Funciones base, funciones envolventes y hamiltonianos multibanda.

Para transformar un hamiltoniano de tipo k·p en un problema de pozo cuántico, se necesitan dos elementos: la aproximación de la función de envolvente, que permite que una matriz volumétrica describa una estructura que varía espacialmente, y una base consistente en la que se pueda expresar la matriz. En esta página se reúnen ambos elementos y se registran los órdenes exactos de la base que utiliza OghmaNano, de modo que las páginas específicas del modelo puedan remitirse a una única definición.

1. Tres tipos de función.

Vale la pena distinguir tres conceptos que a menudo se confunden. La función de Bloch \(\psi_{n\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}\) es el estado propio exacto del cristal. La función periódica de la celda \(u_{n0}\) en el centro de la zona es una de las funciones base fijas: de tipo «s» para la banda de conducción y de tipo «p» (\(X,Y,Z\)) para la banda de valencia. La función envolvente \(F_n(z)\) es una amplitud de variación lenta que multiplica cada función base y transmite el efecto del confinamiento. En una heteroestructura, el estado completo es la suma de las funciones base.

\[ \Psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}_\parallel\cdot\boldsymbol{\rho}} \sum_n F_n(z)\, u_{n0}(\mathbf{r}), \]

y es el conjunto de envolventes \(\{F_n(z)\}\) el que calcula el algoritmo.

2. La aproximación mediante la función envolvente.

La aproximación de la función envolvente se basa en dos supuestos: que se pueden utilizar las mismas funciones base del centro de la zona \(u_{n0}\) en cada capa y que los parámetros del material (banda prohibida, masas, parámetros de Kane y Luttinger) varían con la posición en una escala mucho mayor que la constante de red. La matriz k·p del material se convierte entonces en un operador diferencial que actúa sobre las funciones envolvente, con coeficientes que dependen de la posición. El cambio fundamental es que el vector de onda en la dirección de crecimiento se convierte en un operador diferencial.

\[ k_z \;\longrightarrow\; -i\,\frac{d}{dz}, \]

Mientras que los vectores de onda en el plano \(k_x, k_y\) siguen siendo buenos números cuánticos, ya que la estructura es invariante a las traslaciones en el plano. Cada \(k_z\) en el hamiltoniano se reemplaza por este operador, y cada \(k_z^2\) por la segunda derivada simétrica de la página anterior. Los productos como \(k_x k_z\) se convierten en \(k_x(-i\,d/dz)\), y se simetrizan de modo que el operador siga siendo hermitiano cuando el coeficiente varía. El resultado es una ecuación diferencial matricial para las envolventes, que se discretiza según se describe en la página de diferencias finitas.

3. Lectura de una matriz hamiltoniana en bloques.

Un hamiltoniano multibanda se interpreta mejor como un pequeño número de bloques antes de analizar sus elementos individuales. La división más general separa los estados de tipo conductor de los estados de tipo valencia.

\[ H = \begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv} \\[2pt] H_{vc} & H_{vv} \end{pmatrix}, \]

donde \(H_{cc}\) describe los estados de conducción similares a los de la banda s, \(H_{vv}\) los estados de valencia similares a los de la banda p y \(H_{cv}=H_{vc}^\dagger\) el acoplamiento de momento de Kane entre ellos. El bloque de conducción es, en esencia, un operador de masa efectiva (no parabólico); el bloque de valencia contiene la física de los huecos pesados, los huecos ligeros y los estados de división; y el bloque de acoplamiento es lo que hace que el modelo sea «multibanda» en el sentido estricto, relacionando la no parabolicidad de la conducción con la estructura de valencia. Los términos de deformación y de interacción espín-órbita se añaden a los bloques correspondientes.

4. Tipos de pedidos básicos utilizados por OghmaNano.

El valor numérico de un elemento de la matriz hamiltoniana depende del orden en que se enumeran los estados base. OghmaNano utiliza una base orbital cartesiana fija para los modelos de zincblenda y wurtzita, y la base de momento angular total para el modelo de Luttinger-Kohn. Los órdenes son los siguientes:

• Zincblenda de 8 bandas y wurtzita de 8 bandas: \(\{\,|S\!\uparrow\rangle,\ |S\!\downarrow\rangle,\ |X\!\uparrow\rangle,\ |Y\!\uparrow\rangle,\ |Z\!\uparrow\rangle,\ |X\!\downarrow\rangle,\ |Y\!\downarrow\rangle,\ |Z\!\downarrow\rangle\,\}\).
• Zincblenda de 10 bandas: las ocho mencionadas anteriormente, seguidas de dos estados de nitrógeno localizados \(\{\,|N\!\uparrow\rangle,\ |N\!\downarrow\rangle\,\}\).
• Modelo de Luttinger-Kohn de 6 bandas: \(\{\,\text{HH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\downarrow,\ \text{HH}\!\downarrow,\ \text{SO}\!\uparrow,\ \text{SO}\!\downarrow\,\}\).
• Valle delta de silicio: una única banda (escalar) por valle, que se resuelve una sola vez para cada una de las seis orientaciones del valle.

El uso de los orbitales cartesianos \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) en lugar de las combinaciones de momento angular total \(|J,m_j\rangle\) permite que los acoplamientos de momento y de deformación sean reales y fáciles de ensamblar, aunque esto implica que el acoplamiento espín-órbita se presenta como un término explícito fuera de la diagonal. El modelo de Luttinger-Kohn, en cambio, utiliza la base \(|J,m_j\rangle\), en la que el acoplamiento espín-órbita es diagonal, pero los términos cinéticos adoptan la forma clásica \(P,Q,R,S\). Ambas opciones son físicamente equivalentes; cada una es conveniente para un modelo diferente, y ambas están documentadas en sus respectivas páginas.