Dispersión de Fröhlich: interacciones de fonones ópticos polares en semiconductores.

La dispersión de Fröhlich describe la interacción de electrones y huecos con fonones ópticos longitudinales (LO) en semiconductores polares, como GaAs, InP, GaN, ZnO y perovskitas de haluros metálicos. El origen físico de esta interacción se ilustra en ??. En un cristal polar, los átomos vecinos poseen cargas parciales opuestas. Cuando la red cristalina vibra en un modo óptico, los iones positivos y negativos se mueven en relación entre sí, generando una polarización eléctrica oscilante. Para un fonón óptico longitudinal, esto genera un campo eléctrico macroscópico que interactúa con los portadores de carga que se mueven a través del cristal.

Un electrón que se desplaza a través de este campo puede dispersarse desde un estado inicial con vector de onda \(\mathbf{k}\) hasta un estado final \(\mathbf{k}'\), ya sea absorbiendo o emitiendo un fonón LO de energía \(\hbar\omega_{LO}\). Estas transiciones se ilustran en el diagrama de la banda de conducción en ??. El acoplamiento electrostático entre los portadores libres y el campo de polarización de la red se conoce como interacción de Fröhlich. Es un mecanismo importante que limita la movilidad de los portadores de carga en los semiconductores polares, especialmente a temperatura ambiente y superior. Puede ser el factor dominante en la dispersión de electrones en materiales de alta pureza del grupo III-V y proporciona una vía eficiente para que los portadores calientes transfieran energía a la red.

Por lo tanto, comprender la dispersión de Fröhlich es importante al calcular la movilidad de los portadores de carga, al modelar el enfriamiento de los portadores excitados por la luz y al determinar los tiempos de relajación de la energía que se utilizan en los modelos de transporte basados en el equilibrio energético. La dependencia de la energía de la interacción se puede observar en ??, que muestra las tasas de absorción, emisión y dispersión total calculadas para los electrones en GaAs. En las siguientes secciones, examinaremos con más detalle la absorción y la emisión de fonones LO, antes de derivar el elemento de matriz de Fröhlich y la integral tridimensional completa \(k\) que se utiliza para calcular la tasa de dispersión.

¿Qué es la interacción de Fröhlich?

En un semiconductor polar, el desplazamiento relativo de los iones positivos y negativos durante una vibración óptica longitudinal (LO) produce un campo eléctrico oscilante, \(\mathbf{E}_{LO}\), como se ilustra en ??. Un portador de carga interactúa con este campo a través del potencial electrostático \(\phi_{LO}\), lo que da como resultado una energía de interacción de \(-e\phi_{LO}\) para un electrón. Dado que la interacción tiene un origen culombiano, es de largo alcance y es más intensa para valores pequeños del vector de onda de los fonones \(q\).

La intensidad de la interacción de Fröhlich depende de la magnitud de la respuesta del cristal a un campo eléctrico. Esta respuesta se debe a dos factores: los electrones, que responden muy rápidamente, y los iones, que son mucho más pesados y responden más lentamente. Esto da lugar a dos constantes dieléctricas: la constante dieléctrica de alta frecuencia \(\varepsilon_\infty\), que describe únicamente la respuesta electrónica, y la constante dieléctrica estática \(\varepsilon_s\), que incluye la contribución adicional del movimiento iónico.

En un semiconductor polar, el desplazamiento de los iones durante la interacción con un fonón LO genera un campo eléctrico que se acopla a los portadores de carga libres. La intensidad de este acoplamiento está determinada por la diferencia entre el apantallamiento dieléctrico electrónico y el apantallamiento dieléctrico total, que se expresa como:

\[ \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s}. \]

Cuanto mayor sea esta cantidad, más fuerte será el acoplamiento polar. En un semiconductor no polar, como el silicio, no existe un campo eléctrico de largo alcance asociado a las vibraciones ópticas de la red cristalina. Por lo tanto, la contribución iónica a la respuesta dieléctrica está ausente en este modelo, lo que da lugar a \(\varepsilon_s=\varepsilon_\infty\) y a una interacción de Fröhlich que tiende a cero. Este término dieléctrico aparece directamente en el elemento de la matriz de dispersión que se deriva a continuación.

A menudo, es conveniente expresar la intensidad del acoplamiento como un único número adimensional, la constante de acoplamiento de Fröhlich.

\[ \alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar}\sqrt{\frac{m^*}{2\hbar\omega_{LO}}}\left(\frac{1}{\varepsilon_\infty}-\frac{1}{\varepsilon_s}\right), \]

donde \(m^*\) es la masa efectiva de los portadores. Para los electrones de GaAs \(\alpha\approx 0.07\) (acoplamiento débil); para materiales más iónicos, como GaN, ZnO y las perovskitas de haluro, \(\alpha\) tiene un valor del orden de 0,4 a 2. Cuando \(\alpha\) es pequeño, la interacción puede tratarse como una perturbación y da lugar a las tasas de dispersión que se derivan a continuación. Cuando \(\alpha\) se acerca o supera la unidad, el portador arrastra consigo una nube de polarización significativa y se describe mejor como un polarón, con una masa y energía renormalizadas; por lo tanto, las tasas de perturbación que se indican en esta página deben utilizarse con precaución.

Absorción y emisión en la representación espectral.

La dispersión de Fröhlich es una transición inelástica en la que un electrón intercambia energía e impulso con un fonón LO. Como se ilustra en ??, un electrón que inicialmente se encuentra en el estado \(\mathbf{k}\), con una energía de \(E(\mathbf{k})\), puede experimentar uno de dos procesos:

Absorción de fonones: el electrón adquiere energía \(\hbar\omega_{LO}\) de la red cristalina y pasa a un estado de mayor energía \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}+\mathbf{q}\), donde \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO}\).

Emisión de fonones: el electrón transfiere energía \(\hbar\omega_{LO}\) a la red cristalina, pasando a un estado de menor energía \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{q}\), donde \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO}\).

Ambos procesos conservan la energía y el momento cristalino. Dado que los fonones LO son aproximadamente no dispersivos cerca del centro de la zona de Brillouin, su energía \(\hbar\omega_{LO}\) puede considerarse constante, aproximadamente 36 meV en GaAs y 92 meV en GaN. Esto impone una restricción importante a la emisión: un electrón debe tener al menos \(\hbar\omega_{LO}\) de energía cinética por encima del mínimo de la banda antes de que pueda emitir un fonón LO. Los electrones por debajo de este umbral solo pueden absorber fonones. Una vez que se alcanza el umbral, se abre el canal de emisión, lo que permite que los electrones calientes pierdan energía en la red en cantidades discretas de \(\hbar\omega_{LO}\). Este comportamiento es claramente visible en ??, que muestra las tasas de absorción, emisión y dispersión total calculadas para los electrones en GaAs.

La probabilidad de cada proceso también depende del número de fonones LO presentes en la red cristalina. En el equilibrio térmico, la ocupación promedio de los fonones se describe mediante la distribución de Bose-Einstein.

\[ N_{LO} = \frac{1}{\exp\!\left(\hbar\omega_{LO}/k_B T_L\right)-1}, \]

donde \(T_L\) es la temperatura de la red. La probabilidad de absorción es proporcional a \(N_{LO}\), ya que un fonón ya debe estar presente para que el electrón lo absorba. La emisión, por otro lado, es proporcional a \(N_{LO}+1\). El término adicional \(+1\) representa la emisión espontánea de fonones, que sigue siendo posible incluso a temperatura cero, siempre y cuando el electrón tenga suficiente energía.

Para el GaAs a 300 K, \(N_{LO}\approx 0.33\) indica que el factor de ocupación de la emisión es aproximadamente cuatro veces mayor que el factor de absorción. Las tasas de dispersión reales también dependen de los estados electrónicos finales disponibles, como se muestra en ??. A medida que aumenta la temperatura de la red, aumenta la población de fonones, lo que intensifica la interacción y contribuye a la reducción de la movilidad de los portadores, un fenómeno que se observa comúnmente en los semiconductores polares.

El elemento de la matriz de acoplamiento de Fröhlich.

Ahora analizaremos la interacción desde un punto de vista cuántico. El acoplamiento entre un electrón y un fonón óptico longitudinal se describe mediante el elemento de matriz de Fröhlich, que, para un semiconductor polar masivo, se expresa de la siguiente manera:

\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]

Aquí, \(V\) representa el volumen de normalización del cristal y \(q\) es el vector de onda del fonón. Considerando que los estados electrónicos son ondas planas, la interacción conecta un estado inicial \(|\mathbf{k}\rangle\) con un estado final \(|\mathbf{k}'\rangle\), siempre y cuando se conserve el momento del cristal. En el caso de la absorción y emisión de fonones, respectivamente, el vector de onda final es \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}\pm\mathbf{q}\).

Teniendo en cuenta los factores de ocupación de los fonones y asumiendo que la superposición entre las partes periódicas de las funciones de Bloch inicial y final es aproximadamente igual a la unidad, los elementos de la matriz de transición al cuadrado resultan ser:

\[ |M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 = |M(q)|^2 N_{LO}, \]

\[ |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 = |M(q)|^2 (N_{LO}+1). \]

El término de absorción depende del número de fonones LO disponibles, mientras que el término de emisión incluye una contribución espontánea adicional. Estos elementos de matriz se utilizan en la regla de oro de Fermi para calcular la probabilidad de una transición entre estados electrónicos.

Desde la regla de oro de Fermi hasta una integral en el espacio k tridimensional.

Una vez que hemos determinado el elemento de la matriz de acoplamiento de Fröhlich, podemos calcular ahora la velocidad a la que un electrón se dispersa desde un estado inicial \(|\mathbf{k}\rangle\) hacia un estado final \(|\mathbf{k}'\rangle\). Como se muestra en ??, esto puede ocurrir mediante la absorción o emisión de fonones LO, de modo que el electrón gana o pierde energía \(\hbar\omega_{LO}\).

Mediante la regla de oro de Fermi, se obtiene la tasa total de dispersión sumando sobre todos los vectores de onda de fonones permitidos \(\mathbf{q}\) y sobre ambos procesos de dispersión:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau(\mathbf{k})} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}-\mathbf{q})-E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO} \big) \Big]. \end{aligned} \]

Aquí, \(\delta\) es la función delta de Dirac, que garantiza la conservación de la energía. Los elementos de la matriz de absorción y emisión, \(|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2=|M(q)|^2N_{LO}\) y \(|M_{\mathrm{em}}(q)|^2=|M(q)|^2(N_{LO}+1)\), se presentaron en la sección anterior. Asumimos que los estados electrónicos finales están desocupados, por lo que se puede ignorar el bloqueo de Pauli.

Para un cristal de tamaño suficientemente grande, los vectores de onda de fonones permitidos están muy próximos entre sí, y la suma puede reemplazarse por una integral sobre la zona de Brillouin:

\[ \sum_{\mathbf{q}} \longrightarrow \frac{V}{(2\pi)^3}\int d^3q. \]

El factor \(V\) anula la dependencia de \(1/V\) en el elemento de la matriz de Fröhlich al cuadrado, lo que da como resultado una tasa de dispersión que es independiente del volumen de normalización del cristal. Al sustituir la expresión de \(M_{\mathrm{abs}}(q)\), la tasa de absorción se convierte en:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big). \end{aligned} \]

Para evaluar esta integral, utilizamos coordenadas esféricas con el eje polar alineado a lo largo del vector de onda inicial del electrón \(\mathbf{k}\). Al integrar con respecto al ángulo azimutal, obtenemos:

\[ d^3q = 2\pi q^2\,dq\,d(\cos\theta), \]

donde \(\theta\) es el ángulo entre los vectores de onda del electrón y del fonón, \(\mathbf{k}\) y \(\mathbf{q}\). Obsérvese que la contribución de \(q^2\) procedente del elemento de volumen anula la dependencia de \(1/q^2\) del elemento de la matriz de Fröhlich. Esto simplifica considerablemente la integración restante.

Partiendo de la hipótesis de una banda de conducción parabólica e isotrópica, \(E(\mathbf{k})=\hbar^2k^2/2m^*\), el argumento de la función delta de absorción puede expresarse de la siguiente manera:

\[ \begin{aligned} &E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \\[4pt] &\qquad = \frac{\hbar^2}{2m^*} \left( 2kq\cos\theta+q^2 \right) -\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} \]

La integración sobre \(\cos\theta\) elimina la función delta y aporta un factor \(m^*/(\hbar^2kq)\), siempre y cuando la solución cumpla con \(-1\leq\cos\theta\leq1\). Esta condición restringe el rango de vectores de onda de fonones permitidos, de acuerdo con la conservación de la energía y el momento del cristal.

En el caso de la absorción de fonones, los límites permitidos son:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k'-k,\\ q_{\max} &= k'+k,\\ k' &= \sqrt{k^2+\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

En el caso de la emisión de fonones, que requiere \(E\geq\hbar\omega_{LO}\), los límites correspondientes son:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k-k',\\ q_{\max} &= k+k',\\ k' &= \sqrt{k^2-\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

La integración radial restante es sencilla:

\[ \int_{q_{\min}}^{q_{\max}} \frac{dq}{q} = \ln\left(\frac{q_{\max}}{q_{\min}}\right). \]

Al agrupar los términos y utilizar la ecuación \(\hbar k=\sqrt{2m^*E}\), donde \(E\) es la energía cinética de los portadores medida con respecto al mínimo de la banda, se obtienen las expresiones estándar en forma cerrada para las tasas de dispersión de Fröhlich. Para la absorción,

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} ={}& C(E)N_{LO} \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}+\sqrt{E} }{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}-\sqrt{E} } \right|, \end{aligned} } \]

en cuanto a las emisiones,

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)} ={}& C(E)(N_{LO}+1) \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E}+\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} }{ \sqrt{E}-\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} } \right|, \qquad E\geq\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} } \]

La tasa de emisión es cero por debajo del umbral de energía del fonón LO. En estas expresiones, el prefijo común es

\[ C(E)= \frac{e^2\omega_{LO}}{4\pi\varepsilon_0\hbar} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \sqrt{\frac{m^*}{2E}}. \]

La tasa total de dispersión de Fröhlich se calcula simplemente sumando las dos contribuciones:

\[ \boxed{ \frac{1}{\tau(E)} = \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} + \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)}. } \]

El prefractor común también puede expresarse utilizando la constante de acoplamiento adimensional de Fröhlich \(\alpha\), lo que da como resultado \(C(E)=\alpha\omega_{LO}\sqrt{\hbar\omega_{LO}/E}\). Es importante destacar dos límites. Cuando \(E\rightarrow0\), la tasa de absorción se acerca al valor finito \(2\alpha\omega_{LO}N_{LO}\). En el umbral de emisión, \(E=\hbar\omega_{LO}\), la contribución de la emisión comienza en cero y aumenta rápidamente a medida que aumenta la energía de los portadores.

Este comportamiento se puede observar directamente en ??, que muestra las tasas de absorción, emisión y dispersión total calculadas para los electrones en GaAs a 300 K. Para los electrones con alta energía, las tasas resultantes suelen estar en el rango de \(10^{12}\) a \(10^{13}\,\mathrm{s^{-1}}\), y los tiempos de emisión de fonones LO alcanzan aproximadamente los 0,1–0,2 ps. Estos procesos de emisión rápidos proporcionan un mecanismo importante a través del cual los portadores de carga energéticos transfieren energía a la red cristalina.

Desde la dispersión de las portadoras hasta la movilidad.

La dispersión de los portadores de carga desempeña un papel importante en la determinación de la movilidad eléctrica de un semiconductor. Cuando se aplica un campo eléctrico, los electrones y las lacunas se aceleran bajo la influencia de dicho campo. Sin embargo, su movimiento se ve interrumpido continuamente por las interacciones con fonones, impurezas, defectos y otros portadores. Estos procesos de dispersión impiden que los portadores se aceleren indefinidamente y determinan su velocidad de deriva promedio.

En el modelo de transporte más sencillo, la relación entre la movilidad de los portadores de carga y la dispersión se describe mediante la expresión de Drude.

\[ \boxed{ \mu = \frac{e\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*} } \]

donde \(e\) es la carga elemental, \(m^*\) es la masa efectiva de los portadores y \(\tau_{\mathrm{tr}}\) es el tiempo de relajación del momento. Físicamente, \(\tau_{\mathrm{tr}}\) describe la rapidez con la que la dispersión elimina el movimiento direccional de los portadores generados por un campo eléctrico aplicado. Un tiempo de relajación más largo generalmente conduce a una mayor movilidad, mientras que una mayor relajación del momento la reduce.

Desde la tasa de dispersión hasta la relajación del momento.

Existe una diferencia importante entre la tasa total de dispersión calculada en la sección anterior y la tasa a la que la dispersión relaja el momento de los portadores. La tasa total de dispersión, \(1/\tau(\mathbf{k})\), contabiliza todas las transiciones desde un estado electrónico inicial, independientemente de cuánto cambie la dirección del movimiento de los portadores.

Consideremos un electrón que se desplaza con un vector de onda inicial \(\mathbf{k}\). Tras un evento de dispersión, su vector de onda cambia a \(\mathbf{k}'\), formando un ángulo \(\theta_s\) con su dirección original. Para una banda parabólica isotrópica y un evento de dispersión elástica, el electrón mantiene la misma velocidad, pero solo una componente de su velocidad final permanece paralela a su dirección original. Esta componente es

\[ v_{\parallel}' = v\cos\theta_s. \]

Por lo tanto, la fracción de la velocidad original, que era dirigida, que se pierde durante el proceso de dispersión es la siguiente:

\[ \frac{v-v_{\parallel}'}{v} = \boxed{1-\cos\theta_s}. \]

Este sencillo argumento geométrico explica por qué la dispersión a través de diferentes ángulos no contribuye de manera uniforme a la relajación del momento. Por ejemplo:

• Dispersión hacia adelante (\(\theta_s=0^\circ\)): el factor de ponderación es cero, ya que el electrón continúa moviéndose en su dirección original.
• Distribución en \(90^\circ\): el factor de ponderación es uno, ya que no queda ninguna componente de la velocidad original.
• Retrodispersión (\(\theta_s=180^\circ\)): el factor de ponderación es dos, ya que el electrón invierte su dirección de movimiento.

Podemos utilizar esta dependencia angular para construir una tasa de dispersión de transporte aproximada. Para las bandas isotrópicas, una aproximación de ponderación angular que se utiliza con frecuencia es:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf{k})} \simeq \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} (1-\cos\theta_s) \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta(E'-E-\hbar\omega_{LO}) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta(E'-E+\hbar\omega_{LO}) \Big]. \end{aligned} \]

Aquí, \(\theta_s\) es el ángulo entre las velocidades inicial y final de la onda portadora. Para una banda parabólica isotrópica, estas velocidades son paralelas a sus respectivos vectores de onda. Los elementos de la matriz \(M_{\mathrm{abs}}\) y \(M_{\mathrm{em}}\) son los que se obtuvieron en la sección anterior.

En el caso de la dispersión inelástica, donde también varía la velocidad de los portadores, la ponderación angular simple es una aproximación. Un factor de proyección más general para un solo evento es \(1-(v'/v)\cos\theta_s\) para una banda isotrópica. Un tratamiento riguroso del transporte inelástico requiere resolver la ecuación de transporte de Boltzmann linealizada, que tiene en cuenta el acoplamiento entre los estados iniciales y finales de los portadores.

Esta distinción es especialmente relevante para la dispersión de Fröhlich. Dado que la interacción favorece los pequeños vectores de onda de los fonones \(q\), muchas de las transiciones implican cambios relativamente pequeños en la dirección de los portadores. Por lo tanto, la tasa total de dispersión puede ser considerablemente diferente de la tasa a la que se produce la relajación del movimiento dirigido de los portadores.

Cálculo de la movilidad a partir de la estructura de bandas.

La ecuación de Drude proporciona un punto de partida útil, pero los semiconductores reales no siempre tienen una única masa efectiva o un tiempo de relajación constante. Tanto la tasa de dispersión como la velocidad de los portadores pueden variar a lo largo de la estructura de bandas electrónicas.

Para tener en cuenta este aspecto, la movilidad puede calcularse obteniendo el promedio de las contribuciones de los estados electrónicos que participan en el transporte. Dentro del marco de la aproximación del tiempo de relajación, el tensor de movilidad electrónica es

\[ \boxed{ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})} } \]

Aquí, \(n\) representa la densidad electrónica, \(f\) representa la distribución de Fermi-Dirac, y la suma se realiza sobre las bandas electrónicas relevantes y sobre los estados de espín o de valle que se representan explícitamente. La velocidad de grupo de cada estado se obtiene a partir de la dispersión de la banda.

\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]

La derivada de la distribución de Fermi-Dirac determina qué estados electrónicos contribuyen a la respuesta eléctrica. A continuación, la integral combina sus velocidades y tiempos de relajación del transporte para obtener la movilidad total.

Este enfoque es especialmente útil para las estructuras de bandas numéricas, como las calculadas mediante la teoría \(k\cdot p\), ya que las velocidades dependientes de la energía se pueden obtener directamente de la dispersión calculada, en lugar de asumir una masa efectiva constante. También permite incluir diferentes mecanismos de dispersión a través de sus contribuciones al tiempo de relajación del transporte. Los cálculos relacionados con la movilidad basados en la estructura de bandas se demuestran en el tutorial Si/SiGe Δ-valley electron-mobility y en el tutorial Si/SiGe six-band Luttinger–Kohn hole-mobility. Estos ejemplos de silicio utilizan mecanismos de dispersión no polares en lugar de la dispersión de Fröhlich, pero ilustran la misma progresión, desde la estructura de bandas electrónicas y las tasas de dispersión hasta la movilidad de los portadores.