Comprensión del modelo de valencia de Luttinger-Kohn de seis bandas

¿Por qué necesitamos un modelo independiente para los agujeros?

En tutorial sobre bandas parabólicasutilizamos parábolas separadas para describir el comportamiento de los electrones y las lacunas. Este es un buen punto de partida, pero las bandas de valencia superiores de muchos semiconductores son considerablemente más complejas. En lugar de una única banda de lacunas, encontramos varias bandas muy próximas entre sí que pueden interactuar.

Estos se denominan convencionalmente bandas de hueco pesado (HH), hueco ligero (LH) y hueco dividido (SO), como se ilustra en ??. Los términos «pesado» y «ligero» se refieren a sus diferentes curvaturas de banda y, por lo tanto, a sus diferentes masas efectivas; no significan que existan dos tipos físicos diferentes de hueco.

El modelo de Luttinger-Kohn (LK) de seis bandas describe estos estados de valencia en conjunto. Es especialmente útil para pozos cuánticos de silicio, germanio y SiGe, donde los estados de conducción pueden tratarse utilizando un modelo separado modelo del valle de silicio. A diferencia de un modelo de ocho bandas, el modelo LK de seis bandas no incluye explícitamente la banda de conducción: se centra en la física de los huecos.

¿Cuál es el origen de los seis estados?

Para comprender el número seis, es útil comenzar con los orbitales de la banda de valencia. Cerca del centro de la zona, los estados relevantes en los semiconductores de diamante y zincblenda tienen tres componentes orbitales similares a los orbitales p, que podemos denominar X, Y y Z. Un electrón también tiene dos posibles componentes de espín. Por lo tanto, tres componentes orbitales multiplicados por dos componentes de espín dan como resultado seis estados.

La interacción espín-órbita del cristal acopla el momento angular orbital y el momento angular de espín. Por lo tanto, resulta conveniente sustituir las etiquetas separadas para el momento angular orbital y el momento angular de espín por estados de momento angular total, que se representan como J y su proyección, mJ. Los seis estados se dividen en un grupo de cuatro con J = 3/2 y un grupo de dos con J = 1/2:

\[ \underbrace{4\text{ states}}_{J=3/2} \quad+\quad \underbrace{2\text{ states}}_{J=1/2} \quad=\quad 6\text{ states}. \]

Los cuatro estados con J = 3/2 forman el conjunto de bandas de conducción pesada y ligera en el centro de la zona de Brillouin. El par restante forma la banda separada, desplazada hacia abajo por la energía de interacción espín-órbita \(\Delta_{\mathrm{so}}\). No se trata de seis parábolas independientes: a medida que una partícula se aleja del centro de la zona, los diferentes componentes pueden mezclarse, por lo que es necesario resolverlos conjuntamente.

Cómo elegir la base de seis bandas.

OghmaNano utiliza la base del momento angular total, con el siguiente orden de estados:

\[ \begin{aligned} &\left|\tfrac32,+\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,-\tfrac12\right\rangle,\\[4pt] &\left|\tfrac32,-\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,-\tfrac12\right\rangle. \end{aligned} \]

El primer y el cuarto estado presentan características de huecos pesados, los dos estados centrales del grupo J = 3/2 presentan características de huecos ligeros, y los dos últimos estados son estados de separación. Este orden es útil porque la separación espín-órbita ya está incluida en la base: en el centro de la zona de Brillouin, el par de estados separados se sitúa \(\Delta_{\mathrm{so}}\) por debajo de los estados de valencia superiores.

Por lo tanto, podemos construir un hamiltoniano de 6 × 6, una matriz que describe los estados individuales y las interacciones entre ellos. Las energías permitidas se obtienen calculando sus valores propios, mientras que los vectores propios nos indican el carácter de cada estado resultante: si corresponde a una banda de agujeros pesados, una banda de agujeros ligeros o una banda de separación.

¿Cómo describimos el movimiento de un agujero?

En una única banda parabólica, una masa efectiva determina la rapidez con la que cambia la energía en función del vector de onda. En este caso, tenemos varios estados de valencia acoplados, por lo que una sola masa ya no es suficiente. En cambio, el modelo de Luttinger-Kohn utiliza tres parámetros del material, \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) y \(\gamma_3\), para describir la curvatura y la mezcla de las bandas.

Estos parámetros se agrupan en cuatro cantidades matemáticas prácticas, que tradicionalmente se denominan \(P\), \(Q\), \(R\) y \(S\). Es más fácil comprender su función física antes de analizar sus expresiones completas:

• \(P\): la contribución común a la curvatura de los estados de valencia.
• \(Q\): permite distinguir entre las diferentes orientaciones de los estados de agujero pesado y agujero ligero, y puede separar sus energías.
• \(R\): relaciona los componentes de valencia de los pares mediante el movimiento en el plano de las capas semiconductoras.
• \(S\): los estados de acoplamiento se consiguen mediante una combinación de movimiento en el plano y movimiento entre las capas.

El vector de onda subyacente tiene tres componentes: \(k_x\) y \(k_y\) describen el movimiento paralelo a las capas del pozo cuántico, mientras que \(k_z\) se refiere a la dirección de crecimiento, perpendicular a ellas. También definimos \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\), donde \(m_0\) es la masa del electrón libre.

Según la convención de signos utilizada en la formulación OghmaNano proporcionada, las contribuciones cinéticas son:

\[ \begin{aligned} P_k &= -A_0\gamma_1(k_x^2+k_y^2+k_z^2),\\[5pt] Q_k &= -A_0\gamma_2(k_x^2+k_y^2-2k_z^2),\\[5pt] R_k &= \sqrt{3}A_0\left[\gamma_2(k_x^2-k_y^2) -2i\gamma_3k_xk_y\right],\\[5pt] S_k &= 2\sqrt{3}A_0\gamma_3(k_x-ik_y)k_z. \end{aligned} \]

No es necesario memorizar estas expresiones para comprender el modelo. En cambio, observe que algunos términos dependen de \(k_x\) y \(k_y\) de manera diferente a como lo hacen de \(k_z\). Esta es la base matemática que permite al modelo describir el comportamiento diferente de los estados de banda de conducción y de valencia en diferentes direcciones del cristal. Los factores imaginarios en \(R\) y \(S\) forman parte de la base cuántica elegida; el hamiltoniano completo sigue siendo hermitiano y tiene energías reales.

Un ejemplo útil: un agujero que se desplaza a lo largo de la dirección del crecimiento.

Antes de analizar la matriz completa, consideremos el caso sencillo en el que el vector de onda en el plano es cero, es decir, \(k_x=k_y=0\). En este caso, los términos cinéticos se reducen a:

\[ \begin{aligned} P_k &=-A_0\gamma_1k_z^2,\\[3pt] Q_k &=+2A_0\gamma_2k_z^2,\\[3pt] R_k &=0,\qquad S_k=0. \end{aligned} \]

En consecuencia, la diagonal correspondiente a las bandas de valencia pesadas contiene \(P+Q\), mientras que la diagonal correspondiente a las bandas de valencia ligeras contiene \(P-Q\). Incluso sin calcular los valores propios completos, podemos observar cómo surgen diferentes curvaturas:

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{HH}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1-2\gamma_2)k_z^2,\\[4pt] E_{\mathrm{LH,diag}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1+2\gamma_2)k_z^2. \end{aligned} \]

Estas expresiones muestran las diferentes escalas de curvatura a lo largo de la dirección de crecimiento. Existe una importante puntualización: la parte correspondiente a los estados de «agujero ligero» del hamiltoniano completo de seis bandas aún puede interactuar con los estados de separación a través de \(Q\). Por lo tanto, la segunda expresión representa una contribución diagonal, y no, en general, el valor propio exacto de los estados de «agujero ligero» del modelo de seis bandas. Esto ilustra con precisión por qué necesitamos resolver una matriz en lugar de asumir que cada banda de valencia es independiente y parabólica.

Uniendo los seis estados.

Ahora que cada uno de los términos individuales tiene un significado físico, podemos construir el Hamiltoniano completo. Sus filas y columnas corresponden, en orden, a los seis estados que se introdujeron anteriormente. Medimos las energías en relación con la referencia de la banda de valencia \(E_v\) y escribimos \(\Delta=\Delta_{\mathrm{so}}\):

\[ \small H=E_v\mathbb{1}+ \begin{pmatrix} P+Q & S & R & 0 & -S/\sqrt2 & -\sqrt2 R\\ S^\dagger & P-Q & 0 & R & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S\\ R^\dagger & 0 & P-Q & -S & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q\\ 0 & R^\dagger & -S^\dagger & P+Q & \sqrt2 R^\dagger & -S^\dagger/\sqrt2\\ -S^\dagger/\sqrt2 & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S & \sqrt2 R & P-\Delta & 0\\ -\sqrt2 R^\dagger & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q & -S/\sqrt2 & 0 & P-\Delta \end{pmatrix}. \]

Esto parece mucho más complicado que una simple ecuación de Schrödinger, pero su estructura es bastante sencilla. Las primeras cuatro filas y columnas describen el conjunto de estados correspondientes a los huecos pesados y ligeros. Las dos últimas describen el par de estados separados. Los elementos de la diagonal describen las energías de los componentes individuales, mientras que los elementos fuera de la diagonal los mezclan. El símbolo de daga denota el conjugado hermitiano de un término; para un coeficiente escalar, esto significa su conjugado complejo.

En el centro de la zona y sin tensión, los términos cinéticos desaparecen: los cuatro estados con J = 3/2 comparten el borde de la banda de valencia y el par de niveles separados se sitúa \(\Delta\) por debajo de este. Al alejarse del centro de la zona, la mezcla modifica las energías y el carácter de las bandas resultantes.

¿Qué ocurre cuando se somete un semiconductor a tensión?

Los pozos cuánticos de silicio y germanio se cultivan con frecuencia sobre un sustrato con una constante de red ligeramente diferente. Esto genera tensión, que puede modificar las energías de valencia y eliminar la degeneración de los estados de huecos pesados y ligeros.

Una característica útil de la formulación de Luttinger-Kohn es que se puede introducir la deformación utilizando otro conjunto de términos \(P,Q,R,S\). Simplemente combinamos las contribuciones cinéticas y de deformación:

\[ \begin{aligned} P&=P_k+P_{\varepsilon}, &Q&=Q_k+Q_{\varepsilon},\\ R&=R_k+R_{\varepsilon}, &S&=S_k+S_{\varepsilon}. \end{aligned} \]

Por ejemplo, la contribución de la deformación hidrostática responde al cambio global en el volumen, mientras que el componente biaxial distingue la deformación a lo largo de la dirección de crecimiento de la deformación en el plano:

\[ \begin{aligned} P_{\varepsilon}&=a_v(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}),\\[4pt] Q_{\varepsilon}&=\frac{b}{2} (\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}). \end{aligned} \]

Los componentes de deformación restantes contribuyen a \(R_{\varepsilon}\) y \(S_{\varepsilon}\), lo que permite que la deformación por cizallamiento mezcle los estados de valencia. Sus expresiones completas y las convenciones sobre el potencial de deformación se explican en la página página de deformación de Bir–Pikus. A continuación, podemos resolver la misma matriz de seis bandas incluyendo los términos de deformación.

Aplicación del modelo a un pozo cuántico.

Hasta ahora, hemos descrito la estructura de bandas utilizando tres componentes del vector de onda. En un pozo cuántico, las cargas están confinadas a lo largo de la dirección de crecimiento \(z\), pero pueden moverse libremente a lo largo de \(x\) y \(y\). Por lo tanto, los vectores de onda en el plano se mantienen como números, pero el movimiento a lo largo de \(z\) debe representarse mediante un operador:

\[ k_z\longrightarrow-i\frac{d}{dz}. \]

Todos los términos que contienen \(k_z\) se convierten en derivadas de las funciones de onda de la envolvente. A continuación, se resuelve el problema de las seis bandas en todas las capas del semiconductor, teniendo en cuenta el perfil del potencial, los parámetros del material y la tensión. El resultado es un conjunto de subbandas de valencia confinadas, cada una con una función de onda de envolvente de seis componentes. Estos componentes nos indican la proporción de carácter de agujero pesado, agujero ligero y agujero dividido presente en cada estado.

Si la cuadrícula que define la dirección del crecimiento contiene \(N_z\) puntos espaciales, el hamiltoniano discreto tiene dimensiones \(6N_z\) por \(6N_z\). OghmaNano utiliza este cálculo multibanda para los estados de valencia, mientras que el solucionador del valle delta de silicio se encarga de los estados de conducción por separado. A diferencia de un tratamiento parabólico simple, este enfoque puede describir la mezcla de bandas de valencia que varía con el vector de onda en el plano. Se presenta un cálculo completo de Si/SiGe utilizando este modelo en el tutorial de seis bandas de Luttinger–Kohn para pozos cuánticos.

¿Cómo se relaciona esto con el modelo de las ocho bandas?

El modelo LK de seis canales y el modelo k·p de ocho bandas para la estructura cristalina de tipo esfalerita describen la física relacionada, pero toman decisiones diferentes sobre qué estados se incluyen explícitamente. Ambos conservan los estados de valencia que interactúan entre sí. El modelo de ocho bandas también añade los dos estados de conducción, similares a los orbitales s y resueltos por espín, y su acoplamiento de Kane a la banda de valencia.

En un semiconductor como el silicio, donde los mínimos de conducción más bajos se encuentran alejados del centro de la zona de Brillouin, un hamiltoniano de ocho bandas centrado en la zona no es una descripción directa de esas seis regiones de mínimo de conducción. Por lo tanto, es útil tratar la banda de valencia con el modelo de seis bandas de LK y la banda de conducción con el modelo específico para cada región de mínimo de conducción.