Cuantos de silicio y los seis valles de la banda de conducción

¿Por qué el silicio es diferente del arseniuro de galio?

En tutorial sobre bandas parabólicasdescribimos una estructura cuántica de pozo utilizando el mínimo de la banda de conducción y una única masa efectiva. Este es un buen punto de partida para un material de banda prohibida directa, como el GaAs, cuyo estado de conducción más bajo se encuentra en el centro de la zona de Brillouin (el punto Gamma). El silicio requiere una idea adicional: sus estados de conducción más bajos se encuentran lejos de Gamma.

En lugar de tener un único mínimo en la banda de conducción, el silicio presenta seis mínimos equivalentes, que se denominan convencionalmente «valles delta» (Δ). Como se muestra en ??, estos valles se encuentran a lo largo de las direcciones positivas y negativas de los tres ejes cúbicos: +x, −x, +y, −y, +z y −z. Cada valle es una región de la estructura de bandas en la que los electrones pueden ocupar estados cercanos a un mínimo local de energía.

En un cristal de silicio puro, sin tensiones, la simetría hace que los seis mínimos tengan la misma energía. Sin embargo, cuando el silicio se transforma en un pozo cuántico, su espesor finito hace que una dirección en particular destaque. Algunos de estos mínimos reaccionan de manera diferente a la restricción, aunque pertenecían al mismo grupo de energía en el material original.

¿Qué representa realmente un valle?

Un valle no es una cavidad física dentro del silicio. Es un mínimo en un gráfico que representa la energía de los electrones en función del vector de onda del cristal. Si analizamos la estructura de bandas cerca de uno de estos mínimos, su energía vuelve a tener una forma aproximadamente parabólica. Sin embargo, a diferencia de la única parábola isotrópica que utilizamos en nuestro modelo introductorio, la curvatura de un valle en el silicio depende de la dirección en la que nos movemos en el espacio recíproco.

Podemos imaginar la superficie de energía constante que rodea cada mínimo como un elipsoide alargado, que se muestra esquemáticamente en la figura anterior. La dirección más larga de este elipsoide define el eje del valle. La masa efectiva correspondiente se denomina masa longitudinal, mientras que las masas en las dos direcciones perpendiculares se denominan masas transversales.

Es importante distinguir la posición de un valle en el espacio recíproco de la trayectoria de un electrón en el espacio real. Un valle en +z no significa que los electrones solo puedan desplazarse hacia arriba a través de un dispositivo; significa que el mínimo que se describe se encuentra a lo largo de la dirección +z de la estructura de bandas del cristal. El movimiento de los electrones alrededor de ese mínimo sigue teniendo tres componentes direccionales, con diferentes masas efectivas.

Masa efectiva longitudinal y transversal

En las proximidades de un mínimo determinado en el valle, la energía del electrón puede representarse mediante una aproximación parabólica anisotrópica. Para un valle cuyo eje se encuentra a lo largo del eje z, podemos escribir:

\[ E(\mathbf{q})=E_{c,\Delta} +\frac{\hbar^2 q_x^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_y^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_z^2}{2m_l}. \]

Aquí, \(\mathbf{q}\) mide el vector de onda en relación con el centro de ese valle específico, en lugar de en relación con Gamma. El símbolo \(E_{c,\Delta}\) representa la energía en el punto mínimo del valle. El silicio tiene dos masas características:

• Masa longitudinal, \(m_l\): la masa efectiva a lo largo del eje del valle, aproximadamente \(0.916m_0\).
• Masa transversal, \(m_t\): la masa efectiva en cualquiera de las direcciones perpendiculares, aproximadamente \(0.190m_0\).

La masa longitudinal es considerablemente mayor que la masa transversal. En consecuencia, la energía aumenta a diferentes ritmos, dependiendo de la dirección del movimiento. La misma expresión se aplica a un valle orientado en el eje x o en el eje y, después de asignar la masa longitudinal al eje correspondiente.

Esta diferencia es lo que hace que los pozos cuánticos de silicio sean interesantes: la masa efectiva relevante para el confinamiento depende del valle que se esté considerando.

¿Qué ocurre cuando creamos un pozo cuántico de silicio?

Consideremos una capa de silicio confinada entre barreras adecuadas, como una heteroestructura Si/SiGe. Asumiremos que su dirección de crecimiento y su grosor son en la dirección z, y que las capas semiconductoras se extienden a lo largo del plano x-y. Como en nuestra introducción anterior introducción al pozo cuántico, el movimiento a través de la capa se cuantifica, mientras que el movimiento paralelo a la capa permanece libre. Pero ahora, los seis valles no tienen todos la misma masa en la dirección de confinamiento.

Los dos valles cuyos ejes apuntan en las direcciones +z y −z tienen una gran masa longitudinal. \(m_l\) en la dirección del confinamiento. Los otros cuatro valles, orientados a lo largo de los ejes ±x e ±y, tienen una menor masa transversal. \(m_t\) en esa dirección. Para el crecimiento con orientación [001], estos dos grupos se denominan:

• Δ₂: los dos valles alineados con la dirección de crecimiento (+z y −z).
• Δ₄: las cuatro depresiones o valles cuyos ejes son paralelos a la capa (±x e ±y).

¿Por qué es importante esta diferencia? Recordemos el resultado correspondiente a la energía más baja de un pozo cuántico infinito:

\[ E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m_z L^2}. \]

Aquí \(m_z\) ¿cuál es la masa efectiva en toda la región del pozo? \(L\) es el ancho del pozo. La ecuación nos indica que una mayor masa de confinamiento produce una menor energía de confinamientoAsumiendo que todos los demás factores son iguales, los estados Δ₂ tienen, por lo tanto, energías de confinamiento más bajas que los estados Δ₄ en un pozo cuántico [001]. El confinamiento por sí solo puede separar los mínimos de sus subbandas, incluso antes de que introduzcamos la deformación.

Tenga en cuenta que no estamos afirmando que un valle esté completamente confinado o completamente libre. Los seis valles experimentan un confinamiento a lo largo del eje z; simplemente, lo experimentan con diferentes masas efectivas. Sus dispersiones de energía paralelas a las capas también son diferentes, ya que cada valle tiene su propia asignación de masas longitudinales y transversales.

¿Cómo afecta la deformación a los niveles de energía del valle?

Existe otra forma importante de controlar estos valles. Cuando se hace crecer una fina capa de silicio sobre un material con una constante de red diferente, su estructura cristalina puede estirarse o comprimirse. Esto se conoce como tensión. Dado que la tensión modifica el entorno cristalino, desplaza los mínimos de la banda de conducción. Este desplazamiento no tiene por qué ser el mismo para todos los valles.

En el modelo del valle delta de silicio, el desplazamiento de energía se expresa de la siguiente manera:

\[ \boxed{ \Delta E_{c,i}= \Xi_d\,\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\,\varepsilon_{ii} } \]

Aunque la notación pueda parecer compleja, esta ecuación solo incluye dos efectos físicos. El tensor de deformación \(\varepsilon\) describe cómo se deforma el cristal, y su traza es la suma de los tres componentes de la deformación normal:

\[ \operatorname{Tr}(\varepsilon) =\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}. \]

• \(\Xi_d\), el potencial de deformación dilatacional: multiplica la deformación total relacionada con el volumen y desplaza los seis valles en la misma cantidad.
• \(\Xi_u\), el potencial de deformación uniaxial: multiplica la deformación a lo largo del eje propio de cada valle, lo que permite que diferentes orientaciones de los valles se desplacen en diferentes grados.

En el segundo término, el índice \(i\) identifica el eje del valle: un valle orientado en el eje x utiliza \(\varepsilon_{xx}\), un valle orientado en el eje y utiliza \(\varepsilon_{yy}\) y un valle orientado en el eje z utiliza \(\varepsilon_{zz}\). Los valles positivos y negativos que se encuentran en el mismo eje reciben el mismo desplazamiento en este modelo.

¿Por qué se producen las separaciones Δ₂ y Δ₄?

El ejemplo más común es una [001] capa de silicio sometida a tensión biaxial. La tensión es la misma en ambas direcciones paralelas a las capas, por lo que \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}=\varepsilon_{\parallel}\). La tensión perpendicular a ellas, \(\varepsilon_{zz}\), suele ser diferente porque el cristal se relaja elásticamente en esa dirección.

Por lo tanto, nuestra ecuación de deformación produce un desplazamiento para las dos regiones Δ₂ y otro para las cuatro regiones Δ₄:

\[ \begin{aligned} \Delta E_{\Delta_2} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{zz},\\[5pt] \Delta E_{\Delta_4} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{\parallel}. \end{aligned} \]

Restar estas dos expresiones hace que la razón de la separación quede particularmente clara: la contribución común a la dilatación se anula, dejando

\[ \boxed{ \Delta E_{\Delta_2}-\Delta E_{\Delta_4} =\Xi_u\big(\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{\parallel}\big) }. \]

En el caso habitual de deformación uniaxial de tracción en el plano en el silicio, la deformación perpendicular es de compresión. Con el valor positivo convencional de \(\Xi_u\), los mínimos de Δ₂ se desplazan hacia abajo en relación con los de Δ₄, como se muestra en ??. Esto modifica la forma en que los electrones se distribuyen entre los diferentes mínimos disponibles.

Ahora podemos observar que un pozo cuántico de silicio se ve afectado por dos mecanismos distintos: la energía de confinamiento, que depende de la orientación y que se ha comentado anteriormente, y el desplazamiento, también dependiente de la orientación, causado por la tensión. Ambos contribuyen a las posiciones finales de las subbandas Δ₂ y Δ₄.

¿Cómo calcula OghmaNano los pozos cuánticos de silicio?

La descripción de los seis valles podría parecer, en un principio, un problema complejo que involucra múltiples bandas, pero cada valle puede tratarse utilizando el mismo concepto de masa efectiva escalar que se introdujo en nuestra página sobre banda parabólica. La diferencia clave es que cada valle tiene una masa direccional diferente y, posiblemente, un borde de banda desplazado por la tensión diferente.

Para un valle determinado, OghmaNano resuelve la ecuación unidimensional de la función envolvente en todo el pozo cuántico:

\[ -\frac{\hbar^2}{2}\frac{d}{dz} \left[\frac{1}{m_z(z)}\frac{d\psi(z)}{dz}\right] +V_{\Delta}(z)\psi(z)=E\psi(z). \]

La masa efectiva \(m_z(z)\) se selecciona en función de la orientación del valle y del material semiconductor local, mientras que \(V_{\Delta}(z)\) incluye el perfil relevante del borde de la banda y el desplazamiento debido a la tensión. A continuación, se añade el movimiento en el plano con las masas adecuadas en las direcciones x e y:

\[ E_n(k_x,k_y)=E_n(0,0) +\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y}. \]

En una estructura [001], los valles +z y −z tienen la misma asignación de masa en esta aproximación de valles independientes, y de manera similar, los pares ±x y ±y pueden agruparse según su orientación. Por lo tanto, el cálculo produce las energías de confinamiento y las dispersiones en el plano asociadas con los seis valles de silicio, sin necesidad de utilizar un único hamiltoniano acoplado de gran tamaño. Se presenta un ejemplo completo de Si/SiGe que utiliza este modelo en el tutorial sobre la estructura cuántica de pozo en forma de valle en silicio.

Sin embargo, existe una limitación importante. En este modelo, las dos regiones opuestas a lo largo del mismo eje se consideran estados independientes equivalentes. Cualquier división adicional causada por las interfaces de precisión atómica que conectan las regiones +z y −z no se describe mediante la sencilla ecuación de masa y deformación mencionada anteriormente. Esto requiere un tratamiento explícito de la interacción entre las regiones.

¿Por qué es útil la técnica de dividir el valle?

Al modificar la posición relativa de los grupos Δ₂ y Δ₄, se altera la configuración de los estados electrónicos que se ocupan a una temperatura y densidad de portadores determinadas. Dado que los grupos de valle tienen diferentes masas de transporte, modificar sus poblaciones relativas puede alterar el transporte paralelo a las capas del semiconductor. Este es uno de los conceptos físicos importantes que subyacen a las estructuras de silicio deformado y a las heterostructures Si/SiGe.

El silicio también sirve para ilustrar una lección más amplia sobre el modelado de pozos cuánticos: conocer el grosor y el desplazamiento de banda de una capa no siempre es suficiente. También debemos saber dónde se producen los mínimos de banda en el espacio recíproco, cómo depende la masa efectiva de la dirección y cómo cambia el cristal bajo tensión.