GaInNAs: напівпровідникова структура з квантовою ямою, що містить розбавлену нітридну фазу: навчальний посібник із використанням 10-зонної моделі цинк-бленду.
1. Вступ
У цьому навчальному посібнику ми змоделюємо квантову яму GaInNAs з низьким вмістом нітриду, використовуючи десятизонну модель цинк-бленду k·p від OghmaNano. Ми відкриємо наявний приклад, перевіримо структуру шарів, виконаємо розрахунок електронних станів і проаналізуємо передбачувані оптичні спектри. У прикладі міститься квантова яма GaInNAs товщиною 7 нм у межах більшої структури GaAs/AlGaAs, а не ізольована тришарова яма.
Навіщо потрібна десятизонна модель? Звичайна вісімзонна k·p-теорія описує зону провідності та важкі, легкі та розділені валентні зони, включно зі спіном. Введення невеликої концентрації азоту в сплав III–V групи може створити резонансний рівень, пов’язаний з азотом, який особливо сильно взаємодіє з основною зоною провідності. Десятизонний опис додає дві спінові складові цього стану, пов’язаного з азотом. Взаємодія може значно зменшити основну енергію переходу та змінити кривизну зони провідності. Це робить розбавлені нітриди цікавими для оптичних пристроїв, що працюють у більш широкому діапазоні довжин хвиль.
2. Відкриття прикладу з десятисмуговим еквалайзером.
Виберіть «Файл» → «Нова симуляція». У вікні нової симуляції двічі клацніть на «GaAs demos» (??). У наступному вікні міститься кілька прикладів квантових ям. Виберіть «AlGaAs dilute nitride 10 band k.p» (??). Це завантажить попередньо налаштовану десятисмугову симуляцію, включно з відповідними визначеннями шарів і файлами параметрів матеріалів.
3. Конструкція пристрою та параметри матеріалів.
У головному вікні відображається багатошарова структура (??). На відміну від простих гетеропереходів GaAs/AlGaAs, які використовувалися в попередніх навчальних матеріалах, у цьому прикладі передбачено додаткові шари, що виконують функції захисту, шари з поступовою зміною складу та бар’єрні шари навколо шару з низьким вмістом нітриду. Щоб переглянути геометрію, натисніть кнопку «Редактор шарів» у лівій панелі інструментів.
Редактор шарів (??) відображає вісім елементів, починаючи з p-GaAs, через AlGaAs і активну область, і закінчуючи n-GaAs. Зокрема, центральний шар GaInNAs (QW) має товщину 7,0 нм, а його тип шару встановлено як «квантова яма». На наведеному прикладі також показано шари AlGaAs товщиною 0,16 мкм з обох боків активної області та бар’єрний/SCL-шар GaAs товщиною 0,02 мкм. Під час використання наданого шаблону вам не потрібно вручну перебудовувати структуру.
3.1 Перевірка визначень матеріалів.
Натисніть «Електричні параметри», виберіть вкладку «GaInNAs (QW)» та відкрийте редактор коду (??). На знімку екрана показано, як файл матеріалу містить фізичні величини, такі як ефективна щільність станів валентної зони та електрична рухливість. Наприклад, видима низькопольова рухливість електронів становить 0.05 m² V⁻¹ s⁻¹, що еквівалентно 500 см² В⁻¹ с⁻¹. Це вхідні дані для моделі матеріалу, а не значення, отримані на основі побудованої дисперсії квантової ями.
Під час розрахунків із використанням розведених нітридів особливо важливо, щоб склад, енергії на межі зон і параметри взаємодії з азотом були взаємоузгодженими. Для першого запуску залиште значення шаблону без змін; корисний експеримент зі зміною складу ми обговоримо в кінці сторінки.
4. Які зміни відбуваються, коли ми додаємо азот?
Перш ніж запускати модель, варто зрозуміти, чому гамільтоніан має десять енергетичних зон, а не вісім. Уявіть, що край зони провідності базового напівпровідника зміщується вгору за енергетичною шкалою, коли площинний хвильовий вектор електрона збільшується. Резонансний стан, пов’язаний з азотом, має власну характерну енергію. Якщо б ці два стани не взаємодіяли, їхні енергії могли б наближатися та перетинатися. Однак у розведеному нітриді азот взаємодіє зі станами провідності базового матеріалу, змінюючи отримані енергетичні рівні.
Корисним прикладом, що ілюструє ці фізичні принципи, є матриця двостанового антиперетину зон (BAC):
\[ H_{\mathrm{BAC}}(k)= \begin{pmatrix} E_C(k) & V_N\\ V_N & E_N \end{pmatrix}, \qquad V_N=\beta_N\sqrt{x_N}. \]
Тут \(E_C(k)\) – це дисперсія зони провідності, \(E_N\) – енергія рівня, пов’язаного з азотом, \(x_N\) – концентрація азоту, а \(\beta_N\) визначає силу взаємодії. Діагоналізація цієї невеликої матриці дає дві гілки:
\[ E_{\pm}(k)=\frac{E_C(k)+E_N}{2} \pm\frac{1}{2}\sqrt{\big[E_C(k)-E_N\big]^2+4V_N^2}. \]
Вираз із квадратним коренем запобігає перетинанню з’єднаних гілок, коли \(V_N\neq0\). Зокрема, нижня гілка, що має характеристики провідності, може зміщуватися вниз відносно початкової провідної зони, що призводить до зменшення основної енергетичної щілини. Оскільки взаємодія залежить від відстані між \(E_C(k)\) і \(E_N\), дисперсія також може ставати значною мірою непараболічною.
Цей приклад із двома параметрами демонструє основну ідею; він не відображає повне розв’язання гамільтоніана квантової ями, яке розглядається в цьому навчальному посібнику. Десятизонна модель k·p зберігає ширшу основу провідності/валентності цинкової бленди, включно зі спіном, і додає компоненти, пов’язані з азотом. Потім враховується квантове обмеження вздовж напрямку росту. Для повного теоретичного обґрунтування див. розділ про десятизонну цинкову бленду.
5. Запуск моделювання.
Поверніться до вкладки «Файл» і натисніть «Запустити моделювання». Виберіть вкладку «Термінал», щоб стежити за обчисленнями (??). Програма обчислює розріджену гамільтонову функцію, визначає обмежені власні стани провідності та валентної зони та повторює обчислення для послідовності векторів хвилі в площині \(k_{\parallel}\).
На скриншоті в журналі відображено, що використовується розв’язувач KP10, виводяться обчислені значення енергетичних рівнів і повідомляється про досягнення збіжності блоку після певної кількості ітерацій. Пари близьких за значенням енергій можуть містити пов’язані зі спіном вироди; їх не слід автоматично інтерпретувати як окремі гілки антиперетину азоту. Зачекайте, поки завершиться обчислення, перш ніж переглядати вихідні файли.
6. Розуміння розрахованої зонної структури.
Отримані графіки відображають залежність енергії від хвильового вектора в площині, а не енергії як функції глибини всередині пристрою. Квантовий потенціал обмежує рух носіїв заряду вздовж напрямку росту шару, утворюючи дискретні стани; рух паралельно до шарів надає кожному обмеженому стану дисперсію \(E_n(k_{\parallel})\). У простій параболічній моделі ця дисперсія є квадратичною. Завдяки використанню пов’язаного десятисмугового гамільтоніана, можна відхилитися від параболічної форми.
6.1 Провідні стани та зменшена ширина забороненої зони
На графіку провідності (??) показано дві розраховані гілки, що починаються з різних рівнів енергії. Найнижчий стан провідності починається приблизно на рівні 0,89 еВ у вибраній системі відліку енергії для моделювання. Цей показник не слід плутати з шириною забороненої зони GaInNAs: це власна енергія саме цієї конкретної обмеженої структури. Зверніть увагу, що дві наведені на графіку криві мають різну кривизну. Це одна з характеристик, які слід вивчити під час порівняння розрахунків із використанням восьми енергетичних зон і моделі розбавленого нітриду.
Спрощені наведені вище рівняння BAC допомагають пояснити, чому показник розсіювання може змінюватися в матеріалі, що містить азот. Самі по собі вони не доводять, що наявність азоту впливає на форму будь-якої з кольорових кривих. Для цього необхідно проаналізувати відповідні власні вектори або змінювати значення \(x_N\) і спостерігати, як змінюються стани.
6.2 Валентні стани
Діаграма валентності (??) містить кілька гілок із чітко непараболічною формою. Характеристики важких і легких дірок можуть змішуватися за скінченного хвильового вектора в площині; енергії локалізації, спін-орбітальна взаємодія та зв’язок між базисними станами впливають на ці криві. Зміна напрямку кривої вгору або зміна її кривизни не обов’язково свідчать про обчислювальну помилку. І навпаки, плавна крива сама по собі не є доказом того, що параметри матеріалу правильні.
Найкраще розглядати окремі кольори як окремі гілки власних станів, а не намагатися постійно присвоювати їм позначення HH або LH для всього діапазону хвильових векторів, не перевіряючи їхню характеристику стану.
6.3 Розглянемо обидві групи разом.
Увімкнення комбінованої дисперсії (??) дозволяє розмістити електронні та валентні стани на одній енергетичній шкалі. Фундаментальний міжзонний перехід пов’язаний з їхнім роз’єднанням, а не з абсолютною енергією будь-якого з відображених станів:
\[ \hbar\omega_{nm}(k_{\parallel}) =E_{c,n}(k_{\parallel})-E_{v,m}(k_{\parallel}). \]
Цей вираз описує прямий, приблизно вертикальний оптичний перехід у площині хвильового вектора: імпульс фотона є малим у порівнянні з імпульсом електронів у кристалічній решітці. Однак спостережуваний спектр зазвичай не являє собою одну чітку лінію. Значну роль відіграє багато дозволених переходів, і їх інтенсивність та заповненість змінюються залежно від стану.
7. Від електронних станів до оптичних спектрів.
Маючи інформацію про обчислені стани, OghmaNano може будувати оптичні спектри. Важливе фізичне питання полягає не лише в тому, чи мають електрон і дірка відповідну різницю енергій, але й у тому, наскільки сильно ці два стани взаємодіють з електромагнітним полем і чи належним чином заповнені їхні початкові та кінцеві стани.
7.1 Чому деякі переходи мають більший вплив, ніж інші?
«Золоте правило Фермі» є корисним відправним пунктом для розуміння швидкостей переходу. Для переходу з початкового електронного стану \(i\) у кінцевий стан \(f\), спричиненого слабким оптичним збуренням, його схематична форма виглядає так:
\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i-\hbar\omega). \]
Матричний елемент \(\langle f|H_{\mathrm{int}}|i\rangle\) описує взаємодію станів зі світлом. Він залежить, серед іншого, від їх орбітального характеру, амплітудних функцій і поляризації світла. Дельта-функція забезпечує збереження енергії. У чисельному спектрі ідеалізований різкий перехід зображається за допомогою відповідної функції розширення лінії. Після підсумовування за дозволеними піддіапазонами та площинними хвильовими векторами результатом є спектр, а не єдина енергія переходу.
У цьому випадку розрізняють процеси поглинання та випромінювання в залежності від типу носіїв заряду. Якщо \(f_c\) позначає заповненість провідного стану, а \(f_v\) – заповненість валентного електронного стану, то характерними факторами є:
\[ \begin{aligned} \text{absorption:}\quad &(1-f_c)f_v,\\ \text{stimulated emission:}\quad &f_c(1-f_v),\\ \text{net stimulated contribution:}\quad &f_c-f_v. \end{aligned} \]
Останній вираз показує різницю між оптичними процесами, що відбуваються у напрямку вгору та вниз. Для отримання позитивного посилення необхідна достатня інверсія заселеності. Ці фактори пояснюють інтерпретацію наведених нижче графіків; докладнішу інформацію див. у розділі теорія оптичних переходів.
7.2 Вимушене випромінювання та поглинання
На двох графіках (?? і ??) показано конкуруючі оптичні процеси для однієї й тієї ж зонної структури квантової ями. Кілька кривих відображають послідовність умов, використаних у прикладі; їхні відносні значення змінюються, оскільки заповненість носіями визначає, які переходи можливі.
Спектри поширюються в область ближнього інфрачервоного випромінювання, приблизно від 1,1 до 1,5 мкм. Для орієнтиру, енергія фотона та довжина хвилі у вакуумі пов’язані наступним чином:
\[ E_{\mathrm{photon}}=\frac{hc}{\lambda} \simeq \frac{1240\ \mathrm{eV\,nm}}{\lambda\,[\mathrm{nm}]}. \]
Отже, 1300 нм відповідає приблизно 0,954 еВ. Це дає змогу провести корисну перевірку узгодженості між різницею енергій на об’єднаному графіку зон і шкалою оптичних спектрів, враховуючи обмеження, діапазон значущих переходів і обрану енергетичну відлікову точку.
7.3 Чистий приріст: коли обсяг випромінювання перевищує обсяг поглинання.
Для підсилювального середовища важливим є співвідношення між вимушеним випромінюванням і поглинанням. З урахуванням умовних позначень, що використовуються на графіку, це можна схематично представити так:
\[ g_{\mathrm{net}}(\lambda) =g_{\mathrm{stim}}(\lambda)-\alpha(\lambda). \]
Обчислений графік чистого посилення (??) містить як від’ємні, так і додатні криві. Коли поглинання переважає, \(g_{\mathrm{net}}\) набуває від’ємного значення. У міру зміни концентрації електронів і дірок, випромінювання, що виникає під дією зовнішнього впливу, може стати достатньо сильним, щоб у певних ділянках спектра спостерігалося додатне посилення в матеріалі. На графіку зображена область переходу, яка має чітку структуру, а не є ідеально гладким єдиним піком, оскільки в неї вносять вклад численні переходи між обмеженими станами.
Важливо: сам по собі позитивний матеріальний приріст не є підставою для прогнозування того, що повністю зібраний лазер працюватиме зі значеннями, вищими за порогове. Також необхідно враховувати втрати в резонаторі, оптичне обмеження, відбивальну здатність дзеркал і ін’єкцію носіїв заряду.
8. Пошук результатів моделювання
bands і gain.Після завершення обчислень відкрийте вкладку «Результати» (??). На скриншоті показано основні файли результатів, зокрема: Ec.csv (гілки провідності), Ev.csv (валентні гілки), Ec_Ev.csv (об’єднані зони), gain.csv, absorption.csv, net_gain.csv і spontaneous.csv. Додаткові результати організовано в папках bands і gain. Двічі клацніть файл CSV, щоб відобразити його графічно, або використовуйте збережені числові дані для подальшого аналізу.
Хоча в цьому навчальному посібнику демонструються процеси вимушеного випромінювання, поглинання та чистого посилення, у прикладі також описується процес спонтанного випромінювання. Спонтанне випромінювання – це радіаційна рекомбінація, яка не потребує наявності вхідного фотона, і його характерний коефіцієнт заповнення становить \(f_c(1-f_v)\). Його абсолютні спектральні коефіцієнти відрізняються від коефіцієнтів вимушеного випромінювання.
9. Спробуйте самі: дослідіть взаємодію азоту.
Рекомендований експеримент: перш ніж редагувати цей робочий приклад, збережіть його окрему копію. Потім дослідіть концентрацію азоту в описі матеріалу GaInNAs, змінюючи по черзі один параметр, при цьому зберігаючи незмінною геометрію 7-нанометрової структури.
- Зафіксуйте найнижчу власну енергію електрона в точці \(k_{\parallel}=0\).
- Змініть значення показника вмісту азоту в межах фізично обґрунтованого діапазону для обраної параметризації.
- Перерахуйте показник дисперсії теплопровідності та порівняйте форму найнижчої гілки.
- Порівняйте положення межі поглинання та основні характеристики підсилення.
Згідно з моделлю BAC, збільшення ступеня взаємодії атомів азоту може призвести до збільшення відстані між взаємопов’язаними гілками та зміни нижчого рівня енергії провідності. Однак, у повному розрахунку сплаву, склад також може впливати на інші параметри матеріалу. Тому, будь-які отримані зміни слід інтерпретувати, використовуючи фактичні функції матеріалу, які використовуються у вашій симуляції, а не припускаючи, що проста формула, що описує два стани, є повною моделлю сплаву.
✅ На що варто звернути увагу
Дослідіть, чи змінюється положення нижньої межі зони провідності та чи змінюється її кривина при зміні концентрації азоту. Порівняйте оптичні спектри за однакових умов заповнення, щоб зміни в енергіях переходу не плуталися з не пов’язаними з ними змінами в концентрації носіїв заряду. Якщо є можливість проаналізувати склад власних векторів, особливо корисно буде відстежувати зміни внеску основної зони провідності та пов’язаних з азотом компонентів у загальний стан.
Для другого експерименту зафіксуйте параметри матеріалу та змініть ширину квантової ями від 7 нм до 6 нм. Загалом, збільшення ступеня квантового обмеження призводить до підвищення найнижчої енергії обмеженого електрона та змінює дозволені енергії міжзонних переходів. Величина цього зсуву визначається за допомогою об’єднаного розрахунку, що враховує десять енергетичних зон, а не просто шляхом присвоєння єдиної постійної ефективної маси кожному стану.