Comprensión del modelo k·p de Wurtzite de 8 bandas.
¿Por qué necesitamos un modelo diferente para la wurtzita?
En tutorial sobre la estructura de zincblenda con ocho bandas.permitimos que los estados de conducción y de valencia interactuaran entre sí, en lugar de tratarlos como parábolas independientes. Ahora queremos aplicar el mismo enfoque a materiales como el GaN, el AlN, el InN y sus aleaciones, que se utilizan ampliamente en LED y láseres.
Estos materiales suelen presentar la estructura cristalina de la wurtzita. A diferencia de la estructura cúbica de la esfalerita, su simetría hexagonal distingue una dirección: el eje c del cristal. En esta página, consideraremos que esta dirección es la \(z\), mientras que \(x\) y \(y\) se encuentran en el plano basal perpendicular. Esta distinción es importante porque la energía electrónica, la mezcla de orbitales y la interacción con la luz pueden depender de la dirección.
Primero explicaremos la razón física que subyace a cada nuevo término y, a continuación, mostraremos cómo el hamiltoniano de ocho bandas lo describe. El resultado estará directamente relacionado con las subbandas del pozo cuántico y con la polarización de la luz emitida.
El eje c y la división del campo cristalino
🧪 Prueba esto en OghmaNano: El Tutorial sobre la estructura de ocho bandas de GaN/AlGaN en pozos cuánticos de tipo wurtzita, basado en el método k·p. aplica el modelo desarrollado en esta página para calcular los estados confinados, la mezcla de bandas, las subbandas de pozos cuánticos y las propiedades ópticas TE/TM. Consulte la Solucionador de la estructura de bandas k·p, de pozos cuánticos y de movilidad. para consultar la gama completa de modelos disponibles.
Consideremos los tres estados orbitales de tipo p que se utilizan para representar las bandas de valencia superiores. Los etiquetaremos como \(X\), \(Y\) y \(Z\) según sus características orbitales. Se trata de funciones base electrónicas, no de tres ubicaciones diferentes en un dispositivo. En la estructura de wurtzita, los estados \(X\) y \(Y\) están relacionados por simetría, mientras que \(Z\) se distingue por el eje c.
Esto permite que el potencial del cristal modifique la energía del estado similar a \(Z\) en relación con los estados similares a \(X,Y\), incluso antes de considerar el espín. Este efecto se denomina división del campo cristalino y se ilustra en ??. Posteriormente, el acoplamiento espín-órbita mezcla las características orbitales y de espín, lo que da como resultado tres dobletes de valencia, que a menudo se denominan bandas A, B y C.
Su carácter orbital es importante. Una banda que contiene principalmente un carácter coplanar \(X,Y\) generalmente se acopla de manera diferente a la luz polarizada que una banda que contiene un carácter significativo en el eje c \(Z\). Por esta razón, la división del campo cristalino no es simplemente una pequeña corrección a la banda prohibida; puede afectar las propiedades ópticas de los pozos cuánticos de nitruro.
¿Cuál es el origen de las ocho bandas?
Al igual que en la estructura cristalina de la esfalerita, conservamos una órbita de conducción con carácter predominantemente «s», \(S\), y tres órbitas de valencia con carácter predominantemente «p», \(X\), \(Y\) y \(Z\). Cada órbita tiene dos componentes de espín, lo que da lugar a ocho estados base:
\[ \begin{aligned} \{&|S\uparrow\rangle,\ |S\downarrow\rangle,\\ &|X\uparrow\rangle,\ |Y\uparrow\rangle,\ |Z\uparrow\rangle,\\ &|X\downarrow\rangle,\ |Y\downarrow\rangle,\ |Z\downarrow\rangle\}. \end{aligned} \]
En lugar de resolver ocho ecuaciones independientes, agrupamos estos estados en una única matriz hamiltoniana. Los elementos de la diagonal describen las energías asociadas a cada estado base individual; los elementos que no están en la diagonal describen cómo interactúan entre sí. Es útil dividir la matriz en bloques de conducción, valencia y acoplamiento:
\[ H=\begin{pmatrix} H_{cc}&H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger}&H_{vv} \end{pmatrix}. \]
El bloque de conducción contiene dos estados de espín, el bloque de valencia contiene seis, y \(H_{cv}\) los acopla. El símbolo \(\dagger\) denota el conjugado hermitiano. Una vez que diagonalizamos esta matriz, obtenemos energías y vectores propios cuyos componentes de conducción, valencia, orbital y espín pueden combinarse.
¿Por qué existen dos masas en la banda de conducción?
En tutorial sobre bandas parabólicasla curvatura de una banda se controlaba mediante una masa efectiva. La estructura de Wurtzita nos permite distinguir el movimiento a lo largo del eje c del movimiento en el plano basal. Mediante el uso de... \(k_{\parallel}^2=k_x^2+k_y^2\)una dispersión direccional simple se puede expresar de la siguiente manera:
\[ E_c(\mathbf{k})=E_c+ \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^2}{2m_{e,\parallel}^{*}} +\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m_{e,z}^{*}}. \]
Por lo tanto, el electrón puede adquirir energía a diferentes ritmos, dependiendo de si su movimiento es paralelo o perpendicular a las capas. Esto es especialmente relevante para un pozo cuántico en el plano c, donde el confinamiento se produce a lo largo de \(z\), pero las subbandas se representan en función de \(k_{\parallel}\).
Dentro del hamiltoniano multibanda, OghmaNano utiliza dos parámetros de conducción: \(S_1\) para el eje c y \(S_2\) para el plano basal:
\[ H_{cc}=E_c+A_0(S_2k_{\parallel}^2+S_1k_z^2), \qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}. \]
Estos parámetros describen la curvatura residual del bloque de conducción. Las masas finales en el borde de la banda también dependen del acoplamiento a los estados de valencia, que se incluyen explícitamente a continuación. En consecuencia, los parámetros deben elegirse de forma coherente para que la misma contribución interbanda no se cuente dos veces.
¿Por qué la wurtzita necesita dos parámetros de Kane?
En introducción a la teoría de k·p...nos encontramos con elementos de la matriz del momento que conectan diferentes estados orbitales. Por ejemplo, un estado de conducción similar a un estado «s» se acopla a los tres estados de valencia similares a un estado «p». La intensidad de estas interacciones se conoce como... Parámetros de Kane.
La wurtzita requiere valores de acoplamiento distintos para el eje c y el plano basal:
- \(P_2\): acoplamiento entre \(S\) y los orbitales del plano \(X,Y\) a través de \(k_x,k_y\).
- \(P_1\): acoplamiento entre \(S\) y la órbita del eje c \(Z\) a través de \(k_z\).
Según la convención que se utiliza en este documento, los elementos representativos del hamiltoniano son:
\[ \begin{aligned} H_{SX}&=iP_2k_x,\\ H_{SY}&=iP_2k_y,\\ H_{SZ}&=iP_1k_z. \end{aligned} \]
Sus conjugados hermíticos aparecen en el lado opuesto de la matriz. Los parámetros se especifican a menudo mediante las energías de Kane:
\[ P_1=\sqrt{A_0E_{p1}},\qquad P_2=\sqrt{A_0E_{p2}}. \]
Tener dos acoplamientos significa que los estados electrónicos responden de manera diferente a las interacciones a lo largo del eje c y perpendicular a él. Además, esto nos proporcionará una explicación directa de las reglas de selección óptica TE y TM más adelante.
¿Por qué necesitamos seis parámetros de valencia?
La banda de conducción comenzó con una única órbita de tipo «s» para cada espín. El sector de valencia contiene tres órbitas de tipo «p» por espín, estrechamente espaciadas en energía. A medida que cambia el vector de onda, estos estados pueden combinarse en lugar de seguir tres parábolas independientes.
El modelo de wurtzita describe la curvatura direccional y la combinación de estos estados mediante seis parámetros comúnmente tabulados, de \(A_1\) a \(A_6\), conocidos como los parámetros de Rashba-Sheka-Pikus. Algunos de ellos determinan cómo cambian las energías de las bandas en función del movimiento a lo largo o en dirección perpendicular al eje c; otros controlan el acoplamiento entre los componentes orbitales.
Dejando temporalmente de lado los términos relacionados con el espín y otros, el bloque de valencia cartesiano dependiente del vector de onda tiene la siguiente forma esquemática:
\[ H_v^{\mathrm{kin}}= \begin{pmatrix} H_{XX}&N_1k_xk_y&N_2k_xk_z\\ N_1k_xk_y&H_{YY}&N_2k_yk_z\\ N_2k_xk_z&N_2k_yk_z&H_{ZZ} \end{pmatrix}. \]
Los elementos de la diagonal describen principalmente las características de \(X\), \(Y\) y \(Z\). Los elementos que no están en la diagonal los combinan cuando están presentes los componentes relevantes del vector de onda. Esta combinación es una de las razones por las que las subbandas de valencia calculadas no pueden sustituirse, en general, por tres parábolas simples.
Cómo OghmaNano utiliza los parámetros A1–A6.
Las siguientes definiciones describen la convención del coeficiente cartesiano que se utiliza en el modelo de wurtzita de OghmaNano. En primer lugar, definimos:
\[ \begin{aligned} L_1&=A_0(A_5+A_4+A_2-1),\\ L_2&=A_0(A_1-1),\\ M_1&=A_0(A_4+A_2-A_5-1),\\ M_2&=A_0(A_1+A_3-1),\\ M_3&=A_0(A_2-1),\\ N_1&=2A_0A_5,\\ N_2&=\sqrt{2}\,A_0A_6. \end{aligned} \]
Si se considera la contribución de los electrones libres \(A_0k^2\) por separado, los valores de la matriz diagonal de valencia son:
\[ \begin{aligned} H_{XX}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+L_1k_x^2+M_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{YY}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_1k_x^2+L_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{ZZ}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_3k_{\parallel}^2+L_2k_z^2. \end{aligned} \]
Los elementos que no se encuentran en la diagonal principal son \(H_{XY}=N_1k_xk_y\), \(H_{XZ}=N_2k_xk_z\) y \(H_{YZ}=N_2k_yk_z\), entendiéndose sus correspondientes elementos hermíticos. La referencia \(E_{v,\mathrm{av}}\) se elige de manera coherente con los términos de campo cristalino y de interacción espín-órbita. Las convenciones de los parámetros varían según la publicación, por lo que los valores tabulados no deben transferirse entre diferentes convenciones del hamiltoniano sin verificar dónde se han incluido las contribuciones de los electrones libres y las interbandas.
Añadiendo un toque de originalidad: los tres dobles enlaces con valencia.
Ahora podemos volver al diagrama del campo cristalino. En la convención de OghmaNano, los parámetros de división relevantes se denotan como \(\delta_1\), \(\delta_2\) y \(\delta_3\). El término del campo cristalino \(\delta_1\) distingue los orbitales basales del orbital del eje c. Los dos parámetros restantes describen el acoplamiento espín-órbita, que mezcla las características orbital y de espín.
Al diagonalizar el bloque de valencia en el centro de la zona, se obtienen tres niveles de valencia degenerados dos veces, que están muy próximos entre sí (A, B y C). Su ordenamiento está determinado por los parámetros del material, y no por la suposición de que un orbital en particular debe ser siempre el de mayor energía. OghmaNano establece su referencia de energía de valencia de tal manera que el nivel de valencia más alto resultante en el centro de la zona coincida con el borde de la banda de valencia elegido \(E_v\).
Esto es importante desde el punto de vista óptico: la naturaleza del nivel de valencia superior determina qué polarización puede acoplarse con mayor intensidad a las transiciones interbanda de menor energía.
¿Qué efecto tiene la tensión en las bandas de energía de la wurtzita?
Normalmente, una capa de pozo cuántico se hace crecer sobre otro semiconductor. Si los materiales tienen diferentes dimensiones naturales de red cristalina, se puede forzar a que una capa delgada se ajuste al espaciamiento en el plano de sus materiales vecinos. Esto produce tensión, que desplaza y mezcla los estados electrónicos.
En una estructura de tipo c, los componentes de la deformación en el plano pueden ser similares entre sí, mientras que la deformación a lo largo del eje c es diferente. Por lo tanto, la estructura de tipo wurtzita requiere potenciales de deformación direccionales. OghmaNano utiliza \(a_1,a_2\) para la contribución de la banda de conducción y \(D_1\)–\(D_6\) para la matriz de deformación de la banda de valencia.
Según las convenciones de la documentación del modelo actual, el cambio en la conducción se indica de la siguiente manera:
\[ \Delta E_c=a_z\varepsilon_{zz} +a_{xy}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}), \quad a_z=a_1+D_1,\quad a_{xy}=a_2+D_2. \]
Los coeficientes de deformación de valencia se obtienen a partir de combinaciones de los términos \(D_i\), de forma similar a los coeficientes cinéticos direccionales:
\[ \begin{aligned} l_1&=D_5+D_4+D_2,&l_2&=D_1,\\ m_1&=D_4+D_2-D_5,&m_2&=D_1+D_3,\\ m_3&=D_2. \end{aligned} \]
Para obtener un crecimiento ideal de tipo pseudomórfico en el plano c, sin deformación por cizallamiento, los términos proporcionales a los componentes de cizallamiento desaparecen. Sin embargo, siguen siendo necesarios para orientaciones de crecimiento y campos de deformación más generales. El resultado importante es que la deformación puede modificar la banda prohibida y reorganizar los estados de valencia superiores, lo que tiene consecuencias para la polarización óptica.
De las características orbitales a las transiciones ópticas TE y TM.
El tutorial sobre transiciones ópticas explicaba cómo la diferencia de energía entre un estado de conducción y un estado de valencia determina la energía del fotón. Sin embargo, la simple conservación de la energía no nos indica la intensidad con la que una transición se acopla a la luz. La orientación del campo eléctrico de la luz también es importante.
Para la convención habitual de la estructura cuántica en el plano c, distinguimos lo siguiente:
- Polarización TE: campo eléctrico dentro del plano basal, perpendicular al eje c. Principalmente, permite analizar el carácter de valencia en el punto \(X,Y\) a través del acoplamiento de Kane en el punto \(P_2\).
- Polarización TM: campo eléctrico a lo largo del eje c. Permite analizar el carácter de la banda de valencia \(Z\) a través de \(P_1\).
Para una dirección de polarización de la luz \(\mathbf e\), la amplitud de la transición óptica implica el elemento de la matriz del momento:
\[ \mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)= \langle\Psi_c|\mathbf e\cdot\mathbf p|\Psi_v\rangle, \qquad \text{transition strength}\propto |\mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)|^2. \]
El elemento de la matriz incluye tanto el acoplamiento de Kane direccional adecuado como la superposición de los componentes de la envolvente del electrón y el hueco. Esto explica por qué la misma estructura cuántica puede generar diferentes intensidades ópticas TE y TM, incluso para transiciones entre los mismos niveles de energía.
Ahora podemos entender por qué fue importante presentar primero la división del campo cristalino, el acoplamiento espín-órbita y la tensión: estos factores determinan la combinación orbital de los estados de valencia, lo que a su vez determina cómo interactúan estos estados con la luz polarizada de diferentes maneras. Esto es importante al modelar los LED y los láseres de nitruro. Las transiciones resultantes, polarizadas en TE y TM, pueden estudiarse en el Tutorial sobre la estructura de ocho bandas de GaN/AlGaN en pozos cuánticos de tipo wurtzita, basado en el método k·p..
¿Cómo se aplica el modelo a un pozo cuántico?
Hasta ahora, hemos utilizado los componentes del vector de onda \(k_x,k_y,k_z\) para describir las bandas de conducción. En un pozo cuántico cultivado a lo largo del eje c, los electrones y las huecas están confinados a lo largo de \(z\), pero aún pueden moverse dentro del plano \(x\)-\(y\). Al igual que en el modelo de zincblenda, el vector de onda en la dirección de crecimiento se convierte en un operador diferencial:
\[ k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}. \]
Por lo tanto, se resuelve la Hamiltoniana de ocho bandas para ocho componentes de envolvente acopladas a lo largo de la pila de capas, en puntos específicos de los vectores de onda en el plano. El potencial, los parámetros de masa efectiva, el acoplamiento de Kane y la tensión pueden variar entre los materiales del pozo y la barrera. Los coeficientes dependientes de la posición y los términos de derivada requieren una discretización consistente de la interfaz hermitiana.
En una cuadrícula con \(N_z\) puntos, hay ocho componentes en cada punto, lo que da lugar a un problema numérico acoplado con \(8N_z\) incógnitas. Sus autovalores proporcionan los estados confinados; los autovectores describen el contenido espacial, orbital y de espín de dichos estados. Al repetir la solución para diferentes vectores de onda en el plano, se obtienen las subbandas electrónicas. Estas se utilizan posteriormente para calcular las transiciones ópticas que dependen de la polarización.
¿Qué aportes ha supuesto el modelo de ocho factores?
El modelo parabólico es un buen punto de partida para el estudio del confinamiento cuántico, pero no puede describir el acoplamiento entre estados de valencia muy próximos ni la respuesta óptica direccional completa de la estructura wurtzita. El modelo de ocho bandas mantiene la misma visión general de los estados y subbandas confinados, al tiempo que incorpora la física necesaria para la estructura cristalina hexagonal.