Квантова яма GaN/AlGaN: навчальний посібник з використанням 8-смугової моделі Вюрцита.
1. Вступ
У цьому навчальному посібнику ми розрахуємо електронні стани та оптичні характеристики квантової ями GaN, розташованої між двома бар’єрами AlGaN, використовуючи восьмизонну модель вуртзиту k·p від OghmaNano. У прикладі використовується квантова яма GaN товщиною 10 нм і два шари AlGaN товщиною 20 нм. Спочатку ми запустимо наданий приклад, а потім проаналізуємо дисперсію провідної та валентної підзон, а також отримані оптичні спектри.
У цьому випадку важливо розрізняти структури вюрциту та цинкбленду. Обидві є напівпровідниковими кристалічними структурами, але вюрцит має переважну гексагональну вісь «c». Різна кристалічна симетрія впливає на розщеплення валентної зони, взаємодію між електронними станами та інтенсивність поляризованого світла в різних напрямках. Отже, розрахунок для цинкбленду з використанням восьми зон не можна просто застосувати до матеріалу GaN, використовуючи його параметри.
2. Відкриття прикладу структури вюрциту з вісьмома зонами.
На вкладці «Файл» натисніть «Нова симуляція». У вікні, що з’явиться, двічі клацніть на «GaAs demos» (??). Незважаючи на назву категорії, тут також містяться приклади квантових ям на основі нітриду та кремнію. У наступному вікні двічі клацніть на «GaN Wurtzite 8 band k.p» (??). Це відкриє підготовлений набір матеріалів і вибере відповідний приклад для демонстрації.
3. Огляд квантової ями GaN/AlGaN.
На головному вікні відображається тришарова структура (??). Під час фактичного обчислення квантової ями обмеження відбувається вздовж товщини цієї структури: електронні хвильові функції змінюються в різних шарах, а діаграми дисперсії описують рух паралельно до цих шарів.
Натисніть Редактор шарів у лівій панелі інструментів. Як показано на рисунку. ??у цьому прикладі використовується така геометрія:
| Шар | Товщина | Тип |
|---|---|---|
| AlGaN | 20 нм | Активний / бар’єрний |
| нітрид галію (квантова яма) | 10 нм | Квантова яма |
| AlGaN | 20 нм | Активний / бар’єрний |
Під час першого запуску залиште налаштування матеріалів, які надаються, без змін. На знімку екрана відображено товщину шарів, але не показано молярну частку алюмінію, конфігурацію деформації або параметри поляризації; ці параметри слід перевірити в налаштуваннях матеріалів прикладу, перш ніж використовувати його для моделювання конкретного експериментального зразка.
4. Навіщо використовувати восьмизонний гамільтоніан Вюрцита?
Проста параболічна модель приписує кожному носію заряду ефективну масу та передбачає, що його енергія змінюється приблизно пропорційно квадрату хвильового вектора в площині. Це корисно поблизу екстремальної точки зони, але не дозволяє описати, як різні валентні стани взаємодіють один з одним зі збільшенням хвильового вектора. У матеріалах типу вюрциту гексагональне кристалічне середовище також відрізняє рух і поляризацію світла вздовж осі «c» від тих, що спостерігаються в перпендикулярній площині.
Підхід із використанням восьми енергетичних зон зберігає одну орбіталь, що нагадує провідниковий тип, і три орбіталі, що нагадують валентний тип, кожна з яких має дві спінові компоненти. У загальному вигляді, власна функція має такий вигляд:
\[ \Psi_{n,\mathbf{k}_{\parallel}}(\mathbf{r})= e^{i\mathbf{k}_{\parallel}\cdot\mathbf{r}_{\parallel}} \sum_{\alpha=1}^{8}F_{n\alpha}(z)u_{\alpha}(\mathbf{r}), \]
де функції \(F_{n\alpha}(z)\) описують обмеження в межах потенціальної ями, а \(u_\alpha\) – це вісім базових блохівських станів. Отже, певний обмежений стан може мати внесок від кількох валентних зон; саме тому опис кожної кольорової кривої за допомогою єдиної фіксованої мітки «важка дірка» або «легка дірка» може вводити в оману, якщо відійти від краю зони.
Впорядкування валентної зони в структурі вюрциту залежить від взаємодії кристалічного поля та спін-орбітальної взаємодії. У компактній формі запису обчислення вирішує задачу:
\[ H_{8\times8}\!\left(k_x,k_y,-i\frac{\partial}{\partial z}\right) \mathbf{F}_n(z)=E_n(\mathbf{k}_{\parallel})\,\mathbf{F}_n(z). \]
Зверніть увагу, що вектор хвилі в площині зберігається у явному вигляді, тоді як вектор хвилі, що визначає напрямок росту, замінюється диференціальним оператором. Повторюючи розв’язання цієї задачі на власні значення для різних значень \(k_{\parallel}\), отримуємо графіки дисперсії підзон, наведені нижче. Більш детальне обговорення основних принципів, членів кристалічного поля та матеріальних коефіцієнтів наведено в розділі теорія Вурциту k·p.
5. Запустіть симуляцію.
Поверніться до вкладки «Файл» і натисніть «Запустити моделювання». Відкрийте вкладку «Термінал», щоб відстежувати хід виконання. У ?? термінал ідентифікує розв’язувач WZ KP8, повідомляє про формування розрідженої матриці, виводить інформацію про збіжність і переходить до наступних відібраних хвильових векторів. Він розв’язує рівняння для електронних і валентних станів окремо в кожній точці.
Оскільки це багатокомпонентна задача, що описує хвильову функцію, вона є складнішою, ніж розв’язання незалежної скалярної параболічної задачі для кожної смуги. Зачекайте, поки не завершиться обчислення власних значень і наступні оптичні розрахунки, перш ніж перевіряти отримані файли.
5.1 Перевірка інтенсивності оптичних переходів.
На пізніших етапах обчислення, термінал відображає значення оптичних матричних елементів (??). Для звичайної структури вюрциту, орієнтованої за площиною «c», позначення TE стосується оптичного електричного поля, перпендикулярного до осі «c», тоді як TM стосується його компоненти, паралельної цій осі. Не обов’язково, щоб ці поляризації однаково сильно взаємодіяли з певним електронним переходом.
Корисний спосіб уявити оптичну інтенсивність – це квадрат елемента матриці переходу:
\[ M_{cv}^{(\mathbf{e})}(\mathbf{k}_{\parallel})= \left\langle\Psi_{c,\mathbf{k}_{\parallel}}\middle| \mathbf{e}\!\cdot\!\mathbf{p}\middle| \Psi_{v,\mathbf{k}_{\parallel}}\right\rangle, \qquad S_{cv}^{(\mathbf{e})}\propto\left|M_{cv}^{(\mathbf{e})}\right|^2. \]
Тут \(\mathbf{e}\) визначає поляризацію світла, а \(\mathbf{p}\) – оператор імпульсу. Певний стан може існувати в електронній зонній структурі, але вносити незначний внесок у певну оптичну поляризацію, якщо його матричний елемент малий. Відносні значення TE/TM на виводі, таким чином, надають додаткову фізичну інформацію, окрім лише положення енергетичних рівнів.
6. Розуміння розрахованих електронних зон.
Горизонтальна вісь кожного графіку показує вектор хвилі в площині \(k_{\parallel}\), а не положення всередині квантової ями. Вертикальна вісь відображає енергію обмеженої підсмуги. У точці \(k_{\parallel}=0\) кожна крива починається з одного з дискретних рівнів енергії обмеження. Рух праворуч показує, як однакові електронні стани розсіюються, коли носій рухається паралельно до шарів.
6.1 Енергетичні стани зони провідності
Відкрийте вихід провідної зони та проаналізуйте дисперсію в ??. Спостерігаються декілька дискретних рівнів, починаючи з різних енергій поблизу краю зони GaN. При невеликому хвильовому векторі корисним наближенням для підзони провідності є
\[ E_{c,n}(k_{\parallel})\simeq E_{c,n}(0) +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^2}{2m_{e,\parallel}^{*}}. \]
Термін \(E_{c,n}(0)\) містить енергію обмеження, тоді як \(m_{e,\parallel}^{*}\) описує реакцію носія на рух у площині. Цей зв’язок допомагає пояснити приблизно зростаючі криві, хоча повний розрахунок із використанням восьми зон зберігає міжзонну взаємодію, а не нав’язує фіксовану параболічну форму.
6.2 Електронні стани валентної зони
Діаграма валентної зони (??) має складнішу структуру. Її верхня гілка спочатку підіймається вгору від точки \(k_{\parallel}=0\), а потім опускається вниз; декілька нижніх гілок мають помітно різні кривизни. Такі форми можливі в поєднаній моделі валентної зони вюрциту, де розщеплення кристалічного поля, спін-орбітальна взаємодія, обмеження та змішування зон діють разом.
Цей графік не слід інтерпретувати як доказ того, що кожна кольорова крива має фіксовану ідентичність у вигляді A-, B- або C-діапазону на всьому діапазоні векторів хвиль. Щоб зробити остаточний висновок, слід проаналізувати внесок основних компонент власних векторів. Аналогічно, незвичайні екстремальні значення, відмінні від центру, варто порівняти з обраними матеріальними та деформаційними параметрами, якщо модель використовується для кількісного аналізу.
7. Оптичні переходи, вимушена емісія та поглинання.
Електронні зони визначають енергії можливих оптичних переходів, але інтенсивність переходів також залежить від хвильових функцій електронів і дірок, поляризації та заповненості зон носіями заряду. При заданому векторі хвилі в площині, енергія фотона для вертикального переходу становить
\[ \hbar\omega=E_{c,n}(\mathbf{k}_{\parallel}) -E_{v,m}(\mathbf{k}_{\parallel}). \]
Золоте правило Фермі пояснює, чому оптичні матричні елементи, які відображаються на кінцевому пристрої, мають значення. У спрощеному вигляді швидкість переходу визначається як:
\[ W_{v\rightarrow c}^{(\mathbf{e})}= \frac{2\pi}{\hbar}\left|H_{cv}^{\prime(\mathbf{e})}\right|^2 \delta\!\left(E_c-E_v-\hbar\omega\right). \]
Елемент матриці збурень \(H'_{cv}\) залежить від поляризації світла та залучених станів. Дельта-функція забезпечує збереження енергії; під час побудови практичного спектра вкладаються внески дозволених переходів, які підсумовуються для вибраних станів і розширюються. Фактори заповнення носіїв потім визначають, чи переважає поглинання чи вимушена емісія на певній довжині хвилі. Зручним умовним числовим коефіцієнтом є \(f_c-f_v\), де \(f_c\) і \(f_v\) – це, відповідно, фактори заповнення електронів у провідності та валентних зонах.
Оскільки енергетична зона нітриду галію має велику ширину, його розраховані спектри проявляються в ближній ультрафіолетовій області, переважно в діапазоні 330–370 нм, як показано в наведеному прикладі. Довжина хвилі та енергія фотона пов’язані між собою формулою \(E_{\gamma}=hc/\lambda\).
7.1 Вимушене випромінювання та сукупний коефіцієнт підсилення
Графік вимушеного випромінювання (??) містить набір спектрів для різних умов роботи. Обчислення чистого коефіцієнта підсилення (??) враховує конкуренцію між випромінюванням і поглинанням. Позитивне значення коефіцієнта підсилення матеріалу вказує на підсилення в межах цієї електронної моделі, але саме по собі не доводить, що досягнуто порогового значення для повної лазерної резонаторної камери: також необхідно враховувати коефіцієнт локалізації та втрати резонатора.
7.2 Всмоктування
Результати поглинання показано на ??. Їхні границі та спектральні характеристики визначаються відстанню між заповненими валентними та вільними провідними станами, причому враховується їхній оптичний матричний елемент. У структурі типу «вурцит» відповідні спектри TE та TM можуть відрізнятися, оскільки орбітальний склад стану визначає, наскільки сильно він пов’язаний з кожною поляризацією.
Особливості, які спостерігаються на цих спектрах, є результатом налаштованої моделі та розширення. Їх не слід автоматично ототожнювати з певними екзитонними піками: обчислення міжзонних переходів для окремих частинок за допомогою методу k·p саме по собі не є повним описом кулонівсько-зв’язаних екзитонів, що утворюються внаслідок взаємодії електронів і дірок.
8. Спонтанне випромінювання
На відміну від вимушеного випромінювання, спонтанне випромінювання відбувається без участі зовнішнього фотона, який ініціює перехід. Воно залежить від наявності електрона в зоні провідності та вільної вакансії у валентній зоні. Отже, його електронний коефіцієнт заповнення пропорційний до
\[ R_{\mathrm{sp}}(\omega)\ \propto\ \sum_{c,v,\mathbf{k}_{\parallel}} \left|M_{cv}(\mathbf{k}_{\parallel})\right|^2 f_c(1-f_v)\,L\!\left(E_c-E_v-\hbar\omega\right), \]
де \(L\) позначає обрану величину спектрального розширення, а пропорційність не враховує фотонні префактори. Результат представлено на графіку ??. Логарифмічна шкала дає змогу порівнювати спектри, які охоплюють багато порядків величин. Зверніть увагу на оптичні характеристики в області коротких хвиль спектра та на зміну загальної величини в різних умовах, представлених на графіку.
9. Спробуйте самі.
💡 Два корисні додаткові обчислення:
- Змініть ширину квантової ями GaN. Спробуйте зменшити центральний шар до 10 нм до 7 нм, залишивши бар’єри без змін. Перерахуйте власні стани та порівняйте найнижчі рівні провідності та енергії оптичних переходів. Більш сильне обмеження, як правило, збільшить відстань між обмеженими рівнями, хоча детальна реакція валентної зони є багатосмуговою.
- Порівняйте інтенсивність сигналів TE та TM. Використовуйте оптичні характеристики, отримані від термінала, щоб визначити переходи, які значною мірою сприяють певній поляризації. Зверніть увагу на те, як це пов’язано з характеристиками валентного стану, замість того, щоб припускати, що всі переходи однаково впливають на спектр.
✅ На що слід звернути увагу?
Вужча потенціальна яма зазвичай збільшує енергію локалізації електронів і змінює рівні дірок, що призводить до зміни доступних енергій міжзонних переходів. Відношення TE/TM може значно відрізнятися для різних пар станів, оскільки вони досліджують різні орбітальні компоненти хвильових функцій вюрциту. Для кількісного дослідження матеріалу також слід вивчити вплив складу сплаву, деформації та поляризаційних полів.