Poço Quântico de Silício/SiGe: Tutorial sobre os Seis Vales Δ e a Mobilidade dos Elétrons

1. Introdução

Nos exemplos anteriores de poços quânticos, utilizamos semicondutores III–V com banda de energia direta para calcular os estados de condução e de valência confinados e as transições óticas. O silício requer um ponto de partida bastante diferente. Os mínimos da sua banda de condução não se encontram no centro da zona de Brillouin (Γ). Em vez disso, o silício em massa possui seis mínimos equivalentes na banda de condução, ou «vales» Δ, dispostos em pares opostos ao longo dos três eixos do cristal cúbico. As suas diferentes massas efetivas tornam-se particularmente importantes quando os portadores de carga estão confinados numa camada fina.

Aqui, simularemos um poço quântico de silício com 10 nm de espessura, situado entre duas camadas de SiGe com 20 nm de espessura. Analisaremos a dispersão das sub-bandas eletrónicas e, em seguida, aprofundaremos os cálculos para além do que foi apresentado nos tutoriais sobre ótica: desde o espalhamento por fónons acústicos até à relaxação do transporte, densidade de portadores eletrónicos, nível de Fermi e mobilidade. O foco principal será no transporte de eletrões, e não no ganho ótico direto; o silício é um semicondutor com banda de energia indireta.

2. Abrir o exemplo do «vale» de silício em forma de Δ.

No OghmaNano, selecione Arquivo → Nova simulação. Clique duas vezes na categoria de exemplos de GaAs no navegador de modelos (??). Esta coleção também contém os outros modelos de poços quânticos semicondutores. Na janela seguinte, abra o modelo de poço quântico Delta-Valley de Si/SiGe sob tensão (??). Comece com a configuração fornecida, sem alterações, para que a sua primeira execução possa ser comparada com os gráficos apresentados abaixo.

3. Inspeção da estrutura da camada de Si/SiGe.

Clique em «Editor de camadas» no painel da estrutura do dispositivo para examinar o exemplo (??). A direção de confinamento é através das três camadas (consideradas como o eixo z); os eletrões ainda podem mover-se paralelamente ao poço no plano x–y.

As entradas referentes aos materiais óticos visíveis no editor não devem ser confundidas com uma especificação completa dos níveis de energia eletrónicos ou da fração molar de germânio. Estes dependem dos parâmetros de material configurados. Por agora, deixe o exemplo fornecido tal como está.

Pode analisar os dados do material abrindo os parâmetros elétricos e selecionando o separador «Si (QW)» (??). A biblioteca de materiais de silício fornece parâmetros de semicondutores que variam em função da temperatura. Para um cálculo preditivo de Si/SiGe, é importante verificar as massas efetivas, os deslocamentos de banda, a composição de Ge e a configuração de tensão, em vez de confiar apenas num valor de banda proibida do silício em massa.

4. Por que o silício precisa de um modelo de seis vales?

Imagine um eletrão a mover-se no plano do poço quântico. Num modelo parabólico isotrópico comum, a sua energia depende apenas da magnitude do seu vetor de onda. O silício é diferente: cada vale Δ assemelha-se a um elipsoide com uma massa longitudinal maior ao longo do seu eixo e uma massa transversal menor, perpendicular a esse eixo. Os vales formam os três pares opostos ±x, ±y e ±z. Cada par é tratado com a massa apropriada à sua orientação em relação à direção de crescimento do poço quântico.

Para um determinado vale, o problema do confinamento da massa efetiva pode ser representado esquematicamente da seguinte forma:

\[ \left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{1}{m_z^{*}(z)}\frac{\partial}{\partial z}\right) +V_{\Delta}(z)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}(z)} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}(z)}\right]\psi(z) =E(k_x,k_y)\psi(z). \]

Aqui, \(V_{\Delta}\) representa o potencial de confinamento da banda de condução para o vale escolhido, incluindo o seu deslocamento induzido pela tensão. As massas efetivas podem variar de camada para camada. O aspeto importante é que a massa ao longo do eixo z controla o confinamento, enquanto as duas massas no plano controlam a inclinação e a curvatura da dispersão da sub-banda.

Para um poço com orientação (001), o par ±z (frequentemente denominado Δ2) tem a sua massa longitudinal ao longo da direção de confinamento. Os quatro vales ±x/±y (Δ4), por outro lado, têm a massa transversal ao longo do eixo z. Mesmo sem tensão, as suas energias de confinamento não precisam de ser coincidentes. A tensão pode separar ainda mais as extremidades dos seus vales, aproximadamente de acordo com:

\[ \Delta E_{c,i}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)+\Xi_u\,\varepsilon_{ii}, \qquad i\in\{x,y,z\}. \]

O primeiro termo desloca todas as orientações dos vales de acordo com a dilatação geral, enquanto o segundo distingue o componente de deformação ao longo do eixo de cada vale. Esta separação de energia Δ2/Δ4 não é a mesma que a pequena divisão induzida pela interface entre os dois vales opostos dentro de um par; esta última exigiria física adicional de acoplamento entre os vales e não deve ser inferida apenas a partir deste gráfico. Consulte a página teoria do vale Δ do silício para obter mais informações.

5. Execute a simulação.

Volte para a faixa de opções «Ficheiro» e clique em «Executar simulação». O modelo resolve os estados de condução confinados num conjunto de vetores de onda no plano antes de avaliar os resultados da dispersão e do transporte de eletrões. Em ??, o terminal atingiu o estágio de dispersão acústica. A percentagem exibida enquanto a simulação ainda está em execução é um indicador de progresso, não um resultado final de dispersão.

Aguarde até que a execução seja concluída e, em seguida, utilize o separador «Resultados» para abrir os gráficos. Neste tutorial, analisaremos primeiro a dispersão das bandas, seguida da taxa de espalhamento dependente de cada vetor de onda e das quantidades de transporte dependentes da densidade.

6. Análise da dispersão da banda de condução.

Abra a saída da banda de condução para obter ??. Em zero, para o vetor de onda no plano, cada ramo começa em um nível de energia de confinamento discreto. À medida que \(k_{\parallel}\) aumenta, os ramos sobem, mas não todos na mesma proporção. Alguns são significativamente mais planos porque a sua massa efetiva no plano é maior na direção representada no gráfico. Ramos próximos podem aproximar-se ou cruzar-se quando se originam de orientações de vale tratadas separadamente; não se deve interpretar automaticamente cada aproximação como um cruzamento múltiplo de bandas.

Numa região de massa uniforme, um vale individual com orientação específica apresenta uma dispersão característica no plano.

\[ E_n(k_x,k_y)\simeq E_n(0)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}}. \]

É por isso que é útil analisar a direção do vetor de onda no plano, em vez de interpretar o conjunto de curvas coloridas como cópias de uma única parábola isotrópica. A referência de energia apresentada no gráfico é a mesma utilizada no exemplo; as diferenças entre as energias das subbandas são geralmente mais informativas do que o seu desvio absoluto.

7. Da dispersão por fónons acústicos ao relaxamento do momento.

O diagrama de bandas indica quais os estados eletrónicos disponíveis. No entanto, por si só, não nos diz com que facilidade os eletrões podem conduzir ao longo do material. Para calcular a mobilidade, também é necessário determinar com que frequência os fónons dispersam um eletrão do seu estado atual e, o mais importante, com que eficácia esses eventos alteram a sua direção de movimento.

Abra os resultados da dispersão na guia «Resultados» (??). O exemplo apresenta tanto as taxas de ocorrência de eventos de fonões comuns quanto as taxas de dispersão ponderadas pelo transporte. A diferença entre elas não é meramente estética: uma colisão com um ângulo muito pequeno altera o estado de um eletrão, mas pode ter pouco efeito na redução do seu momento total.

O ponto de partida para uma transição de fonões é a regra de ouro de Fermi, apresentada de forma esquemática.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar}|M_{fi}|^2 \,\delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}), \]

onde o elemento da matriz de interação \(M_{fi}\) contém o acoplamento do potencial de deformação e a sobreposição dos estados eletrónicos confinados inicial e final. O sinal permite a absorção ou emissão de fónons no caso geral. Para o cálculo acústico apresentado aqui, é utilizada a aproximação térmica de fónons, que é a mais comum e assume uma elasticidade quase perfeita. As polarizações acústicas longitudinais e transversais, bem como o vetor de onda do fónon fora do plano, são incluídas no cálculo do estado confinado.

A taxa de transporte introduz uma ponderação angular adicional. No que diz respeito ao modelo simplificado de direção do momento utilizado neste caso, a sua função pode ser resumida da seguinte forma:

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(i)} =\sum_f W_{i\rightarrow f}\bigl(1-\cos\theta_{if}\bigr), \qquad \tau_{\mathrm{tr}}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr}}}. \]

Nesta medida de transporte, o espalhamento para a frente (pequeno \(\theta_{if}\)) é atenuado, enquanto o espalhamento para trás contribui de forma mais significativa. Esta é a razão pela qual o tempo total de vida do espalhamento de fonões e o tempo de vida de transporte não precisam de ser idênticos. O exemplo do gráfico da taxa de transporte é apresentado em ??: a taxa representada geralmente aumenta com o vetor de onda ao longo do intervalo exibido. A sua forma precisa depende das sub-bandas, dos estados finais permitidos, dos parâmetros do material e das sobreposições de fonões.

A saída selecionada destina-se à família de vales orientados no eixo x e a uma sub-banda; por si só, não representa a mobilidade completa do gás eletrónico com seis vales. Além disso, uma taxa nula ou ausente exatamente em \(k=0\) numa saída amostrada não deve ser interpretada como prova de que os eletrões nesse ponto nunca sofrem dispersão.

8. Do nível de Fermi à mobilidade.

A mobilidade não é avaliada num único vetor de onda selecionado arbitrariamente. Os eletrões ocupam uma variedade de estados disponíveis, e a porção ocupada varia com a densidade de portadores na camada. A simulação determina, portanto, um nível de Fermi adequado à densidade bidimensional solicitada e calcula a média da resposta de transporte em todas as bandas e orientações de vale ocupadas.

A ocupação de Fermi-Dirac de um estado eletrónico com energia \(E\) é:

\[ f(E;E_F,T)=\frac{1}{1+\exp\!\left[(E-E_F)/(k_BT)\right]}. \]

Ao somar os estados ocupados em relação aos vetores de onda no plano e às sub-bandas relevantes, obtém-se uma densidade de superfície \(n_{2D}\) em m\(^{-2}\). O aumento de \(n_{2D}\) geralmente exige o aumento do nível de Fermi dos eletrões, e essa progressão é mostrada diretamente no primeiro gráfico abaixo.

No âmbito do tratamento do tempo de relaxamento do transporte, a condutividade ao longo do eixo no plano selecionado pode ser expressa em termos das velocidades da banda e dos tempos de vida do transporte:

\[ \sigma_{xx}^{2D}=e^2\sum_{n,v}\int\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} v_{n,v,x}^2(\mathbf{k}_{\parallel})\, \tau_{n,v,\mathrm{tr}}(\mathbf{k}_{\parallel}) \left(-\frac{\partial f}{\partial E}\right), \qquad \mu_x=\frac{\sigma_{xx}^{2D}}{e\,n_{2D}}. \]

Aqui, \(v_{n,v,x}\) representa a velocidade do grupo de eletrões ao longo do eixo x para a sub-banda \(n\) da família de vales \(v\). As multiplicidades de vale apropriadas são consideradas ao somar as orientações fisicamente equivalentes. O fator \(-\partial f/\partial E\) confere maior importância aos estados que podem responder a um campo aplicado de pequena intensidade, em vez de atribuir o mesmo peso a todos os estados ocupados.

A mobilidade calculada diminui de aproximadamente 0,57 para 0,49 m2 V−1 s−1 ao longo da faixa de densidade apresentada em ??. Ao mesmo tempo, a taxa efetiva de espalhamento do transporte aumenta, como ilustrado em ??. Isto está em consonância com a dependência da densidade, que confere maior importância aos estados eletrónicos com um relaxamento de momento mais forte nesta configuração específica. A vida útil efetiva correspondente é uma quantidade ponderada pelo transporte, e o seu inverso não deve ser confundido com uma taxa de fonões de estado único, representada separadamente.

Este exemplo demonstra a mobilidade prevista pelo modelo de espalhamento configurado; não deve ser interpretado automaticamente como uma mobilidade experimental completa de Si/SiGe, que inclua todas as perturbações, interfaces, impurezas e mecanismos de fonões possíveis.

9. Experimente você mesmo.

Depois de conseguir reproduzir os resultados fornecidos, faça uma alteração de cada vez e execute novamente o cálculo. Os seguintes experimentos ajudam a estabelecer a ligação entre os dados de entrada do modelo e os princípios físicos subjacentes:

O resultado fundamental é que a mobilidade do silício está relacionada a uma sequência de cálculos: orientação e deformação do vale → sub-bandas confinadas → transições de fonões disponíveis → tempos de vida de transporte → condutividade do estado ocupado → mobilidade. Esta é a principal diferença entre este exemplo e os tutoriais sobre poços quânticos óticos.