Dispersión, tiempos de relajación y movilidad.

La movilidad de los portadores en un pozo cuántico está limitada por la dispersión. Actualmente, OghmaNano implementa la dispersión por fonones acústicos a través del potencial de deformación, evaluado con la regla de oro de Fermi, y convierte los tiempos de relajación resultantes en una movilidad utilizando la aproximación del tiempo de relajación. Esta página documenta este mecanismo y especifica claramente qué elementos se incluyen y cuáles no.

1. La regla de oro de Fermi

La tasa de transición desde un estado inicial \(|i\rangle\) a estados finales \(|f\rangle\) bajo una perturbación \(\delta H\) es:

\[ \Gamma_i = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_f \big|\langle f|\delta H|i\rangle\big|^2\, \delta\!\big(E_f - E_i\big), \]

la función delta impone la conservación de la energía en la dispersión elástica. Para los fonones acústicos a las temperaturas de funcionamiento de los dispositivos, el proceso es casi elástico y, en el límite de la distribución equitativa, la ocupación de los fonones contribuye con un factor \(k_B T\). La perturbación es el campo de deformación del fonón acústico, que se acopla a las bandas a través del potencial de deformación.

2. El potencial de deformación acústica.

Un fonón acústico deforma localmente la red cristalina, y esta deformación desplaza los bordes de la banda a través del potencial de deformación \(D\). OghmaNano construye el campo de deformación de un fonón con un vector de onda \(\mathbf{q}\) y una polarización \(\hat{\mathbf{e}}\), y luego lo acopla a las bandas, en el caso de las bandas de valencia, utilizando los mismos potenciales de deformación Bir–Pikus que se utilizan para la deformación estática. Al calcular el promedio del cuadrado del elemento de la matriz sobre la ocupación de los fonones en el límite de la distribución equitativa, se obtiene el prefactor.

\[ \text{prefactor} = \frac{D^2\,k_B T}{\rho\,v_s^2\,\hbar}, \]

donde \(\rho\) es la densidad de masa y \(v_s\) la velocidad del sonido. La tasa aumenta de forma lineal con la temperatura, lo que es característico de la dispersión acústica debida al potencial de deformación.

3. Densidad de los estados finales y factor de forma.

Dos factores adicionales completan el cálculo de la tasa. La función delta de energía se evalúa localizando, para cada subbanda final, el vector de onda \(k_f\) en el que \(E_f(k_f)=E_i\) y ponderándola con la densidad de estados bidimensional en ese punto, que es proporcional a \(k_f/|dE/dk|\). Además, la superposición de las envolventes inicial y final —el factor de forma \(G\)— mide en qué medida los dos estados comparten la misma región del pozo cuántico; la dispersión intersubbanda se reduce cuando los estados tienen poca superposición espacial. Por lo tanto, la tasa para el estado \(i\) es la siguiente:

\[ \Gamma_i = \text{prefactor}\,\sum_f \frac{k_f\,G_{if}}{|dE/dk|_f}, \qquad \tau_i = \frac{1}{\Gamma_i}. \]

El tiempo de relajación \(\tau_i\) es simplemente el inverso de la tasa total de transición desde el estado \(i\).

4. Del tiempo de descanso a la movilidad.

La movilidad se deriva de la ecuación de Boltzmann linealizada, utilizando la aproximación del tiempo de relajación. Cada estado contribuye a la conductividad en proporción al cuadrado de su velocidad de grupo, su tiempo de relajación y la derivada de la función de ocupación. La velocidad de grupo es...

\[ v(k) = \frac{1}{\hbar}\,\frac{dE}{dk}, \]

y la función derivada que describe la ocupación, la cual restringe el transporte a los estados cercanos al nivel de Fermi, es \(-\partial f/\partial E = f(1-f)/k_B T\). Al integrar sobre las subbandas,

\[ \sigma \propto q^2 \sum_n \int \frac{dk}{(2\pi)}\; k\,v(k)^2\,\tau(k)\,\big[-\partial f/\partial E\big], \]

y la movilidad se define como la conductividad por unidad de carga y la densidad superficial.

\[ \mu = \frac{\sigma}{q\,p_{2D}}, \]

utilizando la densidad de la lámina \(p_{2D}=\sum_n\int (k\,dk/2\pi)\,f\), que se evalúa en la misma dispersión. Esto proporciona una movilidad efectiva que refleja la estructura real, no parabólica, de la subbanda, en lugar de una estimación basada en una única masa.

5. Supuestos y limitaciones

El modelo implementado es deliberadamente específico. Considera la dispersión acústico-fónica a través del potencial de deformación en el límite elástico de equipartición y evalúa el transporte mediante la aproximación del tiempo de relajación. No incluye la dispersión polar-óptica (de Fröhlich), la dispersión por impurezas ionizadas, la dispersión debida a la rugosidad de la interfaz o la dispersión debida al desorden de la aleación, ni tampoco la emisión/absorción inelástica de fonones más allá del tratamiento de equipartición. En los casos en que estos mecanismos son dominantes (materiales polares a temperatura ambiente, materiales muy dopados o con superficies rugosas), la movilidad calculada debe interpretarse como la contribución limitada por los fonones acústicos, en lugar de como una predicción completa del transporte.