Квантова яма на основі GaAs/AlGaAs: навчальний посібник з використанням 8-смугової моделі цинкової бленди.

1. Вступ

У цьому навчальному посібнику ми обчислимо електронні та оптичні властивості квантової ями GaAs/AlGaAs, використовуючи восьмизонну модель цинкбленду k·p від OghmaNano. Ми почнемо з готового прикладу, розглянемо структуру шарів, запустимо моделювання та проаналізуємо отримані зони провідності та валентності. Насамкінець, ми розглянемо оптичні спектри, розраховані на основі отриманих станів.

У навчальному посібнику з параболічних квантових ям електрони та дірки розглядаються за допомогою відносно простих ефективних зон маси. Тут гамільтоніан містить основу зони провідності та основи важких (HH), легких (LH) і розділених (SO) валентних зон, кожна з яких має дві спінові складові: загалом вісім базових станів. Взаємодія між цими станами дозволяє моделі описувати ефекти, які не можуть бути описані незалежними параболами, зокрема змішування валентних зон і зміни кривизни залежно від хвильового вектора в площині.

2. Відкриття прикладу з вісьмома смугами.

У програмі OghmaNano натисніть кнопку «Нова симуляція» на стрічці інструментів «Файл». Двічі клацніть на папці з демонстраційними прикладами GaAs (??). З переліку прикладів, що стосуються квантових ям, двічі клацніть на GaAs/AlGaAs QW 8 band k.p (??). Це відкриє попередньо налаштовану симуляцію; немає потреби вручну вводити гамільтоніан розміром 8x8.

3. Квантово-ямочна структура та параметри матеріалів

У головному вікні відображається тришарова структура AlGaAs/GaAs/AlGaAs (??). Відкрийте редактор шарів за допомогою кнопки, розташованої зліва. Наведений приклад містить дві 40-нанометрові шари AlGaAs, які оточують 10-нанометрову шару GaAs:

Межі зони провідності GaAs розташовані в межах зони забороненої енергії навколишнього матеріалу AlGaAs, що забезпечує локалізацію вздовж напрямку росту шару. У редакторі шарів центральний шар GaAs позначено як квантова яма (??). Параметри оптичних матеріалів і типи шарів уже налаштовано в цьому прикладі.

Розв’язувач для восьмизонної моделі потребує більше інформації про матеріал, ніж скалярна параболічна зонна модель: окрім меж зон і ефективних мас, до гамільтоніана входять параметри, що описують міжзонну взаємодію, енергію розщеплення та (за потреби) деформацію. Ви можете переглянути функції GaAs за допомогою розділу «Електричні параметри» та редактора коду матеріалу (??). На скріншоті показано потенціали деформації валентної зони b і d; для цього початкового запуску їх не потрібно змінювати.

Які зміни внесено в розрахунок за восьмирівневою шкалою?

Параболічна модель приписує кожній зоні окрему кривизну. Натомість, метод k·p будує матрицю, у якій позадіагональні елементи пов’язують базові стани. Схематично, задача, пов’язана з обмеженими станами, виглядає так:

\[ H_{8\times8}(k_x,k_y,-i\partial_z)\,\Psi_n(z) =E_n(k_x,k_y)\,\Psi_n(z). \]

Тут \(z\) – напрямок обмеження; \(k_x\) і \(k_y\) описують рух, паралельний до шарів. Хвильова функція оболонки \(\Psi_n\) має вісім компонент, які описують внесок різних базових станів. У цьому навчальному посібнику ми зосередимося на обчислених значеннях енергії, а не на повній матричній алгебрі. Детальний опис наведено в розділ про восьмизонну теорію цинкбленду.

4. Запуск моделювання.

Поверніться до вкладки «Файл» і натисніть синю кнопку «Запустити моделювання». Восьмизонний гамільтоніан збирається та розв’язується для послідовності площинних векторів. Ви можете стежити за процесом обчислення на вкладці «Термінал» (??).

На прикладі термінала відображається процес створення розрідженої матриці, після чого відображаються енергії власних станів і повідомлення, наприклад, block converged after 12 iterations. Розв’язування задач для провідних і валентних станів здійснюється окремо для кожної наступної хвильової функції. Зачекайте, поки завершиться обчислення, і кнопка повернеться до стану «Запустити моделювання», перш ніж переглядати результати.

5. Розуміння отриманої зонної структури.

Програма обчислює дискретний набір локалізованих власних станів для кожного вектора хвилі в площині \(k_{\parallel}\). Отже, на графіку відображається дисперсія підзон, а не просторовий профіль країв зон пошарово. Відкрийте вкладку «Результати» та перегляньте вміст папки bands або відкрийте зведені файли зон, що відображаються у вікні ??.

5.1 Піддіапазони провідності

Діаграма зони провідності (??) показує дві гілки, що вигинаються вгору. У точці \(k_{\parallel}=0\) вертикальна відстань між ними зумовлена різними обмеженими станами. Збільшення енергії в точці \(k_{\parallel}\) відображає рух паралельно до потенціальної ями, де носії заряду не обмежені.

У районі мінімуму зони провідності дисперсію можна наближено описати за допомогою:

\[ E_n(k_{\parallel})\simeq E_n(0) +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m_{n,\parallel}^{*}}. \]

У багатосмуговій моделі це локальне наближення: кривина, а отже, і видима ефективна маса, не обов’язково повинні залишатися постійними в межах усього діапазону зображеного хвильового вектора. Взаємодія між зоною провідності та зоною валентності впливає на цю поведінку.

5.2 Валентні підзони: змішування та кривина

Діаграма валентної зони є більш цікавою (??). Дві її гілки, які відображаються на графіку, починаються з різних рівнів енергії, вигинаються вниз і, здається, сходяться в певній точці \(k_{\parallel}\). У валентній зоні структури цинкбленду, стани важких і легких дірок не поводяться як дві повністю незалежні параболи: при скінченному хвильовому векторі, члени в гамільтоніані можуть змішувати їхні характеристики.

Корисним способом вираження цього є розгляд двох сусідніх станів, пов’язаних між собою матричним елементом \(V\):

\[ H_{\mathrm{illustrative}}= \begin{pmatrix}E_{\mathrm{HH}}(k)&V(k)\\ V^{*}(k)&E_{\mathrm{LH}}(k)\end{pmatrix}. \]

Якщо їм дозволяють утворювати пару, їхні енергії відштовхуються під час зближення, і їхній характер HH/LH може змінюватися між гілками. Також можливе справжнє перехрещення, коли відповідна взаємодія зникає внаслідок симетрії. Лише на підставі цього скріншота неможливо розрізнити ці випадки: щоб визначити характер стану, необхідно перевірити відповідні власні вектори і, за потреби, обчислити більше точок поблизу видимої точки перетину. Наведена вище матриця 2x2 є лише ілюстрацією, а не повною восьмизонною гамільтоніаною.

5.3 Розгляд провідності та валентних станів у взаємозв’язку

Узагальнена діаграма (??) відображає електронні та валентні електронні стани на спільній енергетичній шкалі. У цьому прикладі валентні стани розташовані поблизу енергетичного нульового рівня, тоді як обмежені провідні стани знаходяться приблизно на рівні 1,5 еВ і вище. Різниця між певною парою станів відповідає енергії фотона можливого вертикального оптичного переходу, що залежить від відповідного оптичного матричного елемента та заповненості носіїв заряду.

Оскільки імпульс фотона відносно невеликий, перше наближення, яке можна використати, полягає в тому, що оптичний перехід зберігає вектор хвилі в площині:

\[ \hbar\omega=E_{c,n}(k_{\parallel})-E_{v,m}(k_{\parallel}), \qquad \lambda=\frac{hc}{\hbar\omega}. \]

Різні пари електронних і діркових станів, відповідно, впливають на різні довжини хвиль. Багатокомпонентні хвильові функції також визначають інтенсивність і поляризацію кожного переходу, що виходить за межі того, що можна визначити лише за енергією.

6. Оптичні властивості квантової ями

Обчислення з використанням восьми смуг забезпечує визначення електронних енергій і хвильових функцій змішаного стану для оптичної моделі. На прикладі отримано окремі спектри для вимушеного випромінювання, поглинання, чистого посилення та спонтанного випромінювання. Множинні криві на кожному графіку відповідають послідовності умов для носіїв заряду, які використовуються в наданій моделі; це не вісім окремих смуг гамільтоніана.

6.1 Випромінювання та поглинання, спричинені зовнішнім впливом.

Вимушене випромінювання відбувається, коли вхідний фотон змушує електрон здійснити радіаційний перехід із заповненого провідного стану в незаповнений валентний стан. Поглинання є зворотним процесом: валентний електрон поглинає фотон і переходить у доступний провідний стан. Їхні коефіцієнти заповнення схематично зображено наступним чином:

\[ \begin{aligned} \text{stimulated emission:}&\quad f_c(1-f_v),\\ \text{absorption:}&\quad f_v(1-f_c). \end{aligned} \]

Криві вимушеного випромінювання (??) і криві поглинання (??) мають спільні основні енергії переходів, але їх інтенсивність відрізняється залежно від зміни рівнів заселеності. Згідно з отриманими результатами, значна частина спектральної структури зосереджена в діапазоні 790–850 нм; конкретні характеристики залежать від налаштованих субдіапазонів, матричних елементів, концентрації носіїв заряду та розширення спектральних ліній.

6.2 Чистий приріст: коли обсяг викидів перевищує обсяг поглинання.

Графік чистого прибутку (??) поєднує в собі конкуруючі внески, пов’язані зі стимульованим випромінюванням та поглинанням. Віднімання їхніх ймовірностей заповнення дає особливо простий результат:

\[ f_c(1-f_v)-f_v(1-f_c)=f_c-f_v. \]

Таким чином, перехід стає таким, що забезпечує посилення, коли стан провідності, в якому він відбувається, є більш заповненим, ніж відповідний стан валентного електрона. Від’ємні значення чистого посилення відображають умови, в яких переважає поглинання; додатні значення відповідають ситуації, коли стимульована емісія перевищує поглинання. Коефіцієнт чистого посилення, показаний тут, є оптичним результатом, отриманим для квантової ями; його не слід автоматично інтерпретувати як модальне посилення всієї лазерної резонаторної камери, оскільки воно також залежить від обмеження та інших оптичних втрат.

6.3 Спонтанне випромінювання

Спонтанна емісія не потребує зовнішнього фотона для ініціювання переходу. Вона відбувається, коли зайнятий електронний стан радіативно рекомбінує в доступний валентний стан. Відповідний коефіцієнт заповнення знову становить \(f_c(1-f_v)\), але спонтанна та вимушена емісія мають різні спектральні коефіцієнти та різне фізичне тлумачення. На спектрах у ?? використовується логарифмічна вертикальна шкала; отже, рівномірний вертикальний інтервал не означає рівномірне абсолютне збільшення інтенсивності випромінюваних фотонів.

Для отримання більш детальної інформації про характеристики перехідних процесів, типи професій, пов’язаних із цими процесами, і розширення спектральних ліній, зверніться до сторінок оптичні переходи та теорія підсилення.

7. Пошук вихідних файлів

Після завершення моделювання виберіть пункт «Результати» в головному вікні (??). Серед відображених результатів будуть Ec.csv, Ev.csv і Ec_Ev.csv для графіків діапазонів, а також gain.csv, absorption.csv, net_gain.csv і spontaneous.csv. У папках bands і gain містяться додаткові результати обчислень. Двічі клацніть файл CSV, щоб відкрити його графічне представлення в OghmaNano, або експортуйте числові дані для подальшого аналізу в іншій програмі.

8. Спробуйте самі: порівняйте з параболічною моделлю.

У якості другого експерименту змініть товщину шару GaAs з 10 нм до 8 нм, при цьому не змінюючи товщину обох шарів AlGaAs, яка становить 40 нм. Знову запустіть модель і порівняйте енергії власних станів у обмеженому просторі та діапазон довжин хвиль оптичних переходів.