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O OghmaNano contém uma família de solucionadores para a estrutura de bandas de semicondutores, poços quânticos e o modelo k·p, utilizados para calcular os estados eletrónicos em poços quânticos bidimensionais e em semicondutores volumosos. Os modelos calculam os estados confinados de eletrões e lacunas, a dispersão da banda eletrónica, as funções de onda, o acoplamento entre as bandas e os elementos da matriz ótica, podendo ser combinados com cálculos de absorção ótica, emissão espontânea, emissão estimulada, ganho, dispersão de portadores e mobilidade.
Existe uma variedade de modelos de estrutura de bandas disponíveis para diferentes materiais semicondutores e estruturas cristalinas:
Em conjunto, estes modelos permitem que a OghmaNano calcule tanto as sub-bandas bidimensionais de poços quânticos como as estruturas de banda tridimensionais de semicondutores. No caso de poços quânticos, os portadores de carga ficam confinados ao longo da direção de crescimento, mantendo-se livres para se moverem paralelamente às camadas. Num cálculo multibanda k·p, o vetor de onda da direção de crescimento é substituído pelo operador da função de envelope.
\[ k_z \longrightarrow -i\frac{d}{dz}, \]
e as equações acopladas resultantes são resolvidas em toda a heteroestrutura semicondutora. Ao repetir o cálculo em função do vetor de onda no plano, obtém-se a dispersão das sub-bandas bidimensionais. Os modelos de volume, como o solucionador de perovskitas, resolvem diretamente o Hamiltoniano em função do vetor de onda tridimensional \(\mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)\).
Os autovalores e autovetores calculados oferecem mais do que apenas um diagrama de bandas. Eles constituem o ponto de partida para simulações de transições ópticas, absorção, emissão espontânea, emissão estimulada e ganho óptico, bem como espalhamento de portadores, tempos de relaxamento e mobilidade, quando aplicável. Essas capacidades tornam os solucionadores de estrutura de bandas aplicáveis à modelagem de lasers semicondutores, LEDs, fotodetetores, heteroestruturas de poços quânticos, canais semicondutores de alta mobilidade, dispositivos de silício/SiGe e materiais de células solares e materiais emissores de luz de perovskite metal-haleto.
Para uma introdução geral à física subjacente, consulte poços quânticos e confinamento de portadores e introdução à teoria k·p.
O cálculo da estrutura de bandas eletrónicas é apenas a primeira etapa da simulação. Uma vez que as energias e as funções de onda dos estados eletrónicos são conhecidas, o OghmaNano pode utilizá-las para calcular uma variedade de propriedades óticas e de transporte de carga. Estas incluem a absorção ótica, a emissão espontânea e estimulada, o ganho ótico, as taxas de dispersão de fónons, os tempos de relaxamento dos portadores e a mobilidade dos portadores de carga.
A mesma ideia fundamental está presente em muitos destes cálculos: um portador de carga faz a transição de um estado eletrónico inicial para um estado final, sendo a probabilidade de transição determinada pelo acoplamento entre os dois estados. No limite de interação fraca, isto é descrito pela regra de ouro de Fermi.
\[ W_{i\rightarrow f} = \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i). \]
O Hamiltoniano de interação \(\hat H_{\mathrm{int}}\) depende do processo físico em análise. No caso de uma transição ótica, descreve a interação entre os estados eletrónicos e o campo eletromagnético. No caso da dispersão de portadores, pode, em vez disso, descrever as interações com as vibrações da rede cristalina, incluindo os fonões acústicos ou os fonões óticos longitudinais (LO). A estrutura de bandas calculada fornece, portanto, uma base eletrónica comum, a partir da qual podem ser obtidas tanto as propriedades óticas como as de transporte.
Para cálculos óticos, o OghmaNano combina os estados da banda de condução e da banda de valência, obtidos através de cálculos, com os seus elementos da matriz ótica e as profissões relacionadas com o transporte. As transições entre os estados ocupados e não ocupados podem então ser somadas ao longo da estrutura de bandas calculada para obter absorção, emissão estimulada, ganho ótico líquido e emissão espontânea.
Uma vez que os autovetores multibanda k·p retêm informações sobre o caráter orbital e de spin de cada estado, o cálculo ótico pode ir além do simples ajuste dos níveis de energia. A mistura de bandas altera os elementos da matriz de transição e, consequentemente, a intensidade da resposta ótica. Em sistemas anisotrópicos, como os semicondutores de wurtzita, isso também permite que as transições óticas polarizadas TE e TM sejam tratadas separadamente.
Os estados eletrónicos também podem ser utilizados para calcular a probabilidade de um portador ser desviado de uma parte da estrutura de bandas para outra. Dependendo do material e do modelo, o OghmaNano pode incluir mecanismos como: dispersão por fónons acústicos e Espalhamento de fótons ópticos polar por Fröhlich. Estes processos determinam o tempo de vida dos portadores de carga, o relaxamento do momento e, em última análise, a mobilidade dos portadores de carga.
O espalhamento de Fröhlich é particularmente importante em semicondutores polares, como o GaAs, o InP, o GaN e as perovskites de haletos metálicos. Um fonão ótico longitudinal cria um campo de polarização oscilante que interage com um eletrão ou uma lacuna. A intensidade dessa interação é descrita pelo elemento da matriz de Fröhlich.
\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]
Aqui, \(q\) representa o vetor de onda do fonão, \(\omega_{LO}\) representa a frequência angular do fonão LO e \(\varepsilon_\infty\) e \(\varepsilon_s\) descrevem o blindamento dielétrico eletrónico e estático do material. A dependência em \(1/q\) reflete a natureza de longo alcance da interação polar.
Aplicando a regra de ouro de Fermi e integrando sobre os estados finais disponíveis, obtém-se a taxa de espalhamento dos portadores de carga. Por exemplo, no caso da absorção de fónons LO.
\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\left( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})- E(\mathbf{k})- \hbar\omega_{LO} \right). \end{aligned} \]
A função delta de Dirac garante a conservação da energia, enquanto a integração sobre \(\mathbf{q}\) efetua a soma dos vetores de onda dos fónons que podem conectar os estados eletrónicos inicial e final. A emissão de fónons LO é calculada da mesma forma, com a exceção de que o portador perde uma energia \(\hbar\omega_{LO}\). Em contraste, o espalhamento de fónons acústicos descreve as interações com as vibrações da rede de menor energia associadas à deformação elástica do cristal.
Um evento de dispersão não destrói necessariamente todo o momento direcional de uma partícula portadora. A dispersão direta, por exemplo, altera apenas ligeiramente a direção da partícula, enquanto a dispersão inversa se opõe fortemente à corrente elétrica. Para cálculos de transporte, a OghmaNano pode, portanto, usar uma taxa de relaxamento do momento em vez de simplesmente calcular o inverso da taxa total de dispersão.
Após calcular o tempo de relaxamento do transporte em toda a estrutura de bandas eletrónicas, a mobilidade pode ser obtida através da média da velocidade e das propriedades de dispersão dos estados eletrónicos que participam no transporte. No âmbito da aproximação do tempo de relaxamento,
\[ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})}. \]
A velocidade dos portadores de carga é obtida diretamente a partir da dispersão eletrónica calculada.
\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]
Isto estabelece uma ligação direta entre a estrutura de bandas calculada e uma propriedade de transporte que pode ser medida experimentalmente. Em vez de assumir uma única massa efetiva constante e um tempo de espalhamento fixo, o cálculo pode considerar a forma como a velocidade dos portadores e o tempo de espalhamento variam ao longo das bandas eletrónicas.
Para poços quânticos de Si/SiGe, a OghmaNano pode calcular a dispersão de fónons acústicos e a mobilidade bidimensional de eletrões ou lacunas, utilizando os modelos do vale Δ do silício e de Luttinger–Kohn. Para perovskites metálicas-halogéneo em massa, a estrutura eletrónica de oito bandas calculada pode ser combinada com a dispersão eletrão-fónon de Fröhlich para obter os tempos de relaxamento dos portadores e a mobilidade limitada por fónons.
Exemplos práticos estão disponíveis nos seguintes tutoriais: Tutorial sobre a mobilidade eletrónica em Si/SiGe, Tutorial sobre a mobilidade de lacunas em Si/SiGe e Tutorial sobre a estrutura de bandas e a mobilidade em perovskitas.
Os exemplos fornecidos com o OghmaNano oferecem pontos de partida pré-definidos para cada modelo de estrutura de bandas. Para cálculos óticos de poços quânticos, o tutorial GaAs/AlGaAs de oito bandas k·p demonstra o cálculo de sub-bandas eletrónicas, absorção, emissão estimulada, ganho ótico e emissão espontânea.
Para cálculos em grande escala, tutorial sobre a estrutura de bandas e a mobilidade em perovskitas mostra como calcular as bandas eletrónicas do CsPbX.3 e MAPbX3 materiais e utilize os estados resultantes para calcular o espalhamento de Fröhlich e a mobilidade dos portadores de carga.
Mais informações teóricas podem ser encontradas nos seguintes documentos: guia da teoria k·p, teoria das transições óticas e teoria do espalhamento de Fröhlich.
Para uma introdução ao confinamento quântico, comece com poços quânticos e confinamento de portadores. O tutorial sobre bandas parabólicas apresenta o modelo mais simples de poço quântico, enquanto o guia sobre a teoria k·p explica como várias bandas eletrónicas se relacionam num Hamiltoniano de múltiplas bandas.
Para começar de forma prática, experimente o tutorial sobre a estrutura de oito bandas k·p de GaAs/AlGaAs ou o tutorial sobre a estrutura de bandas e a mobilidade de perovskites.
Explore as ferramentas de modelagem quântica e de estrutura de bandas.
Comece com a introdução aos poços quânticos, leia o guia da teoria k·p ou execute o tutorial sobre poços quânticos parabólicos de GaAs/AlGaAs.