Квантові ями та обмеження носіїв заряду

Що таке квантова яма?

Квантова яма — це область простору, де потенційна енергія знижується порівняно з енергією навколишнього середовища, утворюючи енергетичний бар’єр, який може утримувати частинку, наприклад, електрон. Коли ширина ями стає порівнянною з довжиною хвилі електрона, квантово-механічні ефекти стають особливо важливими.

Типова квантова яма зображена на ??. У напівпровідникових пристроях подібні структури можна створити шляхом нанесення тонкого шару одного матеріалу між двома матеріалами з різними межами електронних зон. Типовим прикладом є квантова яма з арсеніду галію (GaAs), оточена бар’єрами з алюмінію-галію-арсеніду (AlGaAs).

Опис квантової ями за допомогою рівняння Шредінгера

Коли ширина потенціальної ями стає порівнянною з довжиною хвилі електрона, ми більше не можемо адекватно описати електрон як класичну частинку з чітко визначеним положенням. Натомість, ми повинні описати його хвилеподібну поведінку та ймовірність знаходження електрона в різних точках всередині ями.

Для цього ми розв’язуємо рівняння Шредінгера, яке не містить часу:

\[ \hat H\psi(x)=E\psi(x). \]

Тут \(\psi(x)\) – хвильова функція електрона, \(E\) – його енергія, а \(\hat H\) – гамільтоніан, який описує кінетичну та потенціальну енергію електрона. Імовірність знаходження електрона у певній точці простору визначається виразом \(|\psi(x)|^2\).

Для простої одновимірної квантової ями рівняння Шредінгера можна записати так:

\[ \boxed{ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x) =E\psi(x). } \]

Хоча на перший погляд ця формула може здаватися складною, кожен її окремий член має чітке фізичне значення:

• \(V(x)\) описує профіль потенціальної енергії потенціальної ями, включно з навколишніми бар’єрами.
• \(\psi(x)\) — це хвильова функція, яка описує електрон. Квадрат її модуля дає значення щільності ймовірності знаходження електрона в точці \(x\).
• \(E\) – це енергія, пов’язана з конкретним квантовим станом.
• \(m^*\) – це ефективна маса електрона, яка показує, як він реагує на сили всередині напівпровідника. Перший член виразу відображає його кінетичну енергію.

Задавши потенційний профіль \(V(x)\) і розв’язавши це рівняння, ми отримуємо допустимі енергії електронів і відповідні хвильові функції. Це саме ті результати, які показано в ??: горизонтальні енергетичні рівні та кольорові хвильові функції, що відповідають кожному стану. У наступному розділі ми розглянемо, як ці розв’язки можна обчислити для простої квантової ями.

Яке практичне значення цієї формули?

Інтуїтивно зрозумілий спосіб осмислення розв’язків рівняння Шредінгера полягає в тому, щоб розглянути струну скрипки, закріплену з обох кінців. Таку струну можна змусити коливатися на певній дискретній частоті. Основна гармоніка має один пік, тоді як вищі гармоніки мають додаткові піки та вузли. Кожна гармоніка має власну характерну частоту.

Аналогічний принцип застосовується до електрона, обмеженого в квантовій ямі. Розміри ями обмежують електрон певним набором дозволених хвильових функцій, кожна з яких пов’язана з конкретною енергією. Так само, як струна скрипки має основну гармоніку та вищі гармоніки, квантова яма має найнижчий енергетичний стан і серію вищих енергетичних станів.

Перші три з цих станів зображено на ??. Пунктирні горизонтальні лінії показують допустимі значення енергії \(E_1\), \(E_2\) і \(E_3\), а кольорові криві відображають відповідні хвильові функції. Стан з найнижчою енергією має найпростішу форму, тоді як стани з вищою енергією демонструють дедалі складніші хвильові структури.

Але що саме ці хвильові функції нам показують? На відміну від зміщення вібруючої струни скрипки, хвильова функція електрона має ймовірнісну інтерпретацію. Квадрат її модуля дає ймовірність знаходження електрона у певній точці простору:

\[ \boxed{ P(x)=|\psi(x)|^2 } \]

Наприклад, електрон, який перебуває в стані з найнижчим рівнем енергії, найімовірніше, буде знаходитися поблизу центру потенціальної ями. Стани з вищим рівнем енергії мають складніші розподіли ймовірностей, з кількома піками, розділеними вузлами, де ймовірність падає до нуля. Зверніть увагу також, що хвильові функції дещо поширюються на навколишні бар’єри, що означає наявність невеликої ймовірності знайти електрон за межами самої потенціальної ями.

Отже, розв’язуючи рівняння Шредінгера, ми отримуємо дві важливі відповіді: які енергетичні рівні може займати електрон і який розподіл ймовірностей пов’язаний з кожним із цих рівнів.

Просте рішення: нескінченна квантова яма

Спробуймо зараз обчислити хвильові функції квантової ями. Щоб спростити математичні обчислення, уявимо, що бар’єри, які оточують яму, мають нескінченну висоту. Це означає, що електрон не може перебувати за межами ями, і його хвильова функція має дорівнювати нулю на обох краях.

Розглянемо потенціальну яму шириною \(L\), яка простягається від точки \(x=0\) до точки \(x=L\). Всередині ями ми встановлюємо значення потенціальної енергії рівним нулю, тобто \(V(x)=0\). Почнемо з рівняння Шредінгера:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x) =E\psi(x), \]

ми можемо вилучити член, що відповідає потенційній енергії, і залишиться:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} =E\psi(x). \]

Зараз нам потрібно знайти хвильову функцію, яка задовольнятиме це рівняння. Логічним буде почати з припущення про синусоїдальний розв’язок:

\[ \psi(x)=A\sin(kx). \]

Тут \(A\) визначає амплітуду хвильової функції, а \(k\) описує, як швидко вона коливається в залежності від положення. Більше значення \(k\) означає меншу довжину хвилі, тому на заданій відстані поміщається більше коливань.

Ми можемо перевірити, чи є це правильним розв’язком, здійснивши подвійне диференціювання:

\[ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} =-k^2A\sin(kx) =-k^2\psi(x). \]

Зверніть увагу, що подвійне диференціювання нашої гіпотетичної функції просто дає початкову функцію, помножену на константу. Це саме та математична властивість, яка необхідна для рівняння Шредінгера всередині потенціальної ями.

Підставивши наше припущення в рівняння, ми підтверджуємо, що синусоїдальна хвильова функція є правильним розв’язком, за умови, що пов’язана з нею енергія задовольняє наступній умові:

\[ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}. \]

Ми незабаром повернемося до обговорення енергії. Але спочатку варто розглянути більш цікаве питання: яке з цих синусоїдальних рішень може фактично існувати всередині нашої квантової ями?

Які довжини хвиль можуть існувати всередині потенціальної ями?

Хоча ми знайшли синусоїдальний розв’язок рівняння Шредінгера, не кожен синусоїдальний сигнал може фізично існувати всередині потенціальної ями. Пам’ятайте, що наші бар’єри мають нескінченну висоту, тому хвильова функція має дорівнювати нулю на обох краях.

Це дуже схоже на поведінку струни скрипки. Як показано на ??, струна, закріплена з обох кінців, може коливатися на певних гармонічних частотах. Основна гармоніка має один пік, друга – два піки, третя – три піки і так далі. Кожна гармоніка відповідає вимозі, згідно з якою зміщення струни дорівнює нулю в обох кінцях.

Абсолютно такий самий математичний критерій застосовується до нашої нескінченної квантової ями. Допустимі хвильові функції повинні відповідати межам між \(x=0\) і \(x=L\) і мати значення, що дорівнює нулю, на кожній межі.

Наша гіпотетична синусоїдальна хвильова функція вже задовольняє першу граничну умову, оскільки \(\sin(0)=0\). Щоб задовольнити другу границю, нам потрібно:

\[ \psi(L)=A\sin(kL)=0. \]

Синусоїдальна функція дорівнює нулю, коли її аргумент є цілим кратним \(\pi\). Отже, дозволені лише такі значення:

\[ kL=n\pi, \qquad n=1,2,3,\ldots \]

Якщо перегрупувати ці елементи, отримаємо:

\[ \boxed{ k_n=\frac{n\pi}{L}, \qquad n=1,2,3,\ldots } \]

Отже, ми відкрили щось важливе: хоча рівняння Шредінгера допускає синусоїдальні розв’язки, межі потенціальної ями обмежують їх певним набором довжин хвиль. Ці довжини хвиль безпосередньо аналогічні гармонікам струни нашого скрипкового інструменту.

Ми можемо записати відповідні хвильові функції у такому вигляді:

\[ \boxed{ \psi_n(x)= \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad 0 \lt x \lt L } \]

Коефіцієнт перед функцією синуса просто нормалізує хвильову функцію, забезпечуючи, щоб загальна ймовірність знаходження електрона в будь-якій точці всередині потенціальної ями дорівнювала одиниці. Кожне значення \(n\) дає нам різний допустимий розподіл ймовірностей.

Обчислення рівнів енергії

Тепер, коли ми розуміємо, які хвильові функції можуть існувати всередині квантової ями, ми можемо повернутися до їхніх енергій.

Існує корисний зв’язок із нашою аналогією щодо скрипки. Вищі гармоніки струни скрипки мають дедалі вищі частоти. Аналогічно, вищі стани квантової ями відповідають дедалі вищим енергіям електронів.

Ми можемо обчислити ці енергії, використовуючи співвідношення, отримане раніше, коли ми підставили наше синусоїдальне розв’язання в рівняння Шредінгера:

\[ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}. \]

Ми вже встановили, що дозволені лише певні значення \(k\):

\[ k_n=\frac{n\pi}{L}. \]

Підставивши це значення у формулу для обчислення енергії, отримаємо:

\[ E_n= \frac{\hbar^2}{2m^*} \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2. \]

Перегрупувавши, ми отримуємо відому формулу для допустимих значень енергії в нескінченній квантовій ямі:

\[ \boxed{ E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m^*L^2} } \]

Цей результат показує, що енергія зростає пропорційно квадрату квантового числа \(n\). Іншими словами, енергія другого стану вчетверо більша за енергію першого, а енергія третього стану вдев’ятеро більша.

Це також розкриває важливий аспект, який є особливо корисним для розробки напівпровідникових пристроїв: оскільки енергія залежить від \(1/L^2\), ми можемо збільшити енергію локалізації, просто зменшивши ширину квантової ями. Ефективна маса електрона також має значення: менша ефективна маса призводить до вищих рівнів енергії для ідентичної за іншими параметрами ями.

Наприклад, нескінченна потенціальна яма з шириною \(12\,\mathrm{nm}\) і ефективною масою електрона \(m^*=0.067m_0\) має найнижчий рівень енергії, що приблизно дорівнює \(39\,\mathrm{meV}\). Отже, перші три дозволені значення енергії такі:

\[ E_1\approx39\,\mathrm{meV}, \qquad E_2=4E_1, \qquad E_3=9E_1. \]

Ми вже розрахували як допустимі хвильові функції, так і відповідні їм енергії. Однак наше припущення про нескінченно високі бар’єри є математичним спрощенням. Щоб описати більш реалістичну квантову яму, зображену на ??, нам далі потрібно розглянути, що відбувається, коли бар’єри мають скінченну висоту.

Що відбувається, коли бар’єри не є нескінченними?

У реальній напівпровідниковій квантовій ямі навколишні бар’єри мають скінченну висоту. Це створює важливу відмінність: хвильова функція електрона більше не обов’язково має дорівнювати нулю на краях ями. Натомість, вона може поширюватися на невелику відстань у навколишній матеріал, навіть коли енергія електрона нижча за висоту бар’єра.

Ми можемо описати це, використовуючи те саме рівняння Шредінгера, але тепер нам потрібно врахувати дві різні області: власне потенціальну яму, де \(V(x)=0\), і навколишні бар’єри, де \(V(x)=V_0\). Для потенціальної ями, розташованої в точці \(x=0\), потенціал має такий вигляд:

\[ V(x)= \begin{cases} 0, & \lvert x\rvert \lt \dfrac{L}{2}, \\[6pt] V_0, & \lvert x\rvert \geq \dfrac{L}{2}. \end{cases} \]

Let us consider an electron with an energy below the barrier height, so that \(0

Важливою відмінністю є те, що хвильова функція тепер по-різному поводиться в обох областях. Всередині потенціальної ями вона продовжує коливатися, як і в нашому прикладі з нескінченною потенціальною ямою. Однак, всередині бар’єрів вона затухає експоненціально, а не миттєво падає до нуля.

Це відбувається тому, що рівняння Шредінгера змінюється, коли потенційна енергія стає більшою за енергію електрона. Швидкість, з якою хвильова функція згасає в області потенційного бар’єра, описується наступним чином:

\[ \boxed{ \kappa = \frac{\sqrt{2m^{*}(V_0-E)}}{\hbar} } \]

Щоб обчислити допустимі енергетичні рівні, ми повинні знайти розв’язки, для яких коливальна хвильова функція всередині потенціальної ями плавно переходить в експоненціально згасаючу хвильову функцію в бар’єрах. Зазвичай це робиться чисельно.

Результат показано на ??. Зверніть увагу, як кольорові хвильові функції поширюються за межі потенціальної ями. Оскільки квадрат хвильової функції відображає щільність ймовірності, це означає, що існує невелика ймовірність знайти електрон у навколишніх бар’єрах.

Оскільки електрон фактично локалізований у дещо більшій області, його енергетичні рівні, як правило, нижчі, ніж ті, що передбачаються наближенням нескінченної потенціальної ями. Крім того, скінченна потенціальна яма може підтримувати лише скінченну кількість зв’язаних станів.

Обчислення квантових ям у OghmaNano.

Проста формула для нескінченної потенціальної ями корисна для розуміння принципу локалізації, але для реалістичної моделі пристрою зазвичай необхідно враховувати фактичні матеріальні шари, енергетичні смуги, ефективні маси та електричні поля під час обчислень. OghmaNano пропонує кілька рівнів моделювання квантових ям, залежно від того, які ефекти є важливими:

• розв’язувач для параболічної зони для здійснення простих обчислень, пов’язаних із локалізацією електронів і дірок.
• Багатосмугові k·p моделі, зокрема восьмисмугова структура цинкбленду, десятисмугова структура цинкбленду та восьмисмугова структура вюрциту, для опису взаємодії та змішування між різними електронними смугами.
• Спеціалізовані методи для кремнієвої долини та Луттінгера–Кона для відповідних напівпровідникових систем.

Отримані власні значення та хвильові функції можна використовувати в подальших обчисленнях оптичних переходів, коефіцієнта посилення та розсіювання носіїв заряду. Практичний вступ міститься в навчальному посібнику з параболічних квантових ям GaAs/AlGaAs. Більш складні обчислення, зокрема багатосмуговий метод k·p, квантові ями на основі кремнію/SiGe, оптичні спектри та рухливість носіїв заряду, зібрані в інструменті для розв’язання задач, пов’язаних із зонною структурою, квантовими ямами та рухливістю.

Чим привабливі квантові ями?

Однією з найважливіших властивостей квантової ями є те, що ми можемо контролювати енергетичні рівні електронів і дірок, просто змінюючи ширину ями. Зазвичай, зменшення ширини ями збільшує відстань між обмеженими енергетичними рівнями, тоді як збільшення ширини наближає їх один до одного. Це дає нам можливість контролювати електронні та оптичні властивості матеріалу, не обов’язково змінюючи його хімічний склад.

Квантові ями мають особливе значення в напівпровідникових пристроях, оскільки вони дають змогу контролювати розташування носіїв заряду та визначати, які енергетичні переходи для них можливі. Їх застосовують у:

• Напівпровідникові лазери та світлодіоди: квантові ями утримують електрони та дірки в межах тонкої активної області, що дає змогу регулювати довжину хвилі випромінювання шляхом зміни ширини ями та складу матеріалу.
• Фотодетектори: відстань між обмеженими енергетичними рівнями можна регулювати таким чином, щоб забезпечити поглинання певних довжин хвиль світла, зокрема інфрачервоного випромінювання.
• Транзистори з високою рухливістю електронів (HEMT): електрони можуть бути обмежені тонким провідним каналом, водночас залишаючись вільними для руху паралельно до міжфазних поверхонь, утворюючи двовимірний електронний газ.
• Квантово-каскадні лазери: для створення штучно створених енергетичних рівнів, через які рухаються електрони, випромінюючи фотони під час переходу між станами, використовується кілька з’єднаних квантових ям.

Важливою ідеєю є те, що квантова яма дає змогу проєктувати електронні енергетичні рівні, змінюючи геометрію структури. Щоб зрозуміти, як утворюються ці рівні, нам потрібно розв’язати рівняння Шредінгера для частинки, обмеженої всередині цієї ями.