Estrutura de bandas de poços quânticos e a aproximação da banda parabólica
De poços quânticos a bandas eletrónicas
Na nossa introdução aos poços quânticos, utilizamos a equação de Schrödinger para calcular as energias e funções de onda permitidas de um eletrão confinado num poço de potencial. Um exemplo destas soluções é apresentado em ??.
No entanto, este cálculo descreve apenas o comportamento do eletrão ao longo da largura da barreira. Uma barreira quântica semicondutora é normalmente formada por uma camada muito fina de material que se estende por uma área muito maior. Se definirmos a direção \(z\) como sendo perpendicular às camadas semicondutoras, então o eletrão fica confinado ao longo de \(z\), mas permanece livre para se mover nas direções \(x\) e \(y\), paralelas às camadas.
Em outras palavras, o eletrão está confinado numa dimensão, mas ainda pode mover-se nas outras duas. É por isso que os poços quânticos são frequentemente descritos como sistemas eletrónicos bidimensionais.
Para compreender as consequências disto, é necessário relacionar os níveis de energia discretos obtidos a partir da equação de Schrödinger com a estrutura de bandas eletrónicas do semicondutor.
🧪 Experimente isto no OghmaNano: O/A Tutorial sobre poços quânticos parabólicos de GaAs/AlGaAs calcula os estados confinados de eletrões e lacunas, as funções de onda e as sub-bandas bidimensionais descritas nesta página. Uma visão geral dos modelos de poço quântico e multibanda disponíveis é apresentada em solucionador de estrutura de bandas k·p, poço quântico e mobilidade.
Dos Níveis de Energia Confinados às Bandas Parabólicas
Considere o poço quântico apresentado no lado esquerdo da figura ??. A resolução da equação de Schrödinger ao longo do poço resulta numa série de estados confinados, com energias \(E_1\), \(E_2\) e \(E_3\).
Estas energias descrevem o confinamento do eletrão na direção \(z\). No entanto, o eletrão também pode mover-se paralelamente às camadas, nas direções \(x\) e \(y\). À medida que ganha impulso neste plano, a sua energia total aumenta.
Para descrever este movimento, introduzimos o vetor de onda no plano, representado por \(k_{\parallel}\). A sua magnitude está relacionada com as componentes do vetor de onda ao longo das duas direções não restritas:
\[ k_{\parallel}^{2}=k_x^2+k_y^2. \]
Para um semicondutor simples com uma banda eletrónica parabólica, a energia adicional associada a este movimento no plano é:
\[ E_{\mathrm{parallel}}= \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}}, \]
onde \(m^{*}\) é a massa efetiva do eletrão. A massa efetiva descreve como o eletrão reage às forças dentro do cristal, tendo em conta a influência da estrutura eletrónica do semicondutor.
Agora, podemos combinar a energia obtida através do confinamento quântico com a energia adicional associada ao movimento paralelo às camadas:
\[ \boxed{ E_n(k_{\parallel})= E_n+\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}} } \]
Esta equação indica que cada nível de energia confinado se torna o ponto de partida de uma parábola, como ilustrado no lado direito de ??. Estas parábolas são conhecidas como sub-bandas eletrónicas.
Quando o vetor de onda no plano é zero, o ponto mais baixo de cada parábola corresponde exatamente à energia calculada ao resolver a equação de Schrödinger em toda a região do poço quântico. À medida que o vetor de onda no plano aumenta, o eletrão desloca-se ao longo da parábola e ganha energia, mantendo-se no mesmo estado confinado ao longo de \(z\).
Consequentemente, transformámos um conjunto de níveis de energia discretos de poços quânticos num conjunto de sub-bandas eletrónicas contínuas e bidimensionais.
Por que usamos as Bandas Parabólicas?
Para entender por que as bandas de semicondutores são frequentemente representadas por parábolas, considere algo muito mais familiar: o lançamento de uma bola de críquete. A energia cinética da bola depende da sua massa e velocidade:
\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{1}{2}mv^2. \]
Isto indica que, se lançarmos a bola com o dobro da velocidade, ela terá quatro vezes mais energia cinética. Uma vez que o impulso é dado por \(p=mv\), também podemos expressar esta relação da seguinte forma:
\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{p^2}{2m}. \]
Se representarmos graficamente a energia da nossa bola de críquete em função do seu momento, obtemos uma parábola. A bola tem a menor energia cinética quando o seu momento é zero, e a sua energia aumenta de forma quadrática à medida que o seu momento aumenta.
Curiosamente, podemos usar uma relação muito semelhante para descrever um eletrão dentro de um semicondutor. Na mecânica quântica, o momento está relacionado ao vetor de onda através da equação \(p=\hbar k\). Ao substituir esta equação na nossa expressão anterior, obtemos:
\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \]
No entanto, um eletrão dentro de um semicondutor não se move no espaço vazio. Ele interage com o potencial periódico do cristal, o que altera a relação entre a sua energia e o seu movimento. Próximo à parte inferior de muitas bandas de condução, podemos explicar este fenómeno substituindo a massa normal do eletrão por uma massa efetiva, \(m_e^{*}\).
Também precisamos incluir a energia no limite inferior da banda de condução, \(E_c\), o que nos permite obter a aproximação da banda parabólica:
\[ \boxed{ E(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}} } \]
A massa efetiva determina a curvatura da parábola. Uma massa efetiva menor resulta numa banda mais fortemente curvada, o que significa que o eletrão ganha energia mais rapidamente à medida que o seu vetor de onda aumenta. Uma massa efetiva maior produz uma banda mais plana.
A vantagem desta aproximação é que ela nos permite descrever uma banda eletrónica utilizando apenas a sua energia no limite da banda e a sua massa efetiva. Uma vez calculadas as energias de confinamento através da equação de Schrödinger, podemos usar esta relação para construir as sub-bandas correspondentes do poço quântico. Este cálculo pode ser explorado diretamente em... Tutorial sobre poços quânticos parabólicos de GaAs/AlGaAs.
Apresentando os Elétrons e as Lacunas.
Até agora, consideramos apenas os eletrões na banda de condução. No entanto, um semicondutor também contém uma banda de valência, na qual a ausência de um eletrão pode ser descrita como uma partícula com carga positiva, denominada «lacuna».
Próximo ao valor mínimo da banda de condução, a energia do eletrão pode ser aproximada utilizando uma parábola com a concavidade voltada para cima:
\[ E_c(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}}. \]
De forma semelhante, próximo ao valor máximo da banda de valência, podemos aproximar as energias dos eletrões de valência utilizando uma parábola com a concavidade voltada para baixo:
\[ E_v(k)=E_v-\frac{\hbar^2 k^2}{2m_h^{*}}. \]
Estas duas parábolas são ilustradas em ??. O mínimo da banda de condução e o máximo da banda de valência estão separados pela banda proibida do semicondutor, \(E_g\).
Tal como os eletrões podem ser confinados numa poço quântico da banda de condução, as lacunas podem ser confinadas por um potencial adequado da banda de valência. A resolução da equação de Schrödinger para ambos os tipos de portadores de carga produz, portanto, dois conjuntos de níveis de energia confinados, a partir dos quais podemos construir as sub-bandas correspondentes de eletrões e lacunas.
De poços quânticos à emissão e absorção de luz.
Já vimos como a resolução da equação de Schrödinger para um eletrão confinado num poço quântico produz uma série de níveis de energia, cada um dos quais se transforma numa sub-banda parabólica quando se considera o movimento paralelo às camadas do semicondutor.
Podemos realizar exatamente o mesmo cálculo para os buracos. Isso é ilustrado em ??, onde os diagramas superiores mostram os estados eletrónicos confinados na banda de condução, enquanto os diagramas inferiores mostram os correspondentes estados de buracos confinados na banda de valência. Para maior clareza, o poço da banda de valência é representado invertido, com as energias de confinamento dos buracos medidas de baixo para cima, a partir do máximo da banda de valência.
Depois de termos calculado os dois conjuntos de estados, podemos começar a descrever a interação do poço quântico com a luz. Por exemplo, um eletrão que ocupa um estado da banda de condução pode recombinar-se com uma lacuna num estado da banda de valência, libertando energia sob a forma de um fotão. O processo inverso também é possível: um fotão incidente pode ser absorvido, excitando um eletrão da banda de valência para a banda de condução.
Cálculo da Energia de Transição
Observe a seta vermelha sólida em ??. Esta ilustra uma transição entre as sub-bandas de menor energia para elétrons e lacunas, quando o vetor de onda no plano é zero.
A energia necessária para esta transição é a diferença de energia da banda do semicondutor, acrescida das energias de confinamento do eletrão e da lacuna:
\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}} = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} } \]
Aqui, \(E_g\) representa a largura da banda proibida do material do poço quântico, enquanto \(E_{e,n}\) e \(E_{h,m}\) representam as energias de confinamento dos eletrões e das lacunas, medidas em relação às respetivas extremidades da banda.
No exemplo apresentado na figura, a largura da banda proibida é \(1.42\,\mathrm{eV}\), a energia mínima de confinamento dos eletrões é \(39\,\mathrm{meV}\) e a energia mínima de confinamento das lacunas é \(7\,\mathrm{meV}\). A energia de transição resultante é, portanto:
\[ E_{\mathrm{photon}} = 1.42+0.039+0.007 = 1.466\,\mathrm{eV}. \]
Note que este valor é ligeiramente superior à largura da banda proibida do semicondutor. Ao confinar os eletrões e as lacunas dentro de um poço quântico, aumentámos a energia necessária para a transição ótica. Isto permite-nos ajustar o comprimento de onda de absorção e emissão, simplesmente alterando a largura do poço.
O que acontece quando o momento no plano aumenta?
Os eletrões e as lacunas não se encontram apenas no fundo das respetivas sub-bandas. Também podem mover-se paralelamente às camadas do semicondutor, ganhando energia adicional à medida que o seu vetor de onda no plano aumenta.
Isto é ilustrado pela seta vermelha tracejada na figura. Para uma transição ótica direta, o vetor de onda do cristal no plano é aproximadamente conservado, uma vez que o momento transportado por um fotão é relativamente pequeno.
No nosso modelo simples de banda parabólica, a energia de transição passa, portanto, a ser:
\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}}(k_{\parallel}) = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} + \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu} } \]
Aqui, \(\mu\) representa a massa efetiva reduzida do par elétron-lacuna, definida da seguinte forma:
\[ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e^{*}} + \frac{1}{m_h^{*}}. \]
À medida que o vetor de onda no plano aumenta, a energia de transição também aumenta. Isso significa que uma transição ótica entre duas sub-bandas não se limita a uma única energia de fotão: diferentes estados ocupados ao longo das parábolas podem contribuir para uma gama mais ampla de transições óticas.
Qual é o grau de precisão da aproximação parabólica?
O modelo que desenvolvemos é propositadamente simples. Parte do princípio de que cada banda eletrónica pode ser representada por uma parábola com uma massa efetiva adequada. Esta é, frequentemente, uma aproximação útil perto do mínimo da banda de condução, onde a relação entre a energia e o vetor de onda é aproximadamente quadrática.
No entanto, as estruturas de banda reais dos semicondutores são mais complexas. Um exemplo é apresentado em ??, que ilustra a estrutura de banda eletrónica calculada do GaAs.
Note que a banda de condução tem uma forma aproximadamente parabólica perto do seu ponto mínimo, no ponto Gamma, mas afasta-se dessa forma simples à medida que nos afastamos. A banda de valência é ainda mais complexa, contendo bandas de lacunas pesadas, lacunas leves e bandas de separação, que podem interagir entre si.
É também importante reconhecer que o eixo horizontal desta figura segue um percurso no espaço recíproco, de L até Gamma e depois até X. Não se trata de um gráfico da posição dentro de um dispositivo semicondutor. Ele descreve como as energias permitidas dos eletrões variam em função do vetor de onda do cristal.
Quando, na análise de bandas, a não parabolicidade, a deformação ou o confinamento intenso se tornam fatores importantes, é necessário ir além da simples aproximação da massa efetiva. Uma forma de o fazer é através da teoria multibanda k·p, que permite tratar várias bandas eletrónicas em conjunto, em vez de aproximar cada uma como uma parábola independente.