Pozo cuántico de silicio/SiGe: Tutorial sobre la teoría de Luttinger-Kohn para describir los estados de hueco en seis bandas.

1. Introducción

Nuestro/Nuestra tutorial sobre el valle de silicio en forma de delta examinó electrones en un pozo cuántico de Si/SiGe. Este tutorial analiza el otro aspecto de su estructura electrónica: huecos en la banda de valenciaAunque la estructura de capas es similar, la física subyacente es bastante diferente. Un electrón cerca de un valle de conducción individual de silicio puede describirse utilizando una masa efectiva anisotrópica; la parte superior de la banda de valencia contiene varios estados cercanos que interactúan entre sí. Por lo tanto, una única parábola de huecos no proporciona información importante.

Aquí utilizamos el modelo de seis bandas de Luttinger-Kohn (LK6) de OghmaNano para calcular las subbandas de huecos confinados en una capa de silicio de 10 nm situada entre dos capas de SiGe de 20 nm. A continuación, ampliamos el cálculo más allá de las energías de la banda: el ejemplo también evalúa la dispersión de fonones acústicos, la ocupación de huecos y la movilidad resultante en el plano. Puede utilizar el ejemplo predeterminado que se proporciona sin tener que construir la estructura desde cero.

2. Abrir el ejemplo de las seis bandas.

Seleccione Archivo → Nueva simulación. En el navegador de ejemplos, haga doble clic en los ejemplos de GaAs (??). Esta carpeta también contiene las plantillas de pozos cuánticos semiconductores, incluidos los ejemplos de silicio. En la siguiente ventana, haga doble clic en Strained Si/SiGe Valence-Band Quantum Well (LK6) (??). Tenga cuidado de elegir el ejemplo de la banda de valencia: la plantilla Delta-Valley adyacente calcula los electrones de conducción del silicio en su lugar.

3. Inspección de la estructura Si/SiGe y de sus parámetros de material.

La ventana principal muestra una representación tridimensional del ejemplo (??). Las cargas se confinan en las capas, que denominamos dirección z, pero conservan libertad de movimiento en el plano x-y. Haga clic en «Editor de capas» para ver los espesores reales y la asignación de la capa central como pozo cuántico.

La columna de materiales ópticos que se muestra en ?? no sustituye a la revisión de las definiciones de los materiales electrónicos. Los desplazamientos en el borde de la banda, la composición de la aleación y cualquier ajuste de tensión afectan al potencial de confinamiento real, por lo que conserve la configuración proporcionada en el ejemplo para su primera ejecución.

Abra los parámetros eléctricos y seleccione Si (QW) (??). La captura de pantalla muestra el parámetro de Luttinger gamma1 y su referencia bibliográfica. A diferencia de un modelo de un solo nivel de electrones, el cálculo de la banda de valencia utiliza tres parámetros de Luttinger para describir sus ramas acopladas de agujeros pesados, agujeros ligeros y ramas separadas. También requiere la separación espín-órbita y, cuando se activa la deformación, los parámetros de potencial de deformación adecuados.

4. ¿Por qué la banda de valencia necesita seis componentes?

Cerca del máximo de la banda de valencia del silicio, existen dos familias conocidas de estados de huecos: huecos pesados (HH) y huecos ligeros (LH). Una tercera familia, de menor energía y separada (SO), surge a través de la interacción espín-órbita. Cada familia tiene dos estados base relacionados con el espín, lo que da lugar a los seis componentes del modelo LK6. Estos son los componentes base de una función de onda acoplada, que no necesariamente corresponden a seis bandas parabólicas que se mueven de forma independiente.

La función de envolvente del pozo cuántico puede representarse esquemáticamente como un vector columna de seis componentes.

\[ \Psi(z)=\begin{pmatrix} F_{\mathrm{HH}+}(z) & F_{\mathrm{LH}+}(z) & F_{\mathrm{SO}+}(z) & F_{\mathrm{HH}-}(z) & F_{\mathrm{LH}-}(z) & F_{\mathrm{SO}-}(z) \end{pmatrix}^{\!T}. \]

Aquí, las etiquetas indican la característica principal del conjunto de base del momento angular subyacente. A medida que cambia el momento en el plano, los componentes generalmente se mezclan, por lo que un estado propio que inicialmente se describe como similar a HH no tiene por qué seguir siendo puramente similar a un agujero pesado a valores más grandes del vector de onda. El problema que resuelve la computadora tiene la siguiente forma:

\[ \left[H_{\mathrm{LK}}(k_x,k_y,-i\partial_z) +H_{\mathrm{BP}}(\varepsilon)+V_v(z)I_6\right]\Psi =E(k_x,k_y)\Psi. \]

El término de Luttinger-Kohn describe la energía cinética y la mezcla de los estados de valencia; el término de Bir-Pikus describe su respuesta a la deformación; y \(V_v(z)\) representa el perfil de confinamiento de la banda de valencia. El modelo mantiene el acoplamiento entre los componentes de la base, en lugar de asignar una masa constante independiente a HH, LH y SO. No es necesario que construya esta matriz manualmente para el tutorial; consulte la página de la teoría LK6 para obtener el Hamiltoniano detallado.

A modo de comparación, incluso una aproximación simplificada y generalizada ilustra por qué los tres parámetros de Luttinger son importantes: a lo largo de una dirección cúbica principal, las curvaturas de los huecos pesados y ligeros están relacionadas con diferentes combinaciones de los parámetros, según se muestra esquemáticamente.

\[ \frac{m_0}{m_{\mathrm{HH}}^{*}}\simeq\gamma_1-2\gamma_2, \qquad \frac{m_0}{m_{\mathrm{LH}}^{*}}\simeq\gamma_1+2\gamma_2. \]

Estos son ejemplos útiles de relaciones limitantes, pero no constituyen una instrucción para sustituir el cálculo completo de la estructura cuántica de seis bandas por dos parábolas separadas. En la estructura confinada, el ancho de la capa, el acoplamiento espín-órbita, la tensión y el momento en el plano determinan los valores propios reales y su evolución.

5. Ejecutar el cálculo.

Vuelva a la pestaña «Archivo» y pulse «Ejecutar simulación». OghmaNano primero calcula los estados de valencia restringidos de LK6 a lo largo de una secuencia de vectores de onda en el plano. Puede seguir el cálculo en la pestaña «Terminal» (??). Las energías que se muestran target son los objetivos internos del solucionador de autovalores; los mensajes de convergencia que se muestran indican que los autoestados solicitados se han encontrado numéricamente.

Espere a que el programa termine de resolver el problema. El proceso de dispersión requiere más tiempo porque es necesario evaluar las transiciones entre los estados electrónicos iniciales ocupados y los estados electrónicos finales disponibles, en lugar de simplemente determinar las energías de las subbandas.

6. Análisis de la dispersión calculada de la banda de valencia.

Abra la pestaña «Salida». Los archivos resultantes incluyen gráficos relacionados con las bandas, así como carpetas de dispersión y movilidad (??). Abra el resultado correspondiente a la banda de valencia para obtener ??.

En \(k_{\parallel}=0\), el confinamiento determina la energía inicial discreta de cada subbanda. Al pasar a un \(k_{\parallel}\) finito, las ramas se curvan hacia abajo según la convención de energía electrónica que se muestra, con una curvatura y separación ligeramente diferentes. Los pares de líneas cercanos son coherentes con pares relacionados con el espín (Kramers) en un cálculo con simetría de inversión temporal; no deberían asignarse automáticamente a diferentes tipos de huecos.

Una forma útil de comprender este concepto es recordar que un «hueco» es la ausencia de un electrón en la banda de valencia. Por lo tanto, la energía del hueco puede expresarse en relación con una referencia de la banda de valencia elegida, de la siguiente manera:

\[ E_h(\mathbf{k}_{\parallel})=E_{v,\mathrm{ref}}-E_v(\mathbf{k}_{\parallel}). \]

Por lo tanto, una rama de electrones de valencia que se curva hacia abajo, alejándose de su punto máximo, corresponde a un aumento en la energía de excitación de los huecos. El carácter real de cada rama (banda de máxima valencia/banda de mínima valencia/interacción espín-órbita) se determina a partir del vector propio de seis componentes, y no solo a partir de su color o curvatura.

Vale la pena comparar este resultado con la dispersión de la banda de conducción en el tutorial valle delta de silicio. En ese caso, las diferentes orientaciones de los valles se tratan utilizando masas de electrones anisotrópicas; aquí, los estados de huecos se acoplan directamente en el hamiltoniano de valencia multibanda.

7. Dispersión acústica de fonones y tiempo de vida de los huecos.

La estructura de bandas nos indica qué estados de hueco están disponibles, pero por sí sola no puede predecir con qué rapidez un hueco pierde su momento. En este ejemplo, OghmaNano utiliza los estados confinados calculados para evaluar la dispersión acústica de fonones. Un fonón acústico produce un pequeño campo de deformación en el cristal, lo que perturba las bandas de valencia y puede transferir un hueco de un estado inicial \(i\) a un estado final \(f\).

Abra la carpeta de dispersión en la pestaña de resultados (??). Los archivos numerados representan los estados calculados. Por ejemplo, la captura de pantalla que se proporciona de si_lk6_acoustic_tau_02.csv muestra la vida útil de la dispersión acústica en función del vector de onda en el plano.

El punto de partida fundamental es la regla de oro de Fermi.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle\Psi_f|H_{\mathrm{e-ph}}|\Psi_i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}). \]

El elemento de la matriz describe la intensidad con la que una vibración de la red acopla los dos estados de hueco; la función delta representa la conservación de la energía durante la absorción o emisión de fonones. En un modelo de valencia de seis bandas, el acoplamiento depende de las funciones de onda de hueco multicomponente, por lo que las transiciones permitidas se ven influenciadas por la mezcla HH/LH/SO, así como por las energías finales disponibles. La salida que se presenta aquí se refiere a la aproximación de fonones acústicos utilizada en este ejemplo.

La suma de las transiciones permitidas da como resultado la tasa total de eventos \(\Gamma_i\), junto con su vida útil correspondiente.

\[ \Gamma_i=\sum_f W_{i\rightarrow f},\qquad \tau_i=\frac{1}{\Gamma_i}\quad(\Gamma_i\gt 0). \]

El tiempo de vida que se muestra en ?? no es constante. Varía a medida que el vector de onda se desplaza a través de las diferentes partes de la dispersión de valencia acoplada. El valor cero que se muestra en el primer punto muestreado debe considerarse como una convención de límite/salida o un valor que requiere ser examinado, y no como prueba de que el tiempo de vida de la dispersión desaparece físicamente en el punto exacto \(k_{\parallel}=0\).

Existe otra distinción importante para el transporte: no todas las colisiones relajan la corriente de la misma manera. La dispersión en ángulos pequeños puede modificar el estado microscópico, pero tiene una influencia relativamente pequeña en la dirección general del movimiento. Por lo tanto, a menudo se representa esquemáticamente una tasa ponderada por el transporte como:

\[ \Gamma_{\mathrm{tr},i}=\sum_f W_{i\rightarrow f} \left(1-\cos\theta_{if}\right),\qquad \tau_{\mathrm{tr},i}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr},i}}. \]

La expresión angular ilustra el principio de relajación del momento; para las bandas mixtas anisótropas, el cálculo completo del transporte debe utilizar las velocidades y los factores de ponderación adecuados. Por este motivo, el resultado separa las tasas o tiempos de vida de la dispersión acústica de las cantidades relacionadas con el transporte, en lugar de utilizar un único valor para todos los propósitos.

8. De la densidad de huecos y el nivel de Fermi a la movilidad.

Para obtener una propiedad de transporte cuantificable, debemos combinar la información sobre la dispersión con el número de huecos que ocupan cada parte de cada subbanda. Por lo tanto, el tutorial incluye un análisis de la densidad de huecos en la lámina \(p_{2D}\), expresada en unidades de m−2.

El nivel de Fermi indica cuáles son los estados electrónicos que están ocupados. Para una energía de electrones de valencia \(E_v\), la ocupación en equilibrio del estado de hueco correspondiente se puede expresar de la siguiente manera:

\[ f_h(E_v)=1-f_e(E_v) =\frac{1}{1+\exp\!\left[(E_F-E_v)/(k_B T)\right]}. \]

Aumentar la densidad de los orificios en la lámina modifica el potencial químico en relación con los estados de valencia, lo cual se ilustra en el gráfico de la izquierda. Los valores energéticos numéricos exactos dependen de la referencia utilizada por el modelo; la dirección del barrido y las poblaciones resultantes son los elementos centrales.

OghmaNano calcula entonces la velocidad y el tiempo de relajación del transporte de los estados poblados para obtener la conductividad de la lámina en el plano \(\sigma_{2D}\). La movilidad de los huecos correspondiente es:

\[ \mu_h=\frac{\sigma_{2D}}{q\,p_{2D}}, \qquad \sigma_{2D}\sim q^2\sum_n\int \frac{d^2 k_{\parallel}}{(2\pi)^2} \,v_{n,x}^{2}\,\tau_{\mathrm{tr},n} \left(-\frac{\partial f_e}{\partial E}\right). \]

Aquí, \(v_{n,x}\) representa la velocidad de grupo en el plano de la subbanda \(n\), y la integral indica que los estados con diferentes vectores de onda contribuyen de manera diferente a la corriente. La gráfica de movilidad (??) muestra una ligera disminución en el rango de densidad mostrado (aproximadamente de 0,165 a 0,151 m2 V−1 s−1). Este es un resultado obtenido para el ejemplo configurado y su física de dispersión incluida, y no representa una ley universal de movilidad de huecos en el silicio ni una predicción que incorpore todos los mecanismos de pérdida experimentales.

9. Pruébalo tú mismo.

Con esto se completa la serie introductoria de seis modelos sobre pozos cuánticos. La formulación matemática completa y el significado de los parámetros del material se describen en el capítulo sobre la teoría de Luttinger-Kohn con seis bandas y el Capítulo sobre la cepa Bir-Pikus.