Compreendendo o Modelo de Valência de Seis Bandas de Luttinger–Kohn

Por que precisamos de um modelo específico para os buracos?

Em tutorial sobre bandas parabólicasUtilizámos parábolas separadas para descrever o comportamento dos eletrões e das lacunas. Este é um ponto de partida útil, mas as bandas de valência superiores de muitos semicondutores são consideravelmente mais complexas. Em vez de uma única banda de lacunas, encontramos várias bandas próximas umas das outras, que podem interagir entre si.

Estas bandas são convencionalmente designadas por bandas de «buraco pesado» (HH), «buraco leve» (LH) e «buraco de separação» (SO), como ilustrado em ??. Os termos «pesado» e «leve» referem-se às diferentes curvaturas das bandas e, consequentemente, às diferentes massas efetivas; não significam que existam dois tipos físicos diferentes de buraco.

O/A modelo de Luttinger-Kohn (LK) com seis bandas. descreve esses estados de valência em conjunto. É particularmente útil para poços quânticos de silício, germânio e SiGe, onde os estados de condução podem ser tratados separadamente. modelo do Vale do SilícioAo contrário de um modelo de oito bandas, o modelo LK de seis bandas não inclui explicitamente a banda de condução: concentra-se na física dos buracos.

Qual a origem dos seis estados?

Para compreender o número seis, é útil começar pelas orbitais da banda de valência. Perto do centro da zona, os estados relevantes nos semicondutores de diamante e de tipo esfalerita têm três componentes orbitais semelhantes a p, que podemos designar por X, Y e Z. Um eletrão também tem dois componentes de spin possíveis. Assim, três componentes orbitais multiplicados por dois componentes de spin resultam em seis estados.

A interação spin-órbita do cristal acopla o momento angular orbital e o momento angular de spin. É então conveniente substituir os rótulos separados de orbital e spin por estados de momento angular total, representados por J e a sua projeção, mJ. Os seis estados se dividem em um grupo de quatro com J = 3/2 e um grupo de dois com J = 1/2:

\[ \underbrace{4\text{ states}}_{J=3/2} \quad+\quad \underbrace{2\text{ states}}_{J=1/2} \quad=\quad 6\text{ states}. \]

Os quatro estados com J = 3/2 formam o conjunto de bandas de condução pesada e leve no centro da zona de Brillouin. O par restante forma a banda separada, deslocada para baixo devido à energia de interação spin-órbita \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Não se trata de seis parábolas independentes: à medida que uma carga se afasta do centro da zona, os diferentes componentes podem interagir, razão pela qual é necessário resolvê-los em conjunto.

Como escolher a base de seis bandas.

A OghmaNano utiliza a base do momento angular total, com a seguinte ordem de estados:

\[ \begin{aligned} &\left|\tfrac32,+\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,-\tfrac12\right\rangle,\\[4pt] &\left|\tfrac32,-\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,-\tfrac12\right\rangle. \end{aligned} \]

O primeiro e o quarto estados apresentam características de buracos pesados, os dois estados centrais do grupo J = 3/2 apresentam características de buracos leves e os dois últimos estados são estados de separação. Esta ordem é útil porque a separação spin-órbita já está incluída na base: no centro da zona de Brillouin, o par de estados de separação situa-se \(\Delta_{\mathrm{so}}\) abaixo dos estados de valência superiores.

Podemos, portanto, construir uma matriz Hamiltoniana de 6 × 6, que descreve os estados individuais e as interações entre eles. As energias permitidas são obtidas através do cálculo dos seus autovalores, enquanto os autovetores indicam o caráter de «buraco pesado», «buraco leve» e «buraco com energia dividida» de cada estado resultante.

Como descrevemos o movimento de um buraco?

Numa única banda parabólica, uma massa efetiva determina a rapidez com que a energia varia em função do vetor de onda. Aqui, temos vários estados de valência acoplados, pelo que uma única massa já não é suficiente. Em vez disso, o modelo de Luttinger-Kohn utiliza três parâmetros do material, \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) e \(\gamma_3\), para descrever a curvatura e a mistura das bandas.

Estes parâmetros são agrupados em quatro quantidades matemáticas práticas, tradicionalmente designadas por \(P\), \(Q\), \(R\) e \(S\). As suas funções físicas são mais facilmente compreendidas antes de se analisarem as suas expressões completas:

• \(P\): a contribuição comum para a curvatura dos estados de valência.
• \(Q\): permite distinguir diferentes orientações dos estados de buraco pesado e buraco leve e pode separar as suas energias.
• \(R\): acopla os componentes de valência através do movimento no plano das camadas semicondutoras.
• \(S\): os estados de tensão são produzidos através de uma combinação de movimento no plano e movimento entre as camadas.

O vetor de onda subjacente tem três componentes: \(k_x\) e \(k_y\) descrevem o movimento paralelo às camadas do poço quântico, enquanto \(k_z\) se refere à direção de crescimento, perpendicular a essas camadas. Definimos também \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\), onde \(m_0\) é a massa do eletrão livre.

Na convenção de sinais utilizada na formulação OghmaNano fornecida, as contribuições cinéticas são as seguintes:

\[ \begin{aligned} P_k &= -A_0\gamma_1(k_x^2+k_y^2+k_z^2),\\[5pt] Q_k &= -A_0\gamma_2(k_x^2+k_y^2-2k_z^2),\\[5pt] R_k &= \sqrt{3}A_0\left[\gamma_2(k_x^2-k_y^2) -2i\gamma_3k_xk_y\right],\\[5pt] S_k &= 2\sqrt{3}A_0\gamma_3(k_x-ik_y)k_z. \end{aligned} \]

Não precisamos memorizar estas expressões para compreender o modelo. Em vez disso, observe que alguns termos dependem de \(k_x\) e \(k_y\) de forma diferente de \(k_z\). Esta é a matemática que permite ao modelo descrever diferentes comportamentos das bandas de condução e de valência em diferentes direções do cristal. Os fatores imaginários em \(R\) e \(S\) fazem parte da base quântica escolhida; o Hamiltoniano completo permanece hermitiano e possui energias reais.

Um Exemplo Útil: Um Orifício que se Desloca ao Longo da Direção do Crescimento

Antes de analisar a matriz completa, considere o caso simples em que o vetor de onda no plano é zero, ou seja, \(k_x=k_y=0\). Os termos cinéticos serão então reduzidos a:

\[ \begin{aligned} P_k &=-A_0\gamma_1k_z^2,\\[3pt] Q_k &=+2A_0\gamma_2k_z^2,\\[3pt] R_k &=0,\qquad S_k=0. \end{aligned} \]

Consequentemente, a diagonal correspondente aos buracos pesados contém \(P+Q\), enquanto a diagonal correspondente aos buracos leves contém \(P-Q\). Mesmo sem calcular todos os autovalores, podemos observar como surgem diferentes curvaturas:

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{HH}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1-2\gamma_2)k_z^2,\\[4pt] E_{\mathrm{LH,diag}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1+2\gamma_2)k_z^2. \end{aligned} \]

Estas expressões mostram as diferentes escalas de curvatura ao longo da direção de crescimento. Existe uma ressalva importante: a parte «light-hole» do Hamiltoniano completo de seis bandas ainda pode interagir com os estados «split-off» através de \(Q\). Assim, a segunda expressão representa uma contribuição diagonal, e não, em geral, o autovalor exato de «light-hole» do modelo de seis bandas. Isto ilustra precisamente por que precisamos de resolver uma matriz, em vez de assumir que cada banda de valência é independentemente parabólica.

Unindo os Seis Estados

Agora que cada um dos termos individuais tem um significado físico, podemos construir o Hamiltoniano completo. As suas linhas e colunas correspondem, por ordem, aos seis estados que foram introduzidos anteriormente. Medimos as energias em relação à referência da banda de valência \(E_v\) e escrevemos \(\Delta=\Delta_{\mathrm{so}}\):

\[ \small H=E_v\mathbb{1}+ \begin{pmatrix} P+Q & S & R & 0 & -S/\sqrt2 & -\sqrt2 R\\ S^\dagger & P-Q & 0 & R & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S\\ R^\dagger & 0 & P-Q & -S & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q\\ 0 & R^\dagger & -S^\dagger & P+Q & \sqrt2 R^\dagger & -S^\dagger/\sqrt2\\ -S^\dagger/\sqrt2 & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S & \sqrt2 R & P-\Delta & 0\\ -\sqrt2 R^\dagger & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q & -S/\sqrt2 & 0 & P-\Delta \end{pmatrix}. \]

Isto parece muito mais complicado do que uma simples equação de Schrödinger, mas a sua estrutura é bastante simples. As quatro primeiras linhas e colunas descrevem o conjunto de buracos pesados e leves. As duas últimas descrevem o par de buracos separados. Os elementos na diagonal descrevem as energias dos componentes individuais, enquanto os elementos fora da diagonal os misturam. O símbolo de adaga denota o conjugado hermitiano de um termo; para um coeficiente escalar, isto significa o seu conjugado complexo.

No centro da zona de Brillouin e sem tensão, os termos cinéticos desaparecem: os quatro estados com J = 3/2 partilham a extremidade da banda de valência e o par de níveis separados situa-se \(\Delta\) abaixo dela. Longe do centro da zona, a mistura altera as energias e o caráter das bandas resultantes.

O que acontece quando o semicondutor é submetido a tensão?

As camadas quânticas de silício e germânio são frequentemente cultivadas sobre um substrato com uma constante de rede ligeiramente diferente. Isso introduz tensões, que podem alterar as energias de valência e eliminar a degenerescência dos estados de buracos pesados e leves.

Uma característica útil da formulação de Luttinger–Kohn é que a deformação pode ser introduzida utilizando outro conjunto de termos \(P,Q,R,S\). Simplesmente combinamos as contribuições cinéticas e de deformação:

\[ \begin{aligned} P&=P_k+P_{\varepsilon}, &Q&=Q_k+Q_{\varepsilon},\\ R&=R_k+R_{\varepsilon}, &S&=S_k+S_{\varepsilon}. \end{aligned} \]

Por exemplo, a contribuição da tensão hidrostática responde à alteração geral do volume, enquanto o componente biaxial distingue a deformação ao longo da direção de crescimento da deformação no plano:

\[ \begin{aligned} P_{\varepsilon}&=a_v(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}),\\[4pt] Q_{\varepsilon}&=\frac{b}{2} (\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}). \end{aligned} \]

Os componentes de deformação remanescentes contribuem para \(R_{\varepsilon}\) e \(S_{\varepsilon}\), permitindo que a deformação por cisalhamento misture os estados de valência. As expressões completas e as convenções de potencial de deformação são apresentadas na página Bir–Pikus sobre deformação. Podemos então resolver a mesma matriz de seis bandas, incluindo os termos de deformação.

Aplicando o Modelo a um Poço Quântico

Até agora, descrevemos a estrutura de bandas utilizando três componentes de vetor de onda. Numa estrutura quântica, as cargas ficam confinadas ao longo da direção de crescimento \(z\), mantendo-se livres para se moverem ao longo de \(x\) e \(y\). Os vetores de onda no plano são, portanto, mantidos como números, mas o movimento ao longo de \(z\) deve ser representado por um operador:

\[ k_z\longrightarrow-i\frac{d}{dz}. \]

Todos os termos que contêm \(k_z\) tornam-se derivados das funções de onda do invólucro. O problema das seis bandas é então resolvido em todas as camadas do semicondutor, tendo em conta o perfil do potencial, os parâmetros do material e a tensão. O resultado é um conjunto de sub-bandas de valência confinadas, cada uma com uma função de onda do invólucro com seis componentes. Estes componentes indicam-nos a quantidade de caráter de buraco pesado, buraco leve e buraco dividido presente em cada estado.

Se a grelha que define a direção do crescimento contém \(N_z\) pontos espaciais, o Hamiltoniano discreto tem as dimensões \(6N_z\) por \(6N_z\). O OghmaNano utiliza este cálculo multibanda para os estados de valência, enquanto o solucionador do vale Δ de silício trata os estados de condução separadamente. Ao contrário de um tratamento parabólico simples, esta abordagem pode descrever a mistura da banda de valência, que varia com o vetor de onda no plano. Um cálculo completo de Si/SiGe utilizando este modelo é demonstrado em tutorial de seis bandas de Luttinger–Kohn para poços quânticos.

Como se relaciona isto com o modelo de oito bandas?

O modelo LK de seis canais e o modelo k·p de oito bandas para a estrutura cristalina de tipo esfalerita descrevem a física relacionada, mas fazem escolhas diferentes sobre quais estados são incluídos explicitamente. Ambos mantêm os estados de valência que interagem entre si. O modelo de oito bandas também adiciona os dois estados de condução, semelhantes aos orbitais s e com resolução de spin, e o seu acoplamento de Kane à banda de valência.

Num semicondutor como o silício, onde os mínimos de condução mais baixos ocorrem longe do centro da zona de Brillouin, um Hamiltoniano de oito bandas centrado na zona não descreve diretamente esses seis vales. É, portanto, útil tratar a banda de valência com o modelo de seis bandas de LK e a banda de condução com o modelo específico para os vales.