Головна Приклади Знімки екрана Інструкція користувача

OghmaNano Мультифізична платформа для моделювання оптоелектронних пристроїв і фотонних систем. ЗАВАНТАЖИТИ Короткий посібник зі швидкого старту

k·p метод для розв’язування задач про зонну структуру та квантові ями.

Calculated conduction and valence subbands from an eight-band zincblende k p quantum-well simulation — Розраховано дисперсію провідної та валентної підзон для квантової ями GaAs/AlGaAs з використанням восьмизонної моделі цинкбленду k·p.

Quantum well electron and hole states, subbands and optical transitions — Локалізовані стани електронів і дірок утворюють двовимірні підзони, для яких можна розрахувати оптичні переходи.

S-like conduction state coupled to X Y and Z valence states in the eight-band k p model — Багатосмугові k·p моделі явно пов’язують провідні та валентні основні стани, а не розглядають кожну смугу як незалежну параболу.

Optical gain spectrum calculated from k p quantum-well states — Електронні стани можна враховувати в розрахунках поглинання, вимушеного випромінювання, оптичного підсилення та спонтанного випромінювання.

1. Вступ

OghmaNano містить набір інструментів для розв’язання задач, пов’язаних із зонною структурою напівпровідників, квантовими ямами та методом k·p, для обчислення електронних станів як у двовимірних квантових ямах, так і в об’ємних напівпровідниках. Моделі обчислюють обмежені електронні та діркові стани, дисперсію електронних зон, хвильові функції, змішування зон та оптичні матричні елементи, і можуть бути поєднані з обчисленнями оптичного поглинання, спонтанного випромінювання, вимушеного випромінювання, коефіцієнта підсилення, розсіювання носіїв заряду та рухливості.

Існує цілий ряд моделей зонної структури, які можна використовувати для різних напівпровідникових матеріалів і кристалічних структур:

Програма для розв’язання задачі про квантову яму з використанням параболічної ефективної маси — проста модель рівняння Шредінгера для опису локалізації електронів і дірок у напівпровідникових квантових ямах. Вона корисна для простих гетероструктур із прямою забороненою зоною, таких як квантові ями GaAs/AlGaAs. Повний приклад використання наведено в Навчальний посібник з параболічних квантових ям GaAs/AlGaAs.
8-смугова модель для розв’язування рівнянь на основі цинкбленду — багатосмугова модель для напівпровідників цинкблендної структури, таких як GaAs, InAs і InP, а також відповідних сплавів III–V групи. Гамільтоніан включає зону провідності разом із важкими, легкими та розділеними валентними зонами, що дозволяє явно обчислювати непараболічність, спін-орбітальну взаємодію та змішування валентних зон.
10-смугова модель цинкбленду для розв’язування рівнянь k·p — розширена модель цинкбленду для напівпровідників із низькою концентрацією нітридів, таких як GaAsN і GaInNAs. Додаткові резонансні стани, що походять від нітридів, дозволяють моделі відтворювати антиперетин провідної зони та значні зміни в ширині забороненої зони та дисперсії електронів, які спостерігаються в напівпровідниках із низькою концентрацією нітридів.
8-смуговий розв’язувач рівнянь Вурцита — багатосмугова модель для гексагональних напівпровідників, зокрема нітриду галію (GaN), нітриду алюмінію (AlN) і нітриду індію (InN), а також їхніх сплавів. Модель враховує розщеплення кристалічного поля, спін-орбітальну взаємодію, анізотропну зонну структуру та змішування електронних станів, необхідні для обчислення оптичних переходів TE та TM.
Розв’язувач квантової ями на основі кремнію з шістьма долінами Δ — модель для опису електронних станів у кремнії та Si/SiGe квантових ямах. Вона враховує шість анізотропних долин зони провідності кремнію, включно з їхніми поздовжніми та поперечними ефективними масами, а також вплив обмеження та деформації. Отримані стани також можна використовувати для обчислення швидкостей розсіювання та двовимірної рухливості електронів.
6-смуговий розв’язувач валентної зони Люттінгера–Кона — багатосмугова модель для опису властивостей дірок у гетероструктурах Si, Ge та SiGe. Вона враховує взаємодію важких і легких дірок, а також розщеплення зон, зумовлене спін-орбітальною взаємодією, і може бути використана для обчислення обмежених валентних підзон, змішування зон, розсіювання та двовимірної рухливості дірок.
8-смуговий об’ємний розв’язувач для перовськитів — об’ємна модель зонної структури для металогалогенних перовськитів, зокрема CsPbCl3, CsPbBr3, CsPbI3, MAPbCl3, MAPbBr3 і MAPbI3, а також для композицій із змішаними галогенідами. Гамільтоніан обчислюється навколо точки R перовськиту та включає сильне спін-орбітальне взаємодію, характерне для свинцевих галогенних перовськитів. Обчислені об’ємні електронні стани можна використовувати для визначення ефективних мас, статистичних характеристик носіїв заряду, розсіювання електронів на фононах Фрьоліха, часу релаксації та рухливості носіїв заряду.

Завдяки цим моделям, OghmaNano може обчислювати як двовимірні підзони квантових ям, так і тривимірні зонні структури напівпровідників. У випадку квантових ям носії локалізовані вздовж напрямку росту, але можуть вільно рухатися паралельно до шарів. У багатозонних обчисленнях k·p вектор хвилі напрямку росту замінюється оператором амплітудної функції.

\[ k_z \longrightarrow -i\frac{d}{dz}, \]

отримані пов’язані рівняння розв’язуються для всієї напівпровідникової гетероструктури. Повторення обчислень як функції площинної хвильової функції дає двовимірну дисперсію підзон. Об’ємні моделі, такі як розв’язувач для перовськитів, натомість безпосередньо розв’язують гамільтоніан як функцію тривимірної хвильової функції \(\mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)\).

Обчислені власні значення та власні вектори надають більше інформації, ніж просто діаграма зонної структури. Вони є відправною точкою для моделювання оптичних переходів, поглинання, спонтанного випромінювання, вимушеного випромінювання та оптичного підсилення, а також розсіювання носіїв заряду, часу релаксації та рухливості, якщо це підтримується. Завдяки цим можливостям, розв’язувачі зонної структури можна застосовувати для моделювання напівпровідникових лазерів, світлодіодів, фотодетекторів, гетероструктур з квантовими ямами, напівпровідникових каналів з високою рухливістю, кремнієвих/SiGe пристроїв, а також матеріалів для сонячних батарей і світлодіодів на основі металогалогенних перовськитів.

Для загального ознайомлення з основними фізичними принципами див. квантові ями та обмеження носіїв заряду та вступ до теорії k·p.

2. Застосування зонної теорії: оптичні переходи, підсилення, розсіювання та рухливість.

Обчислення електронної зонної структури – це лише перший етап моделювання. Після того, як стає відомою енергія та хвильові функції електронних станів, OghmaNano може використовувати ці дані для розрахунку цілого ряду оптичних і характеристик, пов’язаних із транспортуванням заряду. До них належать оптичне поглинання, спонтанне та вимушене випромінювання, оптичне підсилення, швидкості розсіювання фононів, час релаксації носіїв заряду та рухливість носіїв заряду.

В основі багатьох із цих обчислень лежить одна й та сама фундаментальна ідея: носій переходить з початкового електронного стану в кінцевий, причому ймовірність цього переходу визначається взаємодією між цими двома станами. У випадку слабкої взаємодії це описується «золотим правилом Фермі».

\[ W_{i\rightarrow f} = \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i). \]

Гамільтоніан взаємодії \(\hat H_{\mathrm{int}}\) залежить від фізичного процесу, який розглядається. Для оптичного переходу він описує взаємодію між електронними станами та електромагнітним полем. Для розсіювання носіїв заряду він може описувати взаємодію з коливаннями кристалічної решітки, зокрема з акустичними або поздовжніми оптичними (ЛО) фононами. Отже, розрахована зонна структура забезпечує спільну електронну основу, з якої можна отримати як оптичні, так і транспортні характеристики.

2.1 Оптичні переходи, поглинання та підсилення

Для оптичних обчислень OghmaNano поєднує розраховані стани провідності та валентної зони з їхніми оптичними матричними елементами та функціями розподілу носіїв заряду. Потім можна підсумувати переходи між заповненими та незаповненими станами по розрахованій зонній структурі, щоб отримати значення поглинання, вимушеного випромінювання, чистого оптичного підсилення та спонтанного випромінювання.

Оскільки багатосмугові власні вектори k·p зберігають інформацію про орбітальну та спінову характеристики кожного стану, оптичні розрахунки можуть виходити за межі простого зіставлення рівнів енергії. Змішування смуг змінює елементи матриці переходів і, отже, інтенсивність оптичної реакції. В анізотропних системах, таких як напівпровідники типу вюрциту, це також дозволяє розглядати оптичні переходи з TE- та TM-поляризацією окремо.

Optical gain calculated from an eight-band k p quantum-well band structure — Вимушене випромінювання та оптичне підсилення, розраховані на основі електронних станів.

Optical absorption calculated from an eight-band k p quantum-well band structure — Розрахований спектр оптичного поглинання.

Spontaneous emission calculated from an eight-band k p quantum-well band structure — Спонтанне випромінювання, розраховане на основі заповнених електронних і діркових станів.

2.2 Розсіювання носіїв заряду на основі обчисленої зонної структури.

Електронні стани також можна використовувати для обчислення ймовірності розсіювання носія з однієї частини зонної структури в іншу. Залежно від матеріалу та моделі, OghmaNano може включати такі механізми, як: розсіювання на акустичних фононах і Фреліхівське розсіювання поляризованими оптичними фононами Ці процеси визначають час існування носіїв заряду, швидкість їх релаксації та, зрештою, рухливість носіїв заряду.

Розсіяння Фрьоліха має особливе значення для полярних напівпровідників, таких як GaAs, InP, GaN і металогалогенні перовськіти. Поздовжній оптичний фонон створює коливне поле поляризації, яке взаємодіє з електроном або діркою. Інтенсивність цієї взаємодії описується матричним елементом Фрьоліха.

\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]

Тут \(q\) – це хвильовий вектор фонону, \(\omega_{LO}\) – кутова частота LO-фонону, а \(\varepsilon_\infty\) і \(\varepsilon_s\) описують електронне та статичне діелектричне екранування матеріалу. Залежність \(1/q\) відображає далекодіючу природу полярної взаємодії.

Застосування золотого правила Фермі та інтегрування за всіма можливими кінцевими станами дає швидкість розсіювання носіїв заряду. Наприклад, для поглинання оптичних фононів.

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\left( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})- E(\mathbf{k})- \hbar\omega_{LO} \right). \end{aligned} \]

Функція Дірака забезпечує збереження енергії, тоді як інтегрування за \(\mathbf{q}\) підсумовує внески від векторів хвилі фононів, які здатні поєднати початковий і кінцевий електронні стани. Випромінювання LO-фононів розраховується аналогічним чином, за винятком того, що носій втрачає енергію \(\hbar\omega_{LO}\). На відміну від цього, розсіювання акустичних фононів описує взаємодії з низькоенергетичними коливаннями кристалічної решітки, пов’язаними з пружною деформацією кристала.

Fröhlich interaction between an electron and a longitudinal optical phonon in a polar semiconductor — Поздовжній оптичний фонон створює поле електричної поляризації, яке взаємодіє з носіями заряду в полярному напівпровіднику.

LO phonon absorption and emission transitions within a semiconductor band — Поглинання та випромінювання ЛО-фононів переміщує носії заряду між станами, які розділені енергією фонона \(\hbar\omega_{LO}\).

Calculated Fröhlich LO phonon scattering rates as a function of electron energy — Розраховано коефіцієнти поглинання, випромінювання та загального розсіювання LO-фононів.

2.3 Від коефіцієнтів розсіювання до рухливості носіїв заряду

Під час розсіювання не обов’язково повністю втрачається спрямований імпульс носія заряду. Наприклад, при прямому розсіюванні напрямок руху носія змінюється лише незначно, тоді як при зворотному розсіюванні воно значно протидіє електричному струму. Тому для розрахунків транспорту OghmaNano може використовувати швидкість релаксації імпульсу, а не просто обернену величину загальної швидкості розсіювання.

Після того, як час релаксації перенесення заряду буде розраховано для всієї електронної зонної структури, можна отримати значення рухливості шляхом усереднення швидкості та характеристик розсіювання електронних станів, які беруть участь у процесі перенесення. У рамках наближення часу релаксації,

\[ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})}. \]

Швидкість переносників визначається безпосередньо на основі обчисленої електронної дисперсії.

\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]

Це пов’язує розраховану зонну структуру безпосередньо з транспортною величиною, яку можна виміряти експериментально. Замість того, щоб припускати наявність єдиної постійної ефективної маси та часу розсіювання, розрахунок може враховувати те, як змінюється швидкість носіїв заряду та час розсіювання в різних електронних зонах.

Для квантових ям Si/SiGe, OghmaNano може розраховувати розсіювання акустичних фононів і двовимірну рухливість електронів або дірок, використовуючи кремнієву Δ-долину та моделі Люттінгера–Кона. Для об’ємних металогалогенідних перовськитів розраховану восьмизонну електронну структуру можна поєднати з розсіюванням електронів на фононах Фрьоліха, щоб отримати час релаксації носіїв заряду та рухливість, обмежену фононами.

Приклади практичного застосування наведені в навчальному посібнику з електронної рухливості Si/SiGe, навчальному посібнику з рухливості дірок Si/SiGe та навчальному посібнику щодо зонної структури та рухливості перовськітів.

3. Початок роботи

Наведені в комплекті з OghmaNano приклади містять готові початкові дані для кожної моделі зонної структури. Для оптичних розрахунків, що стосуються квантових ям, у навчальному посібнику GaAs/AlGaAs eight-band k·p tutorial продемонстровано обчислення електронних підзон, поглинання, вимушеного випромінювання, оптичного підсилення та спонтанного випромінювання.

Для виконання великої кількості обчислень використовуйте Навчальний матеріал про зонну структуру та рухливість перовськитів показує, як розрахувати електронні зони CsPbX.₃ і MAPbX₃ матеріали та використовуйте отримані стани для обчислення розсіяння Фрьоліха та рухливості носіїв заряду.

Додаткову теоретичну інформацію можна знайти в посібнику з теорії k·p, теорії оптичних переходів та теорії розсіяння Фрьоліха.

5. Почнімо.

Для ознайомлення з явищем квантового обмеження почніть з розділу квантові ями та обмеження носіїв заряду. У розділі навчальний матеріал про параболічні зони представлено найпростішу модель квантової ями, а в розділі посібник з теорії k·p пояснюється, як кілька електронних зон взаємодіють у багатозонному гамільтоніані.

Для початку практичного вивчення матеріалу спробуйте скористатися навчальним посібником з восьмизонної моделі k·p для GaAs/AlGaAs або навчальним посібником щодо зонної структури та рухливості об’ємного перовськіту.

Ознайомтеся з інструментами для квантового та зонного моделювання.

Почніть з вступу до квантових ям, прочитайте посібник з теорії k·p або виконайте навчальний посібник з параболічної квантової ями GaAs/AlGaAs.