Estructura de bandas de un pozo cuántico y la aproximación de banda parabólica.

Desde los pozos cuánticos hasta las bandas de energía.

Finite semiconductor quantum well showing three confined electron energy levels and their corresponding wavefunctions. — Confinamiento de electrones en un pozo cuántico finito. La resolución de la ecuación de Schrödinger produce una serie de niveles de energía permitidos para los electrones y sus correspondientes funciones de onda. Las funciones de onda se escalan y se desplazan verticalmente a sus respectivos niveles de energía para facilitar la comprensión.

En nuestra introducción a los pozos cuánticos, utilizamos la ecuación de Schrödinger para calcular las energías y funciones de onda permitidas de un electrón confinado en un pozo de potencial. Un ejemplo de estas soluciones se ilustra en ??.

Sin embargo, este cálculo solo describe cómo se comporta el electrón a lo largo del ancho del pozo. Un pozo cuántico semiconductor se forma normalmente a partir de una capa muy delgada de material que se extiende sobre un área mucho mayor. Si definimos la dirección \(z\) como perpendicular a las capas del semiconductor, entonces el electrón se confina a lo largo de \(z\), pero sigue siendo libre de moverse en las direcciones \(x\) y \(y\), paralelas a las capas.

En otras palabras, el electrón está confinado en una dimensión, pero aún puede moverse en las otras dos. Por este motivo, los pozos cuánticos se describen habitualmente como sistemas electrónicos bidimensionales.

Para comprender las consecuencias de esto, debemos relacionar los niveles de energía discretos obtenidos a partir de la ecuación de Schrödinger con la estructura de bandas electrónicas del semiconductor.

🧪 Pruébalo en OghmaNano: el tutorial sobre pozo cuántico parabólico de GaAs/AlGaAs calcula los estados confinados de electrones y huecos, las funciones de onda y las subbandas bidimensionales que se describen en esta página. En estructura de bandas k·p, pozo cuántico y solucionador de movilidad se ofrece una descripción general de los modelos de pozo cuántico y multibanda disponibles.

De los niveles de energía confinados a las bandas parabólicas.

Infinite quantum well showing three confined electron states and the corresponding parabolic two-dimensional electronic subbands. — Desde los niveles de energía de los pozos cuánticos hasta las subbandas electrónicas. Izquierda: la resolución de la ecuación de Schrödinger en un pozo cuántico infinito produce niveles de energía de confinamiento discretos. Derecha: cuando se permite que los electrones se muevan en paralelo a las capas del semiconductor, cada estado de confinamiento evoluciona hacia una subbanda parabólica continua.

Tenga en cuenta el pozo cuántico que se muestra en el lado izquierdo de ??. Resolver la ecuación de Schrödinger en todo el pozo produce una serie de estados confinados, con energías \(E_1\), \(E_2\) y \(E_3\).

Estas energías describen el confinamiento del electrón en la dirección \(z\). Sin embargo, el electrón también puede moverse en paralelo a las capas, en las direcciones \(x\) y \(y\). A medida que adquiere impulso en este plano, su energía total aumenta.

Para describir este movimiento, introducimos el vector de onda en el plano, que se representa como \(k_{\parallel}\). Su magnitud está relacionada con los componentes del vector de onda a lo largo de las dos direcciones no restringidas:

\[ k_{\parallel}^{2}=k_x^2+k_y^2. \]

Para un semiconductor simple con una banda electrónica parabólica, la energía adicional asociada a este movimiento en el plano es:

\[ E_{\mathrm{parallel}}= \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}}, \]

donde \(m^{*}\) es la masa efectiva del electrón. La masa efectiva describe cómo responde el electrón a las fuerzas dentro del cristal, teniendo en cuenta la influencia de la estructura electrónica del semiconductor.

Ahora podemos combinar la energía obtenida del confinamiento cuántico con la energía adicional asociada al movimiento paralelo a las capas:

\[ \boxed{ E_n(k_{\parallel})= E_n+\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}} } \]

Esta ecuación nos indica que cada nivel de energía confinado se convierte en el punto de partida de una parábola, como se muestra en el lado derecho de ??. Estas parábolas se conocen como subbandas electrónicas.

Cuando el vector de onda en el plano es cero, el punto más bajo de cada parábola corresponde exactamente a la energía que se obtiene al resolver la ecuación de Schrödinger en todo el pozo cuántico. A medida que el vector de onda en el plano aumenta, el electrón se desplaza hacia arriba en la parábola y gana energía, pero permanece en el mismo estado confinado a lo largo de \(z\).

Por lo tanto, hemos transformado un conjunto de niveles de energía cuánticos discretos en un conjunto de subbandas electrónicas continuas y bidimensionales.

¿Por qué utilizamos las bandas parabólicas?

Para comprender por qué las bandas de semiconductores suelen representarse mediante parábolas, consideremos algo mucho más común: lanzar una pelota de críquet. La energía cinética de la pelota depende de su masa y su velocidad:

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{1}{2}mv^2. \]

Esto nos indica que, si lanzamos la pelota el doble de rápido, tendrá cuatro veces más energía cinética. Dado que el impulso se define como \(p=mv\), también podemos expresar esta relación de la siguiente manera:

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{p^2}{2m}. \]

Si representamos gráficamente la energía de nuestra pelota de críquet en función de su momento, obtenemos una parábola. La pelota tiene la menor energía cinética cuando su momento es cero, y su energía aumenta de forma cuadrática a medida que aumenta su momento.

Curiosamente, podemos utilizar una relación muy similar para describir el comportamiento de un electrón dentro de un semiconductor. En la mecánica cuántica, el momento se relaciona con el vector de onda mediante la ecuación \(p=\hbar k\). Si sustituimos esta ecuación en nuestra expresión anterior, obtenemos:

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \]

Sin embargo, un electrón dentro de un semiconductor no se mueve en el vacío. Interactúa con el potencial periódico del cristal, lo que modifica la relación entre su energía y su movimiento. Cerca del límite inferior de muchas bandas de conducción, podemos tener en cuenta este fenómeno sustituyendo la masa ordinaria del electrón por una masa efectiva, \(m_e^{*}\).

También debemos incluir la energía en el extremo inferior de la banda de conducción, \(E_c\), lo que nos dará la aproximación de la banda parabólica:

\[ \boxed{ E(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}} } \]

La masa efectiva determina la curvatura de la parábola. Una masa efectiva menor da como resultado una banda con mayor curvatura, lo que significa que el electrón gana energía más rápidamente a medida que aumenta su vector de onda. Una masa efectiva mayor produce una banda más plana.

La ventaja de esta aproximación es que nos permite describir una banda electrónica utilizando únicamente la energía en el borde de la banda y la masa efectiva. Una vez que hemos calculado las energías de confinamiento utilizando la ecuación de Schrödinger, podemos utilizar esta relación para construir las subbandas correspondientes del pozo cuántico. Este cálculo se puede explorar directamente en el Tutorial sobre pozos cuánticos parabólicos de GaAs/AlGaAs..

Presentamos los electrones y los huecos.

Parabolic conduction and valence bands showing electron and hole states, the semiconductor band gap and effective masses. — Bandas de conducción y de valencia parabólicas. La banda de conducción presenta una curvatura ascendente, mientras que la banda de valencia presenta una curvatura descendente. Su curvatura depende de las masas efectivas de los electrones y las huecos, y la energía que separa los bordes de sus bandas es la banda prohibida del semiconductor.

Hasta ahora, solo hemos considerado los electrones en la banda de conducción. Sin embargo, un semiconductor también contiene una banda de valencia, en la que la ausencia de un electrón puede describirse como una partícula con carga positiva, denominada «hueco».

Cerca del mínimo de la banda de conducción, la energía del electrón puede aproximarse utilizando una parábola con la concavidad hacia arriba:

\[ E_c(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}}. \]

De manera similar, cerca del máximo de la banda de valencia, podemos aproximar las energías de los electrones de valencia utilizando una parábola con la concavidad hacia abajo:

\[ E_v(k)=E_v-\frac{\hbar^2 k^2}{2m_h^{*}}. \]

Estas dos parábolas se ilustran en ??. El mínimo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia están separados por la banda prohibida del semiconductor, \(E_g\).

De la misma manera que los electrones pueden quedar confinados en un pozo cuántico de la banda de conducción, las «huecos» pueden quedar confinados por un potencial adecuado de la banda de valencia. Por lo tanto, resolver la ecuación de Schrödinger para ambos tipos de portadores de carga produce dos conjuntos de niveles de energía confinados, a partir de los cuales podemos construir las subbandas correspondientes de electrones y huecos.

Desde los pozos cuánticos hasta la emisión y absorción de luz.

Quantum well conduction and valence band states showing electron and hole confinement, parabolic subbands and optical transitions at zero and finite in-plane wavevector. — Transiciones ópticas entre subbandas de un pozo cuántico. La resolución de la ecuación de Schrödinger produce estados confinados de electrones y huecos (izquierda), que forman subbandas parabólicas de conducción y de valencia cuando se incluye el movimiento paralelo a las capas (derecha). Las flechas rojas ilustran una transición óptica entre las subbandas de electrones y huecos de menor energía, tanto en el caso de vector de onda nulo como finito en el plano.

Hemos visto cómo la resolución de la ecuación de Schrödinger para un electrón confinado en un pozo cuántico produce una serie de niveles de energía, cada uno de los cuales se convierte en una subbanda parabólica cuando se considera el movimiento paralelo a las capas del semiconductor.

Podemos realizar exactamente el mismo cálculo para los huecos. Esto se ilustra en ??, donde los diagramas superiores muestran los estados electrónicos confinados en la banda de conducción, mientras que los diagramas inferiores muestran los correspondientes estados de huecos confinados en la banda de valencia. Para mayor claridad, el pozo de la banda de valencia se representa invertido, y las energías de confinamiento de los huecos se miden hacia abajo a partir del máximo de la banda de valencia.

Una vez que hayamos calculado ambos conjuntos de estados, podemos empezar a describir la interacción del pozo cuántico con la luz. Por ejemplo, un electrón que ocupa un estado de la banda de conducción puede recombinarse con una laguna en un estado de la banda de valencia, liberando energía en forma de fotón. El proceso inverso también es posible: un fotón incidente puede ser absorbido, excitando un electrón de la banda de valencia hacia la banda de conducción.

Cálculo de la energía de transición

Observe la flecha roja continua que aparece en ??. Esta ilustra una transición entre las subbandas de menor energía para electrones y huecos, cuando el vector de onda en el plano es cero.

La energía necesaria para esta transición es la banda prohibida del semiconductor, más las energías de confinamiento del electrón y el hueco:

\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}} = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} } \]

Aquí, \(E_g\) representa la banda prohibida del material de la estructura cuántica, mientras que \(E_{e,n}\) y \(E_{h,m}\) son las energías de confinamiento de los electrones y las huecos, medidas en relación con los bordes de sus respectivas bandas.

Para el ejemplo que se muestra en la figura, la banda prohibida es \(1.42\,\mathrm{eV}\), la energía de confinamiento electrónico más baja es \(39\,\mathrm{meV}\) y la energía de confinamiento de huecos más baja es \(7\,\mathrm{meV}\). Por lo tanto, la energía de transición resultante es:

\[ E_{\mathrm{photon}} = 1.42+0.039+0.007 = 1.466\,\mathrm{eV}. \]

Observe que este valor es ligeramente superior a la banda prohibida del semiconductor. Al confinar los electrones y las huecas en un pozo cuántico, hemos aumentado la energía necesaria para la transición óptica. Esto nos proporciona una forma de ajustar la longitud de onda de absorción y emisión simplemente modificando el ancho del pozo.

¿Qué ocurre cuando aumenta el momento en el plano?

Los electrones y las «huecos» no se limitan a la parte inferior de sus respectivas subbandas. También pueden moverse en paralelo a las capas del semiconductor, adquiriendo energía adicional a medida que aumenta su vector de onda en el plano.

Esto se ilustra con la flecha roja discontinua que aparece en la figura. En el caso de una transición óptica directa, el vector de onda del cristal en el plano se conserva aproximadamente, ya que el momento que transporta un fotón es relativamente pequeño.

En nuestro modelo simplificado de banda parabólica, la energía de transición es, por lo tanto:

\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}}(k_{\parallel}) = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} + \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu} } \]

Aquí, \(\mu\) es la masa efectiva reducida del par electrón-hueco, definida de la siguiente manera:

\[ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e^{*}} + \frac{1}{m_h^{*}}. \]

A medida que aumenta el vector de onda en el plano, también aumenta la energía de transición. Esto significa que una transición óptica entre dos subbandas no se limita a una única energía de fotón: diferentes estados ocupados a lo largo de las parábolas pueden contribuir a una gama más amplia de transiciones ópticas.

¿Qué tan precisa es la aproximación parabólica?

GaAs band structure showing the Gamma-point conduction-band minimum, heavy-hole and light-hole valence bands, split-off band and nearby L and X conduction-band valleys. — Estructura electrónica de bandas de GaAs. La banda de conducción es aproximadamente parabólica cerca de su mínimo en el punto Gamma, pero la estructura completa de bandas es considerablemente más compleja. Las bandas de agujeros pesados, agujeros ligeros y bandas de separación ilustran la física adicional que no se tiene en cuenta en un modelo simple de una sola banda.

El modelo que hemos desarrollado es deliberadamente sencillo. Parte de la premisa de que cada banda electrónica puede representarse mediante una parábola con una masa efectiva adecuada. Esta es, a menudo, una aproximación útil cerca del mínimo de la banda de conducción, donde la relación entre la energía y el vector de onda es aproximadamente cuadrática.

No obstante, las estructuras de bandas de los semiconductores reales son más complejas. Un ejemplo se muestra en ??, donde se ilustra la estructura de bandas electrónicas calculada para el GaAs.

Obsérvese que la banda de conducción tiene una forma aproximadamente parabólica cerca de su punto mínimo en el punto Gamma, pero se desvía de esta forma sencilla a medida que nos alejamos. La banda de valencia es aún más compleja, ya que contiene bandas de huecos pesados, huecos ligeros y bandas separadas que pueden interactuar entre sí.

También es importante señalar que el eje horizontal de esta figura sigue una trayectoria en el espacio recíproco, desde L pasando por Gamma hasta X. No se trata de una representación gráfica de la posición dentro de un dispositivo semiconductor. Describe cómo varían las energías permitidas de los electrones en función del vector de onda del cristal.

Cuando se trata de la mezcla de bandas, la no parabolicidad, la deformación o el confinamiento intenso, estos factores adquieren importancia y es necesario ir más allá de la simple aproximación de la masa efectiva. Una forma de hacerlo es mediante: teoría de bandas múltiples k·plo que permite procesar varias bandas electrónicas en conjunto, en lugar de aproximar cada una como una parábola independiente.