Dispersão, tempos de relaxamento e mobilidade.

A mobilidade dos portadores de carga num poço quântico é limitada pela dispersão. Atualmente, a OghmaNano implementa a dispersão por fónones acústicos através do potencial de deformação, avaliado com a regra de ouro de Fermi, e converte os tempos de relaxamento resultantes numa mobilidade, utilizando a aproximação do tempo de relaxamento. Esta página descreve esse mecanismo e especifica o que está e o que não está incluído.

1. A regra de ouro de Fermi

A taxa de transição de um estado inicial \(|i\rangle\) para estados finais \(|f\rangle\) sob a influência de uma perturbação \(\delta H\) é:

\[ \Gamma_i = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_f \big|\langle f|\delta H|i\rangle\big|^2\, \delta\!\big(E_f - E_i\big), \]

a função delta garante a conservação da energia no espalhamento elástico. Para fónons acústicos, nas temperaturas de operação dos dispositivos, o processo é quase elástico e, no limite da equipartição, a ocupação dos fónons contribui com um fator \(k_B T\). A perturbação é o campo de deformação do fónon acústico, que se acopla às bandas através do potencial de deformação.

2. O potencial de deformação acústica

Um fonão acústico deforma localmente a rede cristalina, e essa deformação desloca as extremidades das bandas através do potencial de deformação \(D\). A OghmaNano constrói o campo de deformação de um fonão com vetor de onda \(\mathbf{q}\) e polarização \(\hat{\mathbf{e}}\), e, em seguida, acopla-o às bandas — para as bandas de valência, através dos mesmos potenciais de deformação Bir–Pikus utilizados para a deformação estática. Ao calcular a média do elemento da matriz ao quadrado sobre a ocupação dos fonões no limite de equipartição, obtém-se o fator de pré-multiplicação.

\[ \text{prefactor} = \frac{D^2\,k_B T}{\rho\,v_s^2\,\hbar}, \]

onde \(\rho\) é a densidade de massa e \(v_s\) a velocidade do som. A taxa aumenta linearmente com a temperatura, o que é característico da dispersão acústica devido ao potencial de deformação.

3. Densidade dos estados finais e fator de forma

Dois fatores adicionais completam o cálculo da taxa. A função delta de energia é avaliada, para cada sub-banda final, através da identificação do vetor de onda \(k_f\) no qual \(E_f(k_f)=E_i\) e, em seguida, é ponderada pela densidade de estados bidimensional nesse ponto, que é proporcional a \(k_f/|dE/dk|\). E o sobreposição dos envelopes inicial e final — o fator de forma \(G\) — mede o quanto os dois estados compartilham a mesma região do poço quântico; o espalhamento inter-sub-banda é suprimido quando os estados têm pouca sobreposição espacial. Portanto, a taxa para o estado \(i\) é:

\[ \Gamma_i = \text{prefactor}\,\sum_f \frac{k_f\,G_{if}}{|dE/dk|_f}, \qquad \tau_i = \frac{1}{\Gamma_i}. \]

O tempo de relaxamento \(\tau_i\) é simplesmente o inverso da taxa total de transição para fora do estado \(i\).

4. Do tempo de descanso à mobilidade.

A mobilidade decorre da equação de Boltzmann linearizada, na aproximação do tempo de relaxamento. Cada estado contribui para a condutividade em proporção ao quadrado da sua velocidade de grupo, ao seu tempo de relaxamento e à derivada da função de ocupação. A velocidade de grupo é

\[ v(k) = \frac{1}{\hbar}\,\frac{dE}{dk}, \]

e a função derivada da ocupação, que restringe o transporte aos estados próximos ao nível de Fermi, é \(-\partial f/\partial E = f(1-f)/k_B T\). Integrando sobre as sub-bandas,

\[ \sigma \propto q^2 \sum_n \int \frac{dk}{(2\pi)}\; k\,v(k)^2\,\tau(k)\,\big[-\partial f/\partial E\big], \]

e a mobilidade é definida como a condutividade por unidade de carga e densidade superficial.

\[ \mu = \frac{\sigma}{q\,p_{2D}}, \]

com a densidade da folha \(p_{2D}=\sum_n\int (k\,dk/2\pi)\,f\) avaliada na mesma dispersão. Isso fornece uma mobilidade efetiva que reflete a estrutura real, não parabólica, da sub-banda, em vez de uma estimativa baseada em uma única massa.

5. Pressupostos e limitações

O modelo implementado é propositalmente específico. Ele analisa o espalhamento acústico-fónico através do potencial de deformação no limite elástico de equipartição e avalia o transporte na aproximação do tempo de relaxamento. Não inclui o espalhamento polar-óptico (de Fröhlich), de impurezas ionizadas, de rugosidade da interface ou de desordem da liga, nem a emissão/absorção inelástica de fónons para além do tratamento de equipartição. Nos casos em que esses mecanismos são predominantes — materiais polares à temperatura ambiente, poços com alta concentração de dopantes ou com superfície irregular — a mobilidade calculada deve ser interpretada como a contribuição limitada pelo fónon acústico, e não como uma previsão completa do transporte.