Pozo cuántico de GaAs/AlGaAs: Tutorial sobre el modelo de 8 bandas de la estructura de tipo zincblenda.

1. Introducción

En este tutorial, calcularemos las propiedades electrónicas y ópticas de un pozo cuántico de GaAs/AlGaAs utilizando el modelo de ocho bandas de OghmaNano para la estructura de zincblenda. Comenzaremos con un ejemplo ya preparado, analizaremos la estructura de las capas, ejecutaremos la simulación y examinaremos las subbandas de conducción y valencia resultantes. Finalmente, analizaremos los espectros ópticos calculados a partir de los estados.

El tutorial sobre pozos cuánticos parabólicos trata los electrones y las «huecos» utilizando bandas de masa efectiva relativamente sencillas. En este caso, el hamiltoniano incluye una base de banda de conducción y las bases de banda de valencia correspondientes a los «huecos pesados» (HH), los «huecos ligeros» (LH) y los «huecos separados» (SO), con dos componentes de espín para cada una: un total de ocho estados base. El acoplamiento entre estos estados permite que el modelo describa efectos que las parábolas independientes no pueden, en particular la mezcla de la banda de valencia y los cambios en la curvatura en función del vector de onda en el plano.

2. Abrir el ejemplo de las ocho bandas.

En OghmaNano, pulse sobre «Nueva simulación» en la pestaña «Archivo». Haga doble clic en la carpeta de demostraciones de GaAs (??). De los ejemplos de pozos cuánticos, haga doble clic en GaAs/AlGaAs QW 8 band k.p (??). Esto abrirá una simulación preconfigurada; no es necesario introducir manualmente un hamiltoniano de 8x8.

3. Estructura de pozo cuántico y parámetros de los materiales.

La ventana principal muestra una estructura de tres capas de AlGaAs/GaAs/AlGaAs (??). Abra el editor de capas utilizando el botón de la izquierda. El ejemplo proporcionado consiste en dos barreras de AlGaAs de 40 nm que rodean una capa de GaAs de 10 nm:

Los límites de la banda de GaAs se encuentran dentro del intervalo de la banda de AlGaAs circundante, lo que proporciona confinamiento en la dirección del crecimiento de la capa. En el editor de capas, la capa central de GaAs se marca específicamente como una capa cuántica (??). Las entradas de los materiales ópticos y los tipos de capa ya están configurados en este ejemplo.

El solucionador de ocho bandas necesita más información sobre el material que un modelo escalar parabólico de bandas: además de los límites de las bandas y las masas efectivas, se incluyen en el hamiltoniano parámetros que describen el acoplamiento interbanda, la energía de separación y (cuando corresponda) la deformación. Puede examinar las funciones de GaAs a través de los parámetros eléctricos y el editor de código del material (??). La captura de pantalla muestra los potenciales de deformación de la banda de valencia b y d; no es necesario modificarlos para esta ejecución introductoria.

¿Qué cambios se introducen en el cálculo de las ocho bandas?

Un modelo parabólico asigna una curvatura distinta a cada banda. El enfoque k·p, en cambio, construye una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal relacionan los estados base subyacentes. Esquemáticamente, el problema del estado confinado es

\[ H_{8\times8}(k_x,k_y,-i\partial_z)\,\Psi_n(z) =E_n(k_x,k_y)\,\Psi_n(z). \]

Aquí, \(z\) indica la dirección de confinamiento; \(k_x\) y \(k_y\) describen el movimiento paralelo a las capas. La función de onda envolvente \(\Psi_n\) tiene ocho componentes, que describen las contribuciones de los diferentes estados base. Para este tutorial, nos centraremos en las energías calculadas en lugar de en el álgebra matricial completa. Se ofrece una explicación detallada en el capítulo sobre la teoría de zincblenda de ocho bandas.

4. Ejecutar la simulación.

Vuelva a la pestaña «Archivo» y haga clic en el botón azul «Ejecutar simulación». Se ensambla y resuelve el hamiltoniano de ocho bandas en una secuencia de vectores de onda en el plano. Puede seguir el cálculo en la pestaña «Terminal» (??).

El terminal de ejemplo muestra la matriz dispersa que se está construyendo, seguido de las energías de los autoestados y mensajes como block converged after 12 iterations. Los estados de conducción y de valencia se resuelven por separado para cada vector de onda sucesivo. Espere a que finalice la ejecución y el botón vuelva a mostrar la opción «Ejecutar simulación» antes de examinar los resultados.

5. Comprensión de la estructura de bandas calculada.

El programa calcula un conjunto discreto de autoestados confinados para cada vector de onda en el plano \(k_{\parallel}\). Por lo tanto, el gráfico muestra la dispersión de las subbandas, en lugar del perfil espacial del borde de la banda a lo largo de las capas. Abra la pestaña de resultados y busque en la carpeta bands, o abra los archivos de resumen de las bandas que se muestran en ??.

5.1 Subbandas de conducción

El diagrama de la banda de conducción (??) muestra dos ramas que se curvan hacia arriba. En \(k_{\parallel}=0\), la separación vertical se origina en los diferentes estados confinados. El aumento de la energía en \(k_{\parallel}\) refleja el movimiento paralelo al pozo, donde las cargas no están confinadas.

Cerca del mínimo de una subbanda de conducción, la dispersión puede aproximarse mediante:

\[ E_n(k_{\parallel})\simeq E_n(0) +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m_{n,\parallel}^{*}}. \]

En el modelo de múltiples bandas, esto representa una aproximación local: la curvatura, y por lo tanto la masa efectiva aparente, no necesita permanecer constante en todo el rango del vector de onda representado en el gráfico. El acoplamiento entre la banda de conducción y la banda de valencia contribuye a este comportamiento.

5.2. Subbandas de valencia: mezcla y curvatura.

El diagrama de la banda de valencia es más interesante (??). Sus dos ramas representadas parten de diferentes niveles de energía, se curvan hacia abajo y parecen converger en un valor finito de \(k_{\parallel}\). En la banda de valencia de la estructura de zincblenda, los estados de agujeros pesados y agujeros ligeros no se comportan como dos parábolas completamente independientes: en un vector de onda finito, los términos del hamiltoniano pueden combinar sus características.

Una forma útil de expresar esto es considerar dos estados cercanos, que están relacionados mediante un elemento de matriz \(V\):

\[ H_{\mathrm{illustrative}}= \begin{pmatrix}E_{\mathrm{HH}}(k)&V(k)\\ V^{*}(k)&E_{\mathrm{LH}}(k)\end{pmatrix}. \]

Si se les permite interactuar, sus energías se repelen cerca del punto de encuentro y su carácter HH/LH puede intercambiarse entre las diferentes ramas. También es posible un cruce real en el que la interacción relevante desaparece por simetría. La captura de pantalla actual por sí sola no permite distinguir estos casos: para determinar el carácter del estado, examine los vectores propios correspondientes y, si es necesario, calcule más puntos cerca del punto de intersección aparente. La matriz de dos por dos que se muestra anteriormente es solo una ilustración, no el hamiltoniano completo de ocho bandas.

5.3 Análisis conjunto de los estados de conducción y de valencia.

La representación conjunta de las curvas (??) sitúa los estados electrónicos y de valencia en una escala de energía común. En este ejemplo, los estados de valencia se encuentran cerca de la referencia de energía, mientras que los estados de conducción confinados se sitúan alrededor de 1,5 eV y por encima de este valor. La diferencia de energía entre un par de estados determinado corresponde a la energía del fotón de una posible transición óptica vertical, y está sujeta al elemento de matriz óptica relevante y a la ocupación de portadores.

Dado que el momento de los fotones es relativamente pequeño, la primera aproximación útil es que una transición óptica conserva el vector de onda en el plano:

\[ \hbar\omega=E_{c,n}(k_{\parallel})-E_{v,m}(k_{\parallel}), \qquad \lambda=\frac{hc}{\hbar\omega}. \]

Por lo tanto, diferentes pares de estados de electrones y huecos contribuyen en diferentes longitudes de onda. Las funciones de onda multibanda también determinan la intensidad y la polarización de cada transición, más allá de lo que se puede deducir únicamente de las energías.

6. Propiedades ópticas del pozo cuántico.

El cálculo de las ocho bandas proporciona las energías electrónicas y las funciones de onda de estado mixto para el modelo óptico. El ejemplo genera espectros separados para la emisión estimulada, la absorción, la ganancia neta y la emisión espontánea. Las múltiples curvas de cada gráfico corresponden a la secuencia de condiciones del portador utilizadas por la simulación proporcionada; no se trata de ocho bandas hamiltonianas individuales.

6.1 Emisión y absorción estimuladas

La emisión estimulada se produce cuando un fotón incidente induce a un electrón a realizar una transición radiativa desde un estado de conducción lleno a un estado de valencia vacío. La absorción es el proceso inverso: un electrón de valencia absorbe un fotón y se mueve a un estado de conducción disponible. Sus factores de ocupación son, esquemáticamente,

\[ \begin{aligned} \text{stimulated emission:}&\quad f_c(1-f_v),\\ \text{absorption:}&\quad f_v(1-f_c). \end{aligned} \]

Las curvas de emisión estimulada (??) y las curvas de absorción (??) comparten las energías de transición subyacentes, pero sus intensidades varían según los cambios en los niveles de ocupación. En estos resultados, gran parte de la estructura espectral se encuentra en el rango de 790 a 850 nm; las características exactas dependen de las subbandas configuradas, los elementos de matriz, las poblaciones de portadores y el ensanchamiento de las líneas.

6.2 Ganancia neta: se produce cuando las emisiones superan las absorciones.

La gráfica de la ganancia neta (??) combina las contribuciones de la emisión y la absorción estimuladas, que compiten entre sí. Restar sus probabilidades de ocupación da como resultado un valor particularmente sencillo:

\[ f_c(1-f_v)-f_v(1-f_c)=f_c-f_v. \]

Por lo tanto, la transición se vuelve productiva cuando su estado de conducción participante está más ocupado que el estado correspondiente del electrón de valencia. Los valores negativos del coeficiente de ganancia neta representan condiciones en las que predomina la absorción; los valores positivos corresponden a la emisión estimulada que supera la absorción. El coeficiente de ganancia neta que se muestra aquí es el resultado óptico obtenido en un pozo cuántico; no debe interpretarse automáticamente como la ganancia modal de una cavidad láser completa, que también depende del confinamiento y otras pérdidas ópticas.

6.3 Emisión espontánea

La emisión espontánea no requiere la incidencia de un fotón para desencadenar la transición. Se produce cuando un estado electrónico ocupado se recombina de forma radiativa en un estado de valencia disponible. El factor de ocupación correspondiente es, de nuevo, \(f_c(1-f_v)\), pero la emisión espontánea y la emisión estimulada tienen diferentes prefactores espectrales e interpretaciones físicas. Los espectros de ?? utilizan una escala vertical logarítmica; por lo tanto, un espaciamiento vertical igual no implica un aumento absoluto igual en la tasa de emisión de fotones.

Para obtener una explicación más completa de las características de las transiciones, las profesiones relacionadas y el ensanchamiento espectral, consulte las páginas transiciones ópticas y teoría de la ganancia.

7. Localización de los archivos de salida.

Una vez que la simulación haya finalizado, seleccione la opción «Salida» en la ventana principal (??). Entre los resultados visibles se encuentran Ec.csv, Ev.csv y Ec_Ev.csv para los gráficos de bandas, junto con gain.csv, absorption.csv, net_gain.csv y spontaneous.csv. Las carpetas bands y gain contienen resultados adicionales del solucionador. Haga doble clic en un archivo CSV para abrir su gráfico en OghmaNano o exporte los datos numéricos para analizarlos en otro programa.

8. Pruébalo tú mismo: compáralo con el modelo parabólico.

Como segundo experimento, modifique el grosor de la capa de GaAs de 10 nm a 8 nm, manteniendo sin cambios el grosor de las barreras de AlGaAs, que seguirá siendo de 40 nm. Vuelva a ejecutar el modelo y compare las energías propias confinadas y el rango de longitudes de onda de las transiciones ópticas.