією, розширення призводить до перерозподілу спектральної інтенсивності переходу, а не до довільної зміни його інтегрованого внеску.

Отже, для кожної зміни ми замінюємо \(\delta(E_{nm}-\hbar\omega)\) на \(L_{\gamma}(E_{nm}-\hbar\omega)\). Наприклад, розширена смуга посилення стає

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) L_{\gamma}\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

Аналогічна заміна застосовується і в розрахунках спонтанного випромінювання, але коефіцієнт заповнення залишається \(f_c(1-f_v)\). Більший параметр розширення призводить до більш плавних і широких спектральних характеристик; менше значення зберігає чіткіші межі переходу. Лоренцівське розширення є корисним описом однорідного розширення, а не універсальним описом кожного фізичного механізму розширення.

Зведення всіх обчислень воєдино.

Тепер ми можемо підсумувати, як формується оптичний спектр квантової ями на основі електронних станів:

1. Знайдіть обмежені стани. Розв’яжіть рівняння Шредінгера для енергій електронів і дірок, а також для хвильових функцій у квантовій ямі.
2. Сформуйте піддіапазони. Включіть рух, паралельний до шарів, щоб отримати значення енергій електронних переходів для різних площинних хвильових векторів.
3. Обчисліть оптичне зв’язування. Оцініть відповідні матричні елементи, зокрема, коефіцієнт перекриття електронної та діркової хвильових функцій і, за потреби, поляризацію світла.
4. Включіть дані про концентрацію носіїв заряду. Використовуйте характеристики електронних станів і валентної зони, щоб розрізнити поглинання, вимушену емісію та спонтанну емісію.
5. Проведіть підсумовування за всіма переходами. Додайте внески від підзон електронів і дірок, а також від усіх доступних станів у площині.
6. Розширте діапазон. Замініть ідеальні дельта-функціональні переходи на відповідну форму лінії, наприклад, лоренцівську.

Це принципи, які пов’язують квантово-ямочні електронні обчислювальні моделі OghmaNano з розрахунками оптичного підсилення та спонтанної емісії. Проста параболічна модель полегшує розуміння фізичних процесів; багатосмугова модель... теорія К·П. розширює електронні стани та оптичні матричні елементи, коли взаємодія між зонами і залежність від поляризації стають важливими.