Кремнієва/SiGe квантова яма: навчальний посібник з використанням шестизонної моделі Люттінгера–Кона для опису дірок.

1. Вступ

У нашому навчальному матеріалі про кремнієву Δ-долину ми розглянули електрони в квантовій ямі Si/SiGe. У цьому навчальному матеріалі ми вивчаємо іншу сторону його електронної структури: дірки у валентній зоні. Хоча структура шарів схожа, основні фізичні принципи досить відрізняються. Електрон поблизу окремої кремнієвої зони провідності можна описати за допомогою анізотропної ефективної маси; у верхній частині валентної зони міститься кілька сусідніх, взаємодіючих станів. Тому окрема парабола для дірок не передає важливу інформацію.

Тут ми використовуємо шестизонну модель Люттінгера–Кона (LK6) від OghmaNano для обчислення енергетичних підзон обмежених дірок у 10-нанометровій кремнієвій структурі, розташованій між двома 20-нанометровими шарами SiGe. Потім ми розширюємо обчислення, виходячи за межі енергій зон: у прикладі також оцінюється розсіювання акустичними фононами, заповнення дірками та результуюча рухливість у площині. Ви можете використовувати наданий приклад за замовчуванням, не створюючи структуру з нуля.

2. Відкриття прикладу з використанням шести смуг.

Виберіть «Файл» → «Нова симуляція». У вікні прикладів двічі клацніть на папці «GaAs demos» (??). У цій папці також містяться шаблони квантових ям напівпровідників, зокрема приклади для кремнію. У наступному вікні двічі клацніть на «Strained Si/SiGe Valence-Band Quantum Well (LK6)» (??). Будьте уважні та виберіть приклад для валентної зони: сусідній шаблон «Delta-Valley» обчислює провідні електрони кремнію, а не валентні.

3. Перевірка структури Si/SiGe та її матеріальних параметрів.

У головному вікні відображається тривимірне зображення прикладу (??). Носії заряду обмежені шарами, які ми називаємо віссю z, але зберігають свободу руху в площині x–y. Натисніть «Редактор шарів», щоб переглянути фактичну товщину шарів і визначення центрального шару як квантової ями.

Оптична колонка, зображена на ??, не є заміною для перевірки визначень електронних матеріалів. Зміщення на межі зон, склад сплаву та будь-які налаштування напружень впливають на фактичний потенціал локалізації, тому збережіть надану конфігурацію прикладу для першого запуску.

Відкрийте розділ «Електричні параметри» та виберіть Si (QW) (??). На скриншоті показано параметр Люттінгера гамма1 та посилання на відповідну літературу. На відміну від моделі з однією електронною зоною, для обчислення валентної зони використовуються три параметри Люттінгера для опису взаємопов’язаних важких, легких та розщеплених гілок. Крім того, потрібне врахування спін-орбітального розщеплення, а також, якщо увімкнено врахування деформації, відповідні параметри потенціалу деформації.

4. Чому валентній зоні потрібні шість складових?

Поруч із максимальною енергією валентної зони кремнію розташовані дві добре відомі групи станів дірок: важкі дірки (HH) і легкі дірки (LH). Ще одна група, що має нижчу енергію, – відщеплена група (SO), яка виникає внаслідок спін-орбітальної взаємодії. Кожна група має дві пов’язані зі спіном базові стани, що дає шість компонент у моделі LK6. Це базові компоненти пов’язаної хвильової функції, і не обов’язково шість незалежно рухомих параболічних зон.

Квантово-ямову оболонку можна схематично зобразити у вигляді шестикомпонентного стовпцевого вектора.

\[ \Psi(z)=\begin{pmatrix} F_{\mathrm{HH}+}(z) & F_{\mathrm{LH}+}(z) & F_{\mathrm{SO}+}(z) & F_{\mathrm{HH}-}(z) & F_{\mathrm{LH}-}(z) & F_{\mathrm{SO}-}(z) \end{pmatrix}^{\!T}. \]

Тут позначення вказують на основну характеристику базового набору кутових моментів. У міру зміни імпульсу в площині, компоненти зазвичай змішуються, тому власний стан, який спочатку описується як подібний до HH, не обов’язково залишається чисто «важкою діркою» при більшому хвильовому векторі. Задача, яку вирішує комп’ютер, має такий вигляд:

\[ \left[H_{\mathrm{LK}}(k_x,k_y,-i\partial_z) +H_{\mathrm{BP}}(\varepsilon)+V_v(z)I_6\right]\Psi =E(k_x,k_y)\Psi. \]

Член Луттінгера–Кона описує кінетичну енергію та змішування валентних станів; член Біра–Пікуса описує їхню реакцію на деформацію; а \(V_v(z)\) представляє профіль обмеження валентної зони. У цій моделі зберігається зв’язок між основними компонентами, замість того щоб приписувати незалежну постійну масу для HH, LH і SO. Вам не потрібно вручну складати цю матрицю для навчального посібника; детальний гамільтоніан можна знайти на сторінці теорія LK6.

Для порівняння, навіть спрощена наближена модель показує, чому важливі три параметри Люттінгера: вздовж кубічної головної осі кривизни важких і легких дірок пов’язані з різними комбінаціями цих параметрів, що схематично зображено.

\[ \frac{m_0}{m_{\mathrm{HH}}^{*}}\simeq\gamma_1-2\gamma_2, \qquad \frac{m_0}{m_{\mathrm{LH}}^{*}}\simeq\gamma_1+2\gamma_2. \]

Це корисні наочні приклади наближених співвідношень, а не інструкція щодо заміни повної шестизонної квантово-ямової обчислювальної моделі двома окремими параболами. У замкнутій структурі ширина ями, спін-орбітальна взаємодія, деформація та імпульс у площині визначають фактичні власні значення та характер їх зміни.

5. Запуск обчислення.

Поверніться до вкладки «Файл» і натисніть «Запустити моделювання». Спочатку OghmaNano розв’язує задачу щодо обмежених валентних станів LK6 для послідовності площинних хвильових векторів. Ви можете стежити за обчисленнями на вкладці «Термінал» (??). Відображені значення target – це внутрішні цільові значення для обчислення власних значень; повідомлення про досягнення збіжності вказують на те, що необхідні власні стани були знайдено чисельно.

Зачекайте, поки програма завершить обчислення. Процес розсіювання потребує додаткового часу, оскільки необхідно оцінити переходи між зайнятими початковими та вільними кінцевими електронними станами, а не просто визначити енергії підзон.

6. Аналіз отриманої залежності ширини валентної зони.

Відкрийте вкладку «Результати». Згенеровані файли містять графіки, пов’язані з електронними зонами, а також папки з даними про розсіювання та рухливість (??). Відкрийте результат для валентної зони, щоб отримати ??.

У випадку \(k_{\parallel}=0\) обмеження визначає дискретну початкову енергію кожної підзони. Переходячи до скінченного \(k_{\parallel}\), гілки викривляються вниз відповідно до представленої схеми залежності енергії електронів, причому їхня кривизна та відстань між ними дещо відрізняються. Близькі пари ліній узгоджуються зі спіновими (крамерівськими) парами в розрахунку, що є симетричним щодо зміни напрямку часу; їх не слід автоматично відносити до різних типів дірок.

Корисний спосіб зрозуміти цей сюжет полягає в тому, щоб пам’ятати, що «дірка» – це відсутність електрона у валентній зоні. Отже, енергію «дірки» можна виразити відносно обраної опорної точки валентної зони як

\[ E_h(\mathbf{k}_{\parallel})=E_{v,\mathrm{ref}}-E_v(\mathbf{k}_{\parallel}). \]

Отже, гілка валентних електронів, що вигинається вниз від своєї максимальної точки, відповідає збільшенню енергії збудження дірок. Фактичний характер окремої гілки (легка дірка/важка дірка/спін-орбітальна взаємодія) визначається за допомогою шестикомпонентного власного вектора, а не лише за її кольором або кривизною.

Варто порівняти цей результат із дисперсією зони провідності в... Навчальний посібник зі створення кремнієвої Δ-подібної структури.Там різні орієнтації долин обробляються за допомогою анізотропних електронних мас; тут стани дірок безпосередньо пов’язані в багатосмуговій валентній гамільтоніані.

7. Акустичне розсіювання фононів і час життя дірок.

Діаграма зонної структури показує, які вакантні стани доступні, але сама по собі не може передбачити, як швидко вакансія втрачає свій імпульс. У цьому прикладі OghmaNano використовує обчислені локалізовані стани для оцінки розсіювання акустичними фононами. Акустичний фонон створює невелике поле деформації в кристалі, що впливає на валентні зони та потенційно призводить до переходу вакансії з початкового стану \(i\) у кінцевий стан \(f\).

Відкрийте папку з результатами розрахунків на вкладці «Вихідні дані» (??). Пронумеровані файли містять інформацію про обчислені стани. Наприклад, на наданому скриншоті si_lk6_acoustic_tau_02.csv зображено залежність часу життя акустичного розсіювання від хвильового вектора в площині.

Відправною точкою є фундаментальне правило Фермі.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle\Psi_f|H_{\mathrm{e-ph}}|\Psi_i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}). \]

Матричний елемент описує, наскільки сильно коливання кристалічної решітки взаємодіє з двома станами дірок; дельта-функція відображає закон збереження енергії під час поглинання або випромінювання фононів. У шестизонній валентній моделі взаємодія залежить від багатокомпонентних хвильових функцій дірок, тому на дозволені переходи впливають змішування HH/LH/SO, а також доступні кінцеві енергії. Наведений нижче результат стосується апроксимації акустичних фононів, використаної в цьому прикладі.

Підсумовуючи дозволені переходи, отримуємо загальну частоту подій \(\Gamma_i\) та відповідний час життя.

\[ \Gamma_i=\sum_f W_{i\rightarrow f},\qquad \tau_i=\frac{1}{\Gamma_i}\quad(\Gamma_i\gt 0). \]

Час життя, показаний на ??, не є постійним. Він змінюється в міру того, як хвильовий вектор проходить через різні частини пов’язаної валентної дисперсії. Нуль, який відображається в першій точці вибірки, слід розглядати як умовну межу/вихід або значення, яке потребує перевірки, а не як доказ фізичного зникнення часу розсіювання саме в точці \(k_{\parallel}=0\).

Існує ще одна важлива відмінність, яка має значення для процесу транспортування: не кожне зіткнення однаково впливає на розподіл енергії. Малокутове розсіювання може змінювати мікроскопічний стан, при цьому відносно незначно впливаючи на загальний напрямок руху. Тому коефіцієнт, що враховує вплив транспортування, часто схематично позначають як:

\[ \Gamma_{\mathrm{tr},i}=\sum_f W_{i\rightarrow f} \left(1-\cos\theta_{if}\right),\qquad \tau_{\mathrm{tr},i}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr},i}}. \]

Представлене графічне зображення ілюструє принцип релаксації імпульсу; для анізотропних змішаних зон повний розрахунок транспортних властивостей має враховувати відповідні швидкості та вагові коефіцієнти. Саме тому в результаті розрахунку показники розсіювання звукових хвиль/час існування відокремлюються від величин, пов’язаних із транспортом, замість того, щоб використовувати єдине значення для всіх цілей.

8. Від концентрації дефектів і рівня Фермі до рухливості.

Щоб отримати кількісно визначену характеристику транспортних властивостей, ми повинні поєднати інформацію про розсіювання з кількістю вакансій, які займають кожну частину кожної підсмуги. Тому в цьому навчальному матеріалі наведено серію вимірювань щільності вакансій \(p_{2D}\) з одиницями вимірювання м−2.

Рівень Фермі визначає, які електронні стани є заповненими. Для енергії валентних електронів \(E_v\) рівноважну заповненість відповідного стану «дірки» можна записати у вигляді:

\[ f_h(E_v)=1-f_e(E_v) =\frac{1}{1+\exp\!\left[(E_F-E_v)/(k_B T)\right]}. \]

Збільшення щільності отворів у шарі призводить до зміни хімічного потенціалу відносно валентних станів, що й відображено на графіку ліворуч. Точні числові значення енергії залежать від обраної в моделі системи відліку; напрямок зміни та отримані популяції є ключовими характеристиками.

Потім OghmaNano обчислює швидкість і час релаксації переносу зарядів у заповнених станах, щоб отримати значення плоскої провідності \(\sigma_{2D}\). Відповідна рухливість дірок становить

\[ \mu_h=\frac{\sigma_{2D}}{q\,p_{2D}}, \qquad \sigma_{2D}\sim q^2\sum_n\int \frac{d^2 k_{\parallel}}{(2\pi)^2} \,v_{n,x}^{2}\,\tau_{\mathrm{tr},n} \left(-\frac{\partial f_e}{\partial E}\right). \]

Тут \(v_{n,x}\) – це групова швидкість у площині піддіапазону \(n\), а інтеграл показує, що стани з різними хвильовими векторами по-різному впливають на струм. Графік рухливості (??) помірно зменшується в межах відображеного діапазону концентрацій (приблизно від 0,165 до 0,151 м²/В⁻¹ с⁻¹). Це результат для наведеного прикладу та включених у нього фізичних процесів розсіювання, а не універсальний закон рухливості дірок у кремнії або прогноз, що враховує всі експериментальні механізми втрат.

9. Спробуйте самі.

Це завершує серію з шести моделей, що представляють собою вступ до квантових ям. Повне математичне обґрунтування та значення матеріальних параметрів описані в розділі теорія Люттінджера–Кона для шести зон і в розділі теорія деформації Біра–Пікуса.