Розуміння 8-смугової моделі Вурциту k·p

Чому нам потрібна інша модель для вюрциту?

У навчальний матеріал про структуру цинкбленду з вісьмома зонамими дозволили станам провідності та валентності взаємодіяти, замість того щоб розглядати кожен із них як незалежну параболу. Тепер ми хочемо застосувати такий самий підхід до матеріалів, як-от GaN, AlN, InN та їхніх сплавів, які широко використовуються в світлодіодах і лазерах.

Ці матеріали зазвичай мають кристалічну структуру вюрциту. На відміну від кубічного цинкбленду, його гексагональна симетрія визначає один напрямок: вісь «c» кристала. На цій сторінці ми вважатимемо, що це напрямок \(z\), при цьому \(x\) і \(y\) лежать у перпендикулярній базовій площині. Ця відмінність має значення, оскільки електронна енергія, змішування атомних орбіталей і взаємодія зі світлом можуть залежати від напрямку.

Спочатку ми розглянемо фізичну причину появи кожного нового поняття, а потім покажемо, як восьмизонний гамільтоніан описує його. Отриманий результат матиме прямий зв’язок із підзонами квантової ями та поляризацією випромінюваного світла.

Вісь «c» та розщеплення кристалічного поля

Розглянемо три p-подібні орбітальні стани, які використовуються для опису верхніх валентних зон. Ми позначимо їх як \(X\), \(Y\) і \(Z\) відповідно до їхніх орбітальних характеристик. Це електронні базові функції, а не три різні точки в пристрої. У структурі вюрциту стани \(X\) і \(Y\) пов’язані симетрією, тоді як стан \(Z\) відрізняється за віссю c.

Це дає змогу кристалічному потенціалу зміщувати енергію стану, подібного до \(Z\), відносно станів, подібних до \(X,Y\), навіть до того, як враховується спін. Цей ефект називається розщепленням кристалічного поля, що ілюструється на ??. Подальша взаємодія спіну та орбіти призводить до змішування орбітальних і спінових характеристик і утворює три валентні дублети, які часто називають зонами A, B і C.

Важливими є їхні орбітальні характеристики. Енергетична зона, яка переважно має площинну \(X,Y\) структуру, зазвичай по-іншому взаємодіє з поляризованим світлом, ніж зона зі значною аксіальною \(Z\) структурою. Саме тому розщеплення кристалічного поля – це не просто незначна поправка до ширини забороненої зони; воно може впливати на оптичні властивості квантових ям нітридів.

Звідки беруться ці вісім смуг?

Як і у випадку з цинкблендом, ми зберігаємо одну провідну орбіталь, яка переважно має s-подібний характер, \(S\), і три валентні орбіталі, які переважно мають p-подібний характер, \(X\), \(Y\) і \(Z\). Кожна орбіталь має дві спінові компоненти, що дає вісім базових станів:

\[ \begin{aligned} \{&|S\uparrow\rangle,\ |S\downarrow\rangle,\\ &|X\uparrow\rangle,\ |Y\uparrow\rangle,\ |Z\uparrow\rangle,\\ &|X\downarrow\rangle,\ |Y\downarrow\rangle,\ |Z\downarrow\rangle\}. \end{aligned} \]

Замість того, щоб розв’язувати вісім незалежних рівнянь, ми об’єднуємо ці стани в єдину гамільтонову матрицю. Її діагональні елементи описують енергії, пов’язані з окремими базисними станами, а недіагональні елементи описують їхню взаємодію. Корисно розділити матрицю на блоки, що відповідають провідності, валентності та зв’язку:

\[ H=\begin{pmatrix} H_{cc}&H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger}&H_{vv} \end{pmatrix}. \]

Блок провідності містить два спінові стани, валентний блок – шість, і \(H_{cv}\) поєднує їх. Символ \(\dagger\) позначає ермітове спряження. Після того, як ми діагоналізуємо цю матрицю, ми отримуємо значення енергії та власні вектори, компоненти яких, що відповідають за провідність, валентність, орбіталь і спін, можуть взаємодіяти між собою.

Чому існує дві маси носіїв заряду в зоні провідності?

У навчальному посібнику про параболічну зону, кривизна зони контролювалася за допомогою ефективної маси. Структура вюрциту дозволяє нам розрізняти рух вздовж осі «c» та рух у базовій площині. Використовуючи \(k_{\parallel}^2=k_x^2+k_y^2\), можна записати просте спрямоване рівняння дисперсії:

\[ E_c(\mathbf{k})=E_c+ \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^2}{2m_{e,\parallel}^{*}} +\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m_{e,z}^{*}}. \]

Отже, електрон може отримувати енергію з різною швидкістю, залежно від того, чи його рух відбувається паралельно або перпендикулярно до шарів. Це особливо важливо для квантової ями, орієнтованої за площиною «c», де локалізація відбувається вздовж \(z\), але субдіапазони відображаються на графіку відносно \(k_{\parallel}\).

У рамках багатосмугового гамільтоніана OghmaNano використовує два параметри провідності: \(S_1\) для осі «c» і \(S_2\) для базової площини:

\[ H_{cc}=E_c+A_0(S_2k_{\parallel}^2+S_1k_z^2), \qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}. \]

Ці параметри описують залишкову кривизну зони провідності. Кінцеві маси на межі зони також залежать від взаємодії зі валентними станами, які ми явно враховуємо нижче. Відповідно, параметри необхідно вибирати таким чином, щоб однакова міжзонна складова не враховувалася двічі.

Чому для вюрциту потрібно два параметри Кейна?

У вступ до теорії К·Пми виявили елементи матриці імпульсу, які пов’язують різні орбітальні стани. Наприклад, стан провідності, що нагадує s-стан, взаємодіє з трьома валентними станами, що нагадують p-стани. Інтенсивність цих взаємодій відома як Параметри Кейна.

Для вюрциту необхідні різні значення коефіцієнтів зв’язку для напрямку осі «c» та для базової площини:

• \(P_2\): взаємодія між \(S\) та площинними \(X,Y\) орбіталями через \(k_x,k_y\).
• \(P_1\): взаємодія між \(S\) та орбіталлю вздовж осі c \(Z\) через \(k_z\).

У рамках прийнятої тут системи позначень репрезентативні гамільтонові елементи мають такий вигляд:

\[ \begin{aligned} H_{SX}&=iP_2k_x,\\ H_{SY}&=iP_2k_y,\\ H_{SZ}&=iP_1k_z. \end{aligned} \]

Їх ермітові спряження з’являються на іншій стороні матриці. Параметри часто визначаються за допомогою енергій Кейна:

\[ P_1=\sqrt{A_0E_{p1}},\qquad P_2=\sqrt{A_0E_{p2}}. \]

Наявність двох зв’язків означає, що електронні стани по-різному реагують на взаємодії вздовж осі «c» та перпендикулярно до неї. Це також надасть нам чітке пояснення правил оптичного відбору для TE- та TM-поляризацій, яке ми розглянемо пізніше.

Навіщо нам потрібно шість валентних параметрів?

Зона провідності починається з єдиної s-подібної орбіталі для кожного спіну. Валентна зона містить три p-подібні орбіталі для кожного спіну, які тісно розташовані за енергією. У міру зміни хвильового вектора ці стани можуть змішуватися, замість того щоб слідувати трьом незалежним параболам.

Модель вюрциту описує спрямовану кривизну та змішування цих станів, використовуючи шість загальновідомих параметрів, позначених як \(A_1\) до \(A_6\), які називають параметрами Рашби–Шеки–Пікуса. Деякі з них визначають, як змінюються енергії зон під час руху вздовж або поперек осі c, інші контролюють взаємодію між орбітальними компонентами.

Тимчасово відклавши поняття спіну та інші терміни, можна сказати, що декартовий валентний блок, який залежить від хвильового вектора, має таку схематичну форму:

\[ H_v^{\mathrm{kin}}= \begin{pmatrix} H_{XX}&N_1k_xk_y&N_2k_xk_z\\ N_1k_xk_y&H_{YY}&N_2k_yk_z\\ N_2k_xk_z&N_2k_yk_z&H_{ZZ} \end{pmatrix}. \]

Діагональні елементи переважно описують характеристики \(X\), \(Y\) і \(Z\). Недіагональні елементи поєднують їх, коли присутні відповідні компоненти хвильового вектора. Це змішування є однією з причин, чому обчислені валентні підзони, як правило, не можна замінити трьома простими параболами.

Як OghmaNano використовує параметри A1–A6.

Наступні визначення описують умовне позначення декартового коефіцієнта, яке використовується в наявній моделі вюрциту OghmaNano. Спочатку ми визначаємо:

\[ \begin{aligned} L_1&=A_0(A_5+A_4+A_2-1),\\ L_2&=A_0(A_1-1),\\ M_1&=A_0(A_4+A_2-A_5-1),\\ M_2&=A_0(A_1+A_3-1),\\ M_3&=A_0(A_2-1),\\ N_1&=2A_0A_5,\\ N_2&=\sqrt{2}\,A_0A_6. \end{aligned} \]

Якщо внесок вільних електронів \(A_0k^2\) відображено окремо, то діагональні елементи валентної матриці мають такі значення:

\[ \begin{aligned} H_{XX}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+L_1k_x^2+M_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{YY}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_1k_x^2+L_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{ZZ}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_3k_{\parallel}^2+L_2k_z^2. \end{aligned} \]

Недіагональні елементи – це \(H_{XY}=N_1k_xk_y\), \(H_{XZ}=N_2k_xk_z\) і \(H_{YZ}=N_2k_yk_z\), при цьому маються на увазі їхні ермітові відповідники. Зразок \(E_{v,\mathrm{av}}\) обирається відповідно до кристалічного поля та термів спін-орбітальної взаємодії. У різних публікаціях використовуються різні позначення параметрів, тому табличні значення не слід переносити між різними системами позначень гамільтоніану без перевірки того, чи враховано в них внесок вільних електронів і міжзонних переходів.

Додавання спіну: три валентні дублети

Тепер ми можемо повернутися до діаграми кристалічного поля. У системі позначень OghmaNano відповідні параметри розщеплення позначаються як \(\delta_1\), \(\delta_2\) і \(\delta_3\). Член кристалічного поля \(\delta_1\) розрізняє базові орбіталі від орбіталі, орієнтованої вздовж осі c. Решта два параметри описують спін-орбітальну взаємодію, яка поєднує орбітальні та спінові характеристики.

Діагоналізація валентного блоку в центрі зони призводить до утворення трьох тісно розташованих, двократно вироджених валентних рівнів (A, B і C). Їхня послідовність визначається параметрами матеріалу, а не припущенням, що певна орбіталь завжди має бути найвищою. OghmaNano встановлює свою опорну валентну енергію таким чином, щоб найвищий отриманий валентний рівень у центрі зони відповідав обраній межі валентної зони \(E_v\).

Це має значення з точки зору оптики: характер найвищого валентного рівня визначає, яка поляризація може найсильніше взаємодіяти з міжзонними переходами з найнижчою енергією.

Як деформація впливає на енергетичні зони в структурі вюрциту?

Зазвичай, шар квантової ями вирощують на іншій напівпровідниковій підкладці. Якщо матеріали мають різні природні параметри кристалічної решітки, то тонкий шар може бути змушений адаптуватися до міжплощинної відстані своїх сусідів. Це створює напруження, яке зсуває та змішує електронні стани.

У структурі, що містить площину «c», компоненти деформації в цій площині можуть бути схожими між собою, тоді як деформація вздовж осі «c» відрізняється. Тому для вюрциту необхідні потенціали деформації, що залежать від напрямку. OghmaNano використовує \(a_1,a_2\) для внеску зони провідності та \(D_1\)–\(D_6\) для матриці деформації валентної зони.

Відповідно до загальноприйнятої практики оформлення технічної документації, зміщення провідності записується так:

\[ \Delta E_c=a_z\varepsilon_{zz} +a_{xy}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}), \quad a_z=a_1+D_1,\quad a_{xy}=a_2+D_2. \]

Коефіцієнти валентної деформації утворюються шляхом комбінування \(D_i\), подібно до спрямованих кінетичних коефіцієнтів:

\[ \begin{aligned} l_1&=D_5+D_4+D_2,&l_2&=D_1,\\ m_1&=D_4+D_2-D_5,&m_2&=D_1+D_3,\\ m_3&=D_2. \end{aligned} \]

Для досягнення ідеального псевдоморфного росту на площині «c» без деформації зсуву, члени, пропорційні компонентам деформації зсуву, зникають. Однак вони залишаються необхідними для більш загальних орієнтацій росту та полів деформації. Важливим результатом є те, що деформація може змінювати ширину забороненої зони та перевпорядковувати верхні валентні стани, що має наслідки для оптичної поляризації.

Від орбітальних характеристик до оптичних переходів типу TE та TM.

Цей. оптичні переходи інструкція пояснив, як різниця енергій між провідним і валентним станами визначає енергію фотона. Однак лише закон збереження енергії не дає нам відповіді на питання, наскільки сильно відбувається взаємодія між переходом і світлом. Важливе значення має також орієнтація електричного поля світла.

Для стандартної схеми квантової ями, орієнтованої вздовж осі «c», ми розрізняємо:

• TE-поляризація: електричне поле всередині базової площини, перпендикулярне до осі c. Вона в основному досліджує валентний характер \(X,Y\) за допомогою зв’язку Кейна \(P_2\).
• TM-поляризація: електричне поле, спрямоване вздовж осі «c». Вона досліджує валентний характер \(Z\) за допомогою \(P_1\).

Для напрямку поляризації світла \(\mathbf e\) оптичний перехідний момент включає елемент матриці імпульсу:

\[ \mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)= \langle\Psi_c|\mathbf e\cdot\mathbf p|\Psi_v\rangle, \qquad \text{transition strength}\propto |\mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)|^2. \]

Матричний елемент включає як відповідний спрямований зв’язок Кейна, так і перекриття амплітудних компонент електронів і дірок. Це пояснює, чому одна й та сама квантова яма може створювати різні оптичні характеристики для поперечної (TE) та поперечно-магнітної (TM) поляризацій, навіть для переходів між однаковими енергетичними рівнями.

Тепер ми можемо зрозуміти, чому спочатку було важливо ввести поняття розщеплення кристалічного поля, спін-орбітальної взаємодії та деформації: вони визначають орбітальну структуру валентних станів, що, своєю чергою, визначає, як ці стани взаємодіють із поляризованим світлом різної поляризації. Це важливо при моделюванні нітридних світлодіодів і лазерів. Отримані TE- і TM-поляризовані переходи можна досліджувати в... Навчальний посібник з теорії квантових ям на основі нітриду галію (GaN) та нітриду алюмінію-галію (AlGaN) з використанням восьмизонної моделі вюрциту..

Як застосовується ця модель до квантової ями?

Наразі ми використовували компоненти хвильового вектора \(k_x,k_y,k_z\) для опису зонних структур. У квантовій ямі, яка утворена вздовж осі «c», електрони та дірки локалізовані вздовж \(z\), але все ще можуть рухатися в площині \(x\)-\(y\). Як і в моделі цинкбленду, хвильовий вектор, що визначає напрямок росту, стає диференціальним оператором:

\[ k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}. \]

Таким чином, восьмизонна гамільтонова функція розв’язується для восьми взаємопов’язаних компонент амплітуди по всій структурі шарів, при заданих вибраних площинних хвильових векторах. Потенціал, параметри ефективної маси, зв’язок Кейна та деформація можуть змінюватися між матеріалами, що утворюють потенційну яму та потенційний бар’єр. Коефіцієнти, що залежать від положення, та похідні члени потребують узгодженої дискретизації гермітового інтерфейсу.

На сітці з \(N_z\) точками в кожній точці міститься вісім компонент, що утворює пов’язану чисельну задачу з \(8N_z\) невідомими. Її власні значення визначають обмежені стани, а власні вектори описують просторові, орбітальні та спінові характеристики цих станів. Повторення розв’язку для різних площинних хвильових векторів дає електронні піддіапазони. Їх потім використовують для обчислення залежності від поляризації оптичних переходів.

Що нового привнесла восьмиканальна модель?

Параболічна модель є корисним відправним пунктом для дослідження квантового обмеження, але вона не може описати взаємодію між близько розташованими валентними станами або повну анізотропну оптичну характеристику вюрциту. Восьмизонна модель зберігає загальну картину обмежених станів і підзон, додаючи при цьому фізичні характеристики, необхідні для опису гексагональної кристалічної структури.