Comprensión del modelo k·p de 8 bandas para la estructura de zincblenda

¿Por qué necesitamos ocho canales de frecuencia?

En nuestro tutorial sobre bandas parabólicastratamos las bandas de conducción y de valencia como parábolas independientes. Este es un buen punto de partida: resolver la ecuación de Schrödinger en toda la región del pozo cuántico permite obtener los estados confinados, y permitir que los portadores se muevan en paralelo a las capas transforma esos estados en subbandas electrónicas. Sin embargo, esto supone que una sola masa efectiva puede describir cada banda.

Las bandas de semiconductores reales no son independientes. A medida que cambia el vector de onda del electrón, los estados derivados de diferentes orbitales atómicos pueden interactuar, lo que altera sus energías y la forma de sus funciones de onda. Este efecto es especialmente importante en la banda de valencia, donde las bandas de huecos pesados, huecos ligeros y bandas separadas están muy próximas entre sí. Un modelo de ocho bandas k·p describe estas interacciones directamente, en lugar de intentar englobarlas todas en una sola masa efectiva.

En este caso, analizaremos los semiconductores de tipo zincblenda, incluidos materiales como GaAs, InAs e InP. El objetivo es desarrollar el modelo de ocho bandas por etapas: primero, identificaremos los estados; luego, analizaremos cómo interactúan; y, por último, comprenderemos qué información obtenemos al resolver la matriz resultante sobre un pozo cuántico.

¿Cuáles son los ocho estados?

Cerca del centro de la zona de Brillouin (el punto Gamma), un buen punto de partida es describir el estado de la banda de conducción como poseedor principalmente de una simetría similar a la de los orbitales «s». Los estados de la banda de valencia tienen principalmente una simetría similar a la de los orbitales «p», a los que denominamos X, Y y Z para indicar sus orientaciones cartesianas. Se trata de estados cristalinos, no de orbitales atómicos individuales, pero las etiquetas de los orbitales nos ayudan a comprender las interacciones entre ellos.

Si no tenemos en cuenta el espín, obtenemos cuatro estados:

\[ |S\rangle,\qquad |X\rangle,\qquad |Y\rangle,\qquad |Z\rangle. \]

Cada estado puede presentarse con el espín orientado hacia arriba o hacia abajo. La base real utilizada en esta representación cartesiana es:

\[ \begin{gathered} |S\uparrow\rangle,\quad |S\downarrow\rangle,\\[3pt] |X\uparrow\rangle,\quad |Y\uparrow\rangle,\quad |Z\uparrow\rangle,\\[3pt] |X\downarrow\rangle,\quad |Y\downarrow\rangle,\quad |Z\downarrow\rangle. \end{gathered} \]

De ahí proviene el nombre de «ocho bandas»: cuatro funciones orbitales multiplicadas por dos componentes de espín. Inicialmente, ignoraremos la interacción de espín para poder comprender primero el problema más sencillo de cuatro estados. La interacción espín-órbita se introducirá después de que las interacciones orbitales estén claras.

¿Qué significa que dos bandas se asocien o colaboren?

Imaginemos que conocemos las energías de los estados S y X en el punto Gamma. Si estos dos estados nunca interactuaran, modificar el vector de onda simplemente cambiaría sus energías individuales. Sin embargo, en un cristal real, el movimiento a través del potencial periódico puede establecer una conexión entre ellos. La función de onda del electrón puede contener entonces una mezcla de características similares a las de los estados S y X, en lugar de pertenecer exclusivamente a uno de ellos.

Lo representamos escribiendo la función de onda como una suma de estados base. Para un ejemplo con cuatro orbitales:

\[ |\Psi\rangle = c_S|S\rangle+c_X|X\rangle+c_Y|Y\rangle+c_Z|Z\rangle. \]

Los coeficientes nos indican en qué medida cada estado base contribuye a una solución particular. En lugar de resolver una ecuación independiente para cada orbital, resolvemos una ecuación de Schrödinger matricial que determina todos los coeficientes a la vez:

\[ H\,\mathbf{c}=E\,\mathbf{c},\qquad \mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_S\\c_X\\c_Y\\c_Z\end{pmatrix}. \]

Los valores que se encuentran a lo largo de la diagonal describen la energía de cada estado. Los valores que se encuentran alejados de la diagonal describen las interacciones entre diferentes estados. Si esos valores que no están en la diagonal son cero, los estados permanecen independientes. Si no son cero, la resolución de la matriz modifica tanto las energías permitidas como la composición de las funciones de onda resultantes.

El acoplamiento de Kane: conexión entre las bandas de conducción y de valencia.

En la teoría k·p, la interacción entre el estado de conducción de tipo S y los estados de valencia X, Y y Z depende del vector de onda del electrón. Esta interacción se describe mediante el acoplamiento de Kane. Por ejemplo, los estados S y X están acoplados por un término proporcional a la componente del vector de onda a lo largo del eje x; los correspondientes acoplamientos de S a Y y de S a Z dependen de las componentes a lo largo de los ejes y y z.

Utilizando la convención de energía por tiempo por longitud para el parámetro de Kane P, podemos representar las interacciones de forma esquemática de la siguiente manera:

\[ H_{SX}\propto iPk_x,\qquad H_{SY}\propto iPk_y,\qquad H_{SZ}\propto iPk_z. \]

Aquí, P controla la intensidad de la interacción. Su magnitud se expresa a menudo mediante la energía de Kane, \(E_p\):

\[ P=\sqrt{A_0E_p},\qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}, \]

donde \(m_0\) es la masa del electrón libre. Un parámetro de Kane mayor produce una mezcla más intensa de los estados de conducción y de valencia a medida que el vector de onda se aleja del punto Gamma. Los factores imaginarios y los signos en el hamiltoniano completo dependen de la convención de base elegida; la idea física importante es que los términos no diagonales conectan las bandas.

Un ejemplo de dos estados.

Antes de analizar los ocho estados posibles, es útil examinar el ejemplo más sencillo. Supongamos que solo consideramos un estado de conducción y un estado de valencia. Si sus energías independientes son \(E_c\) y \(E_v\), un modelo hermitiano práctico sería:

\[ H=\begin{pmatrix} E_c & Pk\\ Pk & E_v \end{pmatrix}. \]

En este modelo ilustrativo de dos estados, hemos elegido las fases de las funciones base de tal manera que el acoplamiento sea real. Al resolver la matriz, obtenemos dos valores de energía:

\[ E_{\pm}(k)=\frac{E_c+E_v}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{E_c-E_v}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

Cuando el vector de onda es cero, el acoplamiento desaparece y recuperamos los bordes de banda originales. Al alejarnos de cero, las soluciones superior e inferior se separan. La separación depende de la intensidad del acoplamiento, P, y las funciones de onda correspondientes se convierten en una combinación de los dos estados base originales. Este sencillo ejemplo ilustra el principio fundamental del cálculo completo de ocho bandas: el acoplamiento modifica la dispersión de la banda, en lugar de simplemente desplazar una parábola existente.

¿Por qué el acoplamiento modifica la masa efectiva?

Recordemos la ecuación de la banda parabólica del tutorial anterior. Cerca del mínimo de la banda de conducción, la energía depende aproximadamente del cuadrado del vector de onda, y la masa efectiva determina la curvatura. El modelo de dos estados mencionado anteriormente explica por qué otras bandas pueden influir en esa masa.

Si el acoplamiento \(Pk\) es pequeño en comparación con la banda prohibida \(E_g=E_c-E_v\), la solución superior puede expandirse cerca de \(k=0\):

\[ E_+(k)\simeq E_c+\frac{P^2}{E_g}k^2. \]

Observe que el término adicional es proporcional a \(k^2\): aunque hemos introducido un acoplamiento que es lineal en k, su efecto en la energía cerca del borde de la banda es cuadrático. Por lo tanto, modifica la curvatura de la banda de conducción y, en consecuencia, la masa efectiva del electrón.

En el modelo actual, también existe una contribución directa de la energía cinética y una interacción con varios estados de valencia, incluidos los estados derivados de la interacción espín-órbita. Estas contribuciones deben combinarse para reproducir la masa observada en el borde de la banda. Por este motivo, la masa efectiva no es simplemente un sustituto arbitrario de la masa del electrón libre: resume la influencia de las bandas de cristal circundantes sobre el movimiento de un electrón cerca de un borde de banda en particular.

¿Por qué existen tres orbitales de valencia?

El estado de conducción, por sí solo, es relativamente sencillo. La banda de valencia requiere más atención, ya que contiene estados similares a X-, Y- y Z- que pueden interactuar entre sí. Su comportamiento depende de la dirección del vector de onda, y no solo de su magnitud. Por lo tanto, una única parábola orientada hacia abajo no refleja las características importantes de la estructura de la banda de valencia.

En la representación cartesiana, construimos un bloque de banda de valencia con un elemento diagonal para cada orbital y elementos no diagonales que describen su acoplamiento. Utilizando los coeficientes L, M y N, un bloque orbital típico tiene la siguiente forma:

\[ H_{vv}^{\mathrm{orb}}= \begin{pmatrix} D_X & Nk_xk_y & Nk_xk_z\\ Nk_xk_y & D_Y & Nk_yk_z\\ Nk_xk_z & Nk_yk_z & D_Z \end{pmatrix}, \]

donde los términos de la diagonal tienen la siguiente forma:

\[ \begin{aligned} D_X&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_x^2+M(k_y^2+k_z^2),\\[3pt] D_Y&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_y^2+M(k_x^2+k_z^2),\\[3pt] D_Z&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_z^2+M(k_x^2+k_y^2). \end{aligned} \]

No es necesario memorizar esta matriz para comprender su función. L y M determinan cómo varían las energías de los componentes orbitales individuales según la dirección; N controla la interacción entre los diferentes componentes orbitales. El cálculo completo de ocho bandas incluye este bloque de valencia para ambos componentes de espín y lo acopla a los estados de conducción.

¿Cuál es el origen de las bandas de absorción intensa, las bandas de absorción débil y las bandas de absorción desplazadas?

Hasta ahora, hemos descrito S, X, Y y Z como estados orbitales. El electrón también posee espín, lo que da lugar a una componente de espín «hacia arriba» y otra de espín «hacia abajo» para cada orbital. Sería sencillo simplemente duplicar la base si el espín nunca interactuara con el movimiento orbital. Sin embargo, un semiconductor contiene una interacción adicional llamada acoplamiento espín-órbita.

En la banda de valencia, este acoplamiento mezcla los componentes orbital y de espín. En el punto Gamma de un cristal de zincblenda no sometido a tensión, los seis estados de espín-órbita de tipo p se separan en un grupo de cuatro, que contiene los estados de agujero pesado y agujero ligero, y en un grupo de dos, denominado banda de separación. La separación de energía se denota por \(\Delta_{\mathrm{so}}\).

Los términos «banda de gran curvatura» y «banda de baja curvatura» se refieren a las diferentes curvaturas de estas bandas cerca del punto Gamma, y, por lo tanto, a sus diferentes masas efectivas. Las bandas no tienen por qué permanecer independientes una vez que cambia el vector de onda. En un pozo cuántico, el confinamiento y la tensión pueden mezclarlas aún más, lo que es una de las principales razones para utilizar el modelo completo de múltiples bandas.

Si se elige el máximo de la banda de valencia como energía de referencia, la energía promedio de la banda de valencia en su estado fundamental, representada en coordenadas cartesianas, se suele expresar de la siguiente manera:

\[ E_{v,\mathrm{av}}=E_v-\frac{\Delta_{\mathrm{so}}}{3}. \]

La matriz de interacción espín-órbita separa entonces los estados de valencia superiores de los estados derivados, reproduciendo sus energías requeridas en el punto Gamma. OghmaNano mantiene esta interacción de forma explícita en lugar de intentar modelar todas las bandas de valencia con una única masa efectiva para los huecos.

Cómo combinar los ocho términos del hamiltoniano.

Ahora podemos observar cómo se relacionan los diferentes componentes. Existen dos estados de conducción con forma de «S» (uno para cada espín) y seis estados de valencia con forma de «p». El hamiltoniano se divide en cuatro bloques:

\[ \boxed{ H=\begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger} & H_{vv} \end{pmatrix} } \]

El bloque de conducción \(H_{cc}\) contiene el límite de la banda de conducción y su energía cinética. El bloque de valencia \(H_{vv}\) contiene los términos orbitales X/Y/Z y la interacción espín-órbita. El bloque de acoplamiento \(H_{cv}\) contiene las interacciones de Kane que conectan los estados de conducción y de valencia. El símbolo \(\dagger\) denota el conjugado hermitiano, lo que garantiza que el hamiltoniano tenga la estructura hermitiana requerida.

Aunque la matriz completa tiene ocho filas y ocho columnas para un material uniforme con un vector de onda especificado, sus elementos individuales ya no son tan enigmáticos: cada elemento asigna una energía a un estado base o describe una interacción entre dos estados. Resolvemos el problema de los valores propios de la matriz para obtener las energías de banda permitidas y la composición de sus funciones de onda.

¿Cuál es el origen de los parámetros del modelo?

Los datos experimentales y teóricos sobre semiconductores se suelen expresar en términos de la banda prohibida \(E_g\), la masa efectiva de conducción, la energía de Kane \(E_p\), el acoplamiento espín-órbita \(\Delta_{\mathrm{so}}\) y los parámetros de Luttinger \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) y \(\gamma_3\). Estas cantidades determinan las dispersiones diagonales del modelo y la intensidad de las interacciones entre los estados.

Existe un problema importante relacionado con la contabilidad de los datos. En el modelo parabólico, la masa efectiva medida ya incluye la influencia de las bandas vecinas. En un modelo de ocho bandas, algunas de esas bandas vecinas se incluyen ahora explícitamente mediante el acoplamiento de Kane. Por lo tanto, debemos ajustar los coeficientes restantes de la energía cinética para que la misma interacción física no se cuente dos veces.

En la parametrización de OghmaNano, el coeficiente de la banda remota de conducción se denota como \(A_c\), y los coeficientes de los orbitales de valencia se representan como L, M y N. La conversión de los parámetros del material medidos forma parte de la definición del modelo; los coeficientes resultantes no deben confundirse con las masas efectivas básicas de las bandas parabólicas independientes.

La corrección de la banda de conducción

Una de las expresiones utilizadas para calcular la contribución de la banda remota a la conducción es:

\[ A_c=A_0\left( \frac{m_0}{m_e^{*}} -\frac{2E_p}{3E_g} -\frac{E_p}{3(E_g+\Delta_{\mathrm{so}})} \right), \]

con \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\). El primer término establece la curvatura del borde de la banda medida, mientras que los dos términos que incluyen \(E_p\) eliminan la parte producida por los estados de valencia que ahora están acoplados explícitamente. Aquí, \(m_e^{*}\) es una masa con dimensiones del Sistema Internacional de Unidades; si una base de datos de materiales almacena la masa relativa \(m_e^{*}/m_0\), se utiliza su inverso.

Correcciones similares se introducen en L, M y N a través de los parámetros de Luttinger. Es fundamental mantener la coherencia en las convenciones de los parámetros con la base y el hamiltoniano elegidos; el uso de coeficientes obtenidos de diferentes convenciones puede dar lugar a una curvatura de banda incorrecta, incluso cuando las dimensiones de la matriz parecen ser correctas.

¿Qué cambios se producen cuando introducimos el modelo en un pozo cuántico?

Hasta ahora, todo lo que hemos visto se refiere a un semiconductor con un vector de onda cristalino tridimensional específico. Para un pozo cuántico, volvemos a elegir \(z\) perpendicular a las capas y \(x\) y \(y\) paralelos a ellas. Las cargas pueden moverse libremente a lo largo de las capas, por lo que \(k_x\) y \(k_y\) siguen siendo componentes ordinarios del vector de onda en el plano.

Sin embargo, al analizar las diferentes capas, debemos encontrar la solución para las funciones de onda confinadas. En consecuencia, la componente z se representa mediante un operador diferencial:

\[ \boxed{k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}} \]

Esta es la extensión multibanda del enfoque basado en la ecuación de Schrödinger que se presentó en las páginas anteriores. En lugar de resolver solo una función envolvente escalar, resolvemos para ocho componentes de envolvente acoplados:

\[ \boldsymbol{\Psi}(z)= \begin{pmatrix} \psi_{S\uparrow}(z)\\ \psi_{S\downarrow}(z)\\ \psi_{X\uparrow}(z)\\ \psi_{Y\uparrow}(z)\\ \psi_{Z\uparrow}(z)\\ \psi_{X\downarrow}(z)\\ \psi_{Y\downarrow}(z)\\ \psi_{Z\downarrow}(z) \end{pmatrix}. \]

En cada punto de la cuadrícula numérica a lo largo del pozo cuántico, se obtienen ocho valores relacionados entre sí. Con N puntos de la cuadrícula espacial, el Hamiltoniano discretizado tiene, por lo tanto, una dimensión de \(8N\). Al resolverlo, se obtienen las energías cuantificadas y la composición orbital y de espín de cada subbanda calculada. Un ejemplo completo de este cálculo se presenta en el Tutorial sobre el pozo cuántico de zincblenda de ocho bandas GaAs/AlGaAs.

Los parámetros de los materiales también pueden variar a lo largo de una interfaz. Cuando los coeficientes se multiplican por operadores diferenciales, su orden debe elegirse cuidadosamente para preservar la hermiticidad y el comportamiento correcto de la interfaz. Por ejemplo, un coeficiente de Kane que varía espacialmente se introduce comúnmente mediante un operador simétrico, en lugar de tratarlo como una constante fuera de la derivada.

¿Por dónde entra la tensión?

Cuando una capa semiconductora se deposita sobre otra con una constante de red diferente, la capa puede comprimirse o estirarse. Esto genera tensión, que modifica las energías relativas de los estados de conducción y de valencia.

La banda de conducción experimenta un desplazamiento de energía hidrostática, mientras que las bandas de valencia pueden moverse en relación entre sí y mezclarse. En los modelos de tipo zincblenda, estos efectos se representan comúnmente mediante el hamiltoniano de deformación Bir–Pikus. Al añadir este término al hamiltoniano de ocho bandas, podemos calcular cómo el confinamiento y la deformación actúan conjuntamente, en lugar de corregir las bandas de forma independiente después de resolver la ecuación del pozo cuántico.

¿Por qué es importante esto para los cálculos ópticos?

El tutorial sobre transiciones ópticas explicaba cómo las subbandas de electrones y huecos determinan las posibles energías de los fotones. En la aproximación parabólica, las intensidades de transición pueden estimarse utilizando la superposición de dos funciones de envolvente escalares y un elemento de matriz óptica del material.

En el modelo de ocho bandas, cada estado se compone de una mezcla de los componentes S, X, Y y Z. Su respuesta óptica depende de estos componentes y de la polarización de la luz. Por este motivo, un cálculo multibanda puede predecir cambios en la intensidad de la transición y en la respuesta TE/TM que no se observarían en una descripción de una sola banda.

La mejora fundamental no es simplemente que calculemos más curvas. Calculamos de qué están compuestos los estados, incluyendo cómo cambia su carácter orbital en función del vector de onda, el confinamiento y la tensión.