Поглинання, вимушена емісія та оптичне підсилення

Оптичне підсилення – це те, що дозволяє квантовій ямі підсилювати світло: воно виникає, коли стимульована емісія перевищує поглинання, що потребує інверсії заселеності між провідною та валентною підзонами. На цій сторінці зібрано обчислення коефіцієнта підсилення OghmaNano на основі його фізичних складових – статистики носіїв заряду, двовимірної щільності станів, оптичних матричних елементів і розширення спектральної лінії – і чітко зазначено, що саме включає та не включає поточна реалізація.

1. Заповненість та квазірівень Фермі

Під дією оптичного або електричного збудження електрони та дірки зазнають внутрішньої термізації, але не перебувають у рівновазі між собою, тому кожен тип носіїв заряду має власний квазі-рівень Фермі. Заповнення певного енергетичного стану \(E\) описується функцією Фермі–Дірака.

\[ f(E) = \frac{1}{1 + \exp\!\big((E - E_F)/k_B T\big)}, \]

де \(E_F=E_{F,c}\) позначає стан провідності, а \(E_F=E_{F,v}\) – стан валентності. Зі збільшенням інтенсивності накачування ці два квазірівні Фермі віддаляються один від одного; для досягнення інверсії заселеності, а отже, і підсилення, необхідна їхня достатня розбіжність, яка перевищує енергію переходу.

2. Щільність матеріалу та двовимірний інтеграл.

Оскільки рух в площині вільний, кожна підсмуга є двовимірною смугою, а її густина носіїв визначається інтегралом по хвильовому вектору в площині. Двовимірна густина станів визначає вагу інтегрування \(k\,dk/2\pi\) на одиницю спіну/виродження, тому густина електронного шару становить

\[ n_{2D} = \sum_{n} g\!\int \frac{k\,dk}{2\pi}\; f\!\big(E_n(k)\big), \]

де \(g\) – ступінь виродження стану, а сумування відбувається за піддіапазонами. OghmaNano обчислює цей інтеграл чисельно на основі отриманої дисперсії. За заданої цільової щільності шару, програма визначає квазірівень Фермі методом ділення навпіл, коригуючи \(E_F\), доки значення інтеграла не збігатиметься з цільовим значенням, і виконує те саме для дірок \(1-f\). У режимі повного спектру, де змішуються стани, подібні до електронних і діркових, вага S-характеру кожного стану визначає його внесок.

3. Введення елементів матриці

Кожен перехід вносить внесок пропорційно до свого оптичного матричного елемента \(M^2\), причому обчислюється квадрат коефіцієнта перекриття та характеристик на основі амплітуд. Абсолютна шкала визначається префактором, який складається з енергії Кейна та оптичних констант.

\[ \text{prefactor} \propto \frac{\pi\,q^2\,p^2}{n_r\,c\,\varepsilon_0\,m_0^2\,\omega\,W}, \qquad p^2 = \tfrac{1}{2} m_0 E_p q, \]

де \(n_r\) – показник заломлення, \(W\) – ширина шару, \(\omega\) – оптична кутова частота, а \(E_p\) – енергія Кейна. \(1/W\) перетворює відгук шару на коефіцієнт посилення, що характеризує об’ємний матеріал (одиниці вимірювання – обернена довжина).

4. Розширення спектральної лінії

Реальні переходи характеризуються розширенням спектральної лінії, а не представленням у вигляді чіткої дельта-функції. У OghmaNano використовується лоренціан із напівшириною \(\gamma\).

\[ L(E - \hbar\omega) = \frac{1}{\pi}\,\frac{\gamma}{(E - \hbar\omega)^2 + \gamma^2}, \]

зосереджується на кожному енергетичному переході \(E = E_e(k) - E_v(k)\). Це розширює кожен перехід на певний діапазон енергій фотонів і згладжує спектр.

5. Підвищення ефективності, поглинання та загального прибутку.

Для заданої енергії фотона \(\hbar\omega\) кожен перехід сприяє вимушеній емісії з ймовірністю \(f_c(1-f_v)\) (електрон присутній у верхньому стані, дірка – у нижньому) і поглинанню з ймовірністю \(f_v(1-f_c)\). Підсумовуючи значення для підзон і для двовимірного інтеграла,

\[ \begin{aligned} g_{\text{stim}}(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_c(1-f_v)\, L, \\ \alpha(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_v(1-f_c)\, L, \end{aligned} \]

де \(C\) — початковий коефіцієнт. Сумарний приріст визначається як різниця між ними.

\[ g_{\text{net}}(\hbar\omega) = g_{\text{stim}}(\hbar\omega) - \alpha(\hbar\omega). \]

Чистий приріст є позитивним лише тоді, коли розподіл популяції є інвертованим, тобто коли \(f_c > f_v\) – виконується умова Бернара–Дюрафура, згідно з якою різниця квазі-рівнів Фермі перевищує енергію фотона. Нижче порогового значення той самий вираз є від’ємним, що правильно описує поглинання.

6. Спектри TE/TM та сканування щільності.

Для моделі вюрцит OghmaNano двічі обчислює інтеграл посилення: спочатку з використанням елементів матриці TE (базальна площина, \(P_2\)), а потім з використанням елементів матриці TM (вісь c, \(P_1\)), в результаті чого отримуються окремі спектри TE та TM, співвідношення яких відображає валентний орбітальний характер найвищих енергетичних рівнів. Усе обчислення повторюється для різних значень щільності шару, тому результатом є набір спектрів, що показує, як змінюється посилення під час накачування; для порівняння з об’ємними значеннями наводиться приблизна об’ємна щільність \(n_{3D}\approx n_{2D}/W\).