El modelo k·p de 10 bandas para la estructura de zincblenda: nitruros diluidos.

¿Por qué necesitamos un modelo de diez bandas?

En el modelo de zincblenda de ocho bandas, describimos un semiconductor utilizando un orbital de conducción similar a un orbital «s» y tres orbitales de valencia similares a orbitales «p», con dos estados de espín para cada uno. Al combinar estos estados, podemos calcular las bandas de conducción y de valencia, incluidos los efectos que el modelo más simple modelo de banda parabólica no puede reproducir.

En el caso de ciertas aleaciones, sin embargo, incluso esta descripción resulta incompleta. Un ejemplo particularmente interesante es el de un nitruro diluido, como el GaAsN o el GaInNAs: un material en el que una pequeña fracción de los átomos del grupo V se sustituye por nitrógeno. Sorprendentemente, la introducción de una cantidad relativamente pequeña de nitrógeno puede reducir la banda prohibida de forma mucho más significativa de lo que cabría esperar simplemente interpolando las propiedades de los materiales que lo componen. La masa efectiva de los electrones también puede cambiar considerablemente.

La razón es que el nitrógeno no solo modifica ligeramente las bandas de cristal existentes, sino que introduce un nivel electrónico resonante que interactúa con la banda de conducción del semiconductor huésped. Para describir esa interacción, debemos añadir un estado adicional derivado del nitrógeno al esquema k·p convencional. Si consideramos ambas orientaciones de espín, pasamos de ocho estados base a diez.

¿Qué efecto tiene el nitrógeno en la banda de conducción?

Tenga en cuenta la banda de conducción del semiconductor original antes de añadir nitrógeno. Cerca de su valor mínimo, podemos describirla, como primera aproximación, mediante una parábola:

\[ E_c(k)=E_{c,0}+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_c^{*}}. \]

Aquí, \(E_{c,0}\) representa el límite original de la banda de conducción, mientras que \(k\) describe el vector de onda del cristal del electrón. En el modelo de nitruro diluido, el nitrógeno también introduce un estado electrónico más localizado a una energía \(E_N\). A diferencia de los estados extendidos de la banda de conducción, este nivel derivado del nitrógeno presenta solo una dispersión débil en el modelo más simple; en un diagrama que muestra la energía en función del vector de onda, podemos considerarlo como una línea aproximadamente horizontal.

Si los dos estados no interactuaran, sus energías simplemente se cruzarían. Pero sí interactúan. A medida que la banda de conducción del material huésped se acerca al nivel de energía del nitrógeno, los dos estados se mezclan, separando sus energías. Este efecto se denomina anti-cruce de bandas (ACB).

Comprendiendo el fenómeno del anticruce.

Podemos comprender los principios básicos de la física sin necesidad de comenzar con un hamiltoniano completo de diez bandas. Imaginemos que solo tenemos dos estados electrónicos: uno que pertenece a la banda de conducción original del material huésped, con una energía de \(E_c\), y otro que pertenece al nitrógeno, con una energía de \(E_N\). Su interacción se describe mediante una energía de acoplamiento \(V_N\).

Podemos expresar este pequeño problema en forma de matriz:

\[ \boxed{ H_{\mathrm{BAC}}= \begin{pmatrix} E_c & V_N \\ V_N & E_N \end{pmatrix} } \]

Los elementos de la diagonal representan las energías que tendrían los dos estados por separado. Los elementos que no están en la diagonal describen su interacción. Cuando \(V_N=0\) es igual a cero, los estados son independientes. Cuando el acoplamiento es distinto de cero, las energías permitidas se obtienen calculando los valores propios de esta matriz.

Al escribir la ecuación del autovalor como \(\det(H_{\mathrm{BAC}}-EI)=0\), obtenemos:

\[ (E_c-E)(E_N-E)-V_N^2=0. \]

Esta es una ecuación cuadrática en términos de energía. Al resolverla, se obtienen dos soluciones, que corresponden a los dos nuevos estados electrónicos mixtos:

\[ \boxed{ E_{\pm}=\frac{E_c+E_N}{2} \pm\frac{1}{2} \sqrt{(E_c-E_N)^2+4V_N^2} } \]

El término de la raíz cuadrada es el que genera el fenómeno de anti-cruce. Incluso si los niveles originales tienen exactamente la misma energía, los dos nuevos estados no se cruzan: permanecen separados por \(2|V_N|\). Podemos comprobarlo directamente asignando un valor a \(E_c=E_N\) en la expresión anterior.

OghmaNano discretiza la dirección de crecimiento en puntos de una cuadrícula espacial y utiliza un solucionador de autovalores disperso para encontrar los estados de interés. Si la cuadrícula contiene \(N_z\) puntos, los diez componentes básicos dan como resultado una dimensión de matriz de \(10N_z\). Aquí, \(N_z\) es el número de puntos de la cuadrícula espacial; no debe confundirse con el símbolo \(N\), que se utiliza para identificar el estado derivado del nitrógeno. Se presenta un cálculo completo de GaInNAs/GaAs utilizando este modelo en el tutorial de diez bandas sobre pozos cuánticos de nitruro diluido k·p.

¿Por qué disminuye la banda prohibida?

Supongamos que el nivel de nitrógeno se sitúa por encima del mínimo original de la banda de conducción, como en el modelo estándar de evitación de bandas con nitruro diluido. Al activar la interacción, el estado mixto inferior se desplaza por debajo de ese mínimo original. El borde de la banda de valencia no experimenta la misma evitación en este modelo, por lo que la energía que separa el estado de conducción más bajo de la banda de valencia disminuye.

El desplazamiento del borde de conducción no es simplemente proporcional a la pequeña concentración de nitrógeno. Depende tanto de la intensidad del acoplamiento como de la proximidad del nivel de nitrógeno a la banda del material huésped. Para ilustrar el efecto con ejemplos de energías arbitrarias, imaginemos:

\[ E_c=1.40\,\mathrm{eV},\qquad E_N=1.60\,\mathrm{eV},\qquad V_N=0.10\,\mathrm{eV}. \]

Al sustituir estos valores en la expresión de anti-cruce, se obtiene una rama inferior de aproximadamente \(1.359\,\mathrm{eV}\), en lugar de la rama original de \(1.40\,\mathrm{eV}\). En este ejemplo ilustrativo, la interacción con el estado de nitrógeno ha reducido el límite de conducción en aproximadamente \(41\,\mathrm{meV}\). Los números se han elegido para demostrar el mecanismo, no para especificar los parámetros de una aleación en particular.

Es importante destacar que la banda de conducción también cambia de forma. En nuestro modelo de dos niveles, \(E_c\) es, a su vez, una función de \(k\), por lo que ambas nuevas soluciones son dispersiones \(E_-(k)\) y \(E_+(k)\). La rama inferior puede volverse más plana cerca de su mínimo, lo que corresponde a una mayor masa efectiva de los electrones. Por lo tanto, la misma interacción puede explicar tanto la reducción de la banda prohibida como el cambio en la curvatura de la banda.

¿Cómo se incorpora la concentración de nitrógeno en el modelo?

La cantidad de nitrógeno es importante porque, a medida que aumenta la proporción de nitrógeno, hay más estados derivados del nitrógeno disponibles para interactuar con la banda de conducción extendida. En el modelo estándar de evitación de bandas, el acoplamiento efectivo se expresa de la siguiente manera:

\[ \boxed{V_N=\beta_N\sqrt{x_N}} \]

Aquí, \(x_N\) representa la fracción molar de nitrógeno (por lo tanto, por ejemplo, un por ciento de nitrógeno se introduce como \(x_N=0.01\)), y \(\beta_N\) es el parámetro de acoplamiento para el sistema de materiales. La dependencia de la raíz cuadrada refleja el acoplamiento colectivo del estado de conducción del material huésped con la población dispersa de sitios de nitrógeno. No se trata de un desplazamiento lineal arbitrario del borde de la banda de conducción.

En ausencia de nitrógeno, \(x_N=0\), el acoplamiento desaparece y recuperamos la descripción del sistema sin acoplamiento. A medida que se añade nitrógeno, la interacción se vuelve más intensa y las dos ramas mezcladas se separan aún más. El comportamiento real también depende de la ubicación de \(E_N\) en relación con la banda de conducción del material base, por lo que tanto \(E_N\) como \(\beta_N\) son parámetros importantes del material.

Desde el modelo de dos estados hasta el modelo completo de diez bandas.

Ahora hemos comprendido el fenómeno de anticruce utilizando solo dos estados. ¿Cómo se integra esto en el hamiltoniano de zincblenda de ocho bandas que se introdujo en...? página anterior?

El modelo de ocho bandas ya incluye la órbita de conducción similar a la órbita «s» y tres órbitas de valencia similares a la órbita «p», cada una con dos orientaciones de espín. El modelo de nitruro diluido conserva estos ocho estados originales y, a continuación, introduce dos estados base adicionales derivados del nitrógeno, uno para cada espín:

\[ \begin{aligned} \{&|S\uparrow\rangle,\ |S\downarrow\rangle,\\ &|X\uparrow\rangle,\ |Y\uparrow\rangle,\ |Z\uparrow\rangle,\\ &|X\downarrow\rangle,\ |Y\downarrow\rangle,\ |Z\downarrow\rangle,\\ &|N\uparrow\rangle,\ |N\downarrow\rangle\}. \end{aligned} \]

Estos estados derivados del nitrógeno representan de manera eficaz los niveles de resonancia de la aleación. No deben interpretarse como un intento de rastrear la función de onda alrededor de cada átomo de nitrógeno individual en un cristal desordenado.

En la estructura estándar de diez bandas, el nitrógeno se acopla al estado de conducción similar a la banda s con el mismo espín. En este modelo, se omite su acoplamiento directo con los estados de valencia similares a la banda p. Podemos representar la matriz completa de forma esquemática como:

\[ H_{10}= \begin{pmatrix} H_{8} & C_N\\ C_N^{\dagger} & E_N I_2 \end{pmatrix}, \]

donde \(H_8\) es el hamiltoniano original de ocho bandas de tipo zincblenda, \(I_2\) es una matriz identidad de dos estados y \(C_N\) contiene el acoplamiento entre el nitrógeno y la banda de conducción. En el orden de base que se muestra arriba, los únicos elementos no nulos de \(C_N\) conectan \(|S\uparrow\rangle\) con \(|N\uparrow\rangle\) y \(|S\downarrow\rangle\) con \(|N\downarrow\rangle\), cada uno con una intensidad de acoplamiento de \(V_N\).

Por esta razón, el modelo se denomina de «diez bandas»: se trata del sistema original de ocho bandas más dos estados de nitrógeno con espín definido, y no de diez parábolas separadas que se suman.

¿Qué cambios se producen cuando introducimos el material en un pozo cuántico?

Hasta ahora, nuestra discusión ha descrito las energías de una aleación en función del vector de onda del cristal. En un pozo cuántico, también debemos tener en cuenta las capas semiconductoras y el potencial de confinamiento perpendicular a ellas.

Como en el caso de banda parabólica tutorialdefinimos \(z\) según la dirección a través de las capas, mientras que el electrón aún puede moverse en paralelo a ellas. En un cálculo que involucre múltiples bandas, el estado confinado ya no se describe simplemente mediante una única función de onda escalar. En cambio, tiene un componente envolvente para cada estado en la base, incluidos los componentes derivados del nitrógeno.

En cada posición, el material local determina los límites de la banda, los acoplamientos efectivos, el nivel de nitrógeno \(E_N\) y la fracción de nitrógeno \(x_N\). El hamiltoniano de diez bandas describe cómo interactúan todos los componentes. La resolución del problema resultante de los valores propios del pozo cuántico produce las energías confinadas permitidas y sus funciones de onda mixtas de electrones y huecos.

OghmaNano discretiza la dirección del crecimiento en puntos de una cuadrícula espacial y utiliza un solucionador de autovalores disperso para determinar los estados de interés. Si la cuadrícula contiene \(N_z\) puntos, los diez componentes básicos dan como resultado una matriz de dimensión \(10N_z\). Aquí, \(N_z\) es el número de puntos de la cuadrícula espacial; no debe confundirse con el símbolo \(N\), que se utiliza para identificar el estado derivado del nitrógeno.

Una consecuencia práctica del fenómeno de «anticruce» es que el nivel energético más bajo de la banda de conducción ya no corresponde al valor original del material base \(E_c\). La rama inferior \(E_-\) proporciona una estimación útil del desplazamiento del borde de la banda de conducción cuando se busca determinar numéricamente los estados confinados.

¿Qué implicaciones tiene esto para las transiciones ópticas?

La banda prohibida no es la única propiedad que se modifica. Dado que los autoestados son, en sí mismos, una combinación de características de la banda de conducción y del nitrógeno, su interacción con la luz también puede cambiar. Un estado que se asemeja en gran medida a la banda de conducción del material base no tiene por qué tener el mismo acoplamiento óptico que uno con una contribución significativa del nitrógeno.

La rama inferior de la curva de evitación es especialmente importante, ya que puede convertirse en el estado de conducción más bajo disponible, lo que modifica la energía de transición entre las bandas de conducción y de valencia. Su dispersión alterada también afecta a las energías y al número de estados disponibles para las transiciones ópticas. OghmaNano puede utilizar las funciones de onda multicomponente resultantes en los cálculos posteriores de transición óptica, emisión espontánea y ganancia.

El modelo BAC de diez bandas captura la influencia del estado resonante del nitrógeno en la estructura de la banda de conducción, pero sigue siendo una aproximación. No determina las posiciones atómicas individuales de las impurezas de nitrógeno, ni, por sí solo, describe todos los efectos ópticos y de transporte relacionados con el desorden que se encuentran en las aleaciones reales de nitruro diluido.