Epitaxia pseudomórfica y tensores de deformación

Cuando se deposita una capa sobre un sustrato con una constante de red diferente, esta se deforma para adaptarse al espaciamiento en el plano del sustrato. Esta deformación pseudomórfica no es un problema que deba evitarse, sino una herramienta de diseño que modifica los límites de banda, divide las bandas de huecos pesados y ligeros y ajusta la longitud de onda y la polarización de la emisión. En esta página se deriva el tensor de deformación que utiliza OghmaNano y se explica cómo se aplica a los hamiltonianos k·p.

1. Crecimiento pseudomórfico

Por debajo de un grosor crítico, se forma una capa delgada que crece de manera coherente: sus filas atómicas en el plano se alinean con el sustrato, por lo que su constante de red en el plano se ve obligada a adoptar la del sustrato, mientras que se relaja libremente a lo largo de la dirección de crecimiento. Por lo tanto, la tensión en el plano es...

\[ \varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} = \frac{a_{\text{sub}} - a_{\text{layer}}}{a_{\text{layer}}}, \]

donde \(a_{\text{sub}}\) y \(a_{\text{layer}}\) son las constantes de la red cristalina del sustrato y de la capa, respectivamente, en estado no tensionado. Si el espaciamiento natural de la capa supera el del sustrato (\(a_{\text{layer}} > a_{\text{sub}}\)), la tensión en el plano es negativa y la capa está sometida a una tensión de compresión; lo contrario produce una tensión de tracción. OghmaNano señala un error si faltan las constantes de la red cristalina o las constantes elásticas, ya que, en ese caso, no se puede definir la tensión.

2. La deformación fuera del plano.

A lo largo de la dirección de crecimiento, la capa está libre, por lo que no hay tensión perpendicular a la superficie: \(\sigma_{zz}=0\). Para un cristal cúbico que crece en el plano [001], la ley de Hooke relaciona la tensión normal con las deformaciones a través de las constantes elásticas \(C_{11}\) y \(C_{12}\).

\[ \sigma_{zz} = C_{11}\varepsilon_{zz} + C_{12}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}) = 0. \]

Establecer \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}\) y resolver la ecuación da como resultado la relación que utiliza OghmaNano.

\[ \varepsilon_{zz} = -\,\frac{2 C_{12}}{C_{11}}\,\varepsilon_{xx}. \]

Por lo tanto, esta capa se deforma en direcciones opuestas a lo largo de... \(z\): una capa sometida a tensión compresiva (\(\varepsilon_{xx}\)<0\)) stretches along the growth direction (\(\varepsilon_{zz}>0), e inversamente. Para el crecimiento en [001], los componentes de cizalladura... \(\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{xz}, \varepsilon_{yz}\) todos son cero, por lo que la deformación es puramente biaxial.

3. Componentes sujetos a pruebas hidrostáticas y biaxiales.

Es útil dividir la deformación en una parte hidrostática, que modifica el volumen, y una parte biaxial (de cizallamiento), que modifica la forma. La parte hidrostática es la traza.

\[ \mathrm{Tr}(\varepsilon) = \varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} = 2\varepsilon_{xx}\left(1 - \frac{C_{12}}{C_{11}}\right), \]

Esto modifica la banda prohibida a través de los potenciales de deformación. La parte biaxial, que es proporcional a \(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}\), no altera el volumen, pero elimina la degeneración de las bandas de valencia y, en el caso del silicio, divide los valles de conducción. Las dos partes actúan a través de diferentes términos del hamiltoniano, por lo que se pueden analizar de forma independiente.

4. Efecto sobre los bordes de la banda.

El componente hidrostático desplaza la banda de conducción en \(a_c\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) y la banda de valencia media en \(a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\), lo que modifica la separación entre bandas. El componente biaxial actúa sobre la banda de valencia a través de los potenciales de deformación por cizallamiento \(b\) y \(d\) (estructura de tipo zincblenda) y divide los huecos pesados y ligeros. La deformación compresiva suele desplazar el hueco pesado hacia la parte superior, favoreciendo la emisión TE; la deformación tensiva puede desplazar el hueco ligero hacia la parte superior, favoreciendo la emisión TM. Los operadores precisos son el tema de la página Bir–Pikus, y se resume allí y en las páginas del modelo cómo cada solucionador utiliza el tensor de deformación (zincblenda, wurtzita, silicio, Luttinger–Kohn).