Poço Quântico de Silício/SiGe: Tutorial sobre o Modelo de Seis Bandas de Luttinger–Kohn para Buracos.

1. Introdução

Nosso(a) tutorial sobre o vale em forma de delta de silício examinou elétrons num poço quântico de Si/SiGe. Este tutorial analisa o outro lado da sua estrutura eletrónica: lacunas na banda de valênciaEmbora a estrutura em camadas seja semelhante, a física subjacente é bastante diferente. Um eletrão próximo a um vale de condução específico do silício pode ser descrito usando uma massa efetiva anisotrópica; o topo da banda de valência contém vários estados próximos e que interagem entre si. Uma única parábola de lacuna, portanto, não consegue captar informações importantes.

Aqui, utilizamos o modelo de seis bandas de Luttinger–Kohn (LK6) da OghmaNano para calcular as sub-bandas de lacunas confinadas numa estrutura de silício de 10 nm, situada entre duas camadas de SiGe de 20 nm. Em seguida, aprofundamos o cálculo para além das energias das bandas: o exemplo também avalia o espalhamento por fónons acústicos, a ocupação das lacunas e a mobilidade resultante no plano. Pode utilizar o exemplo predefinido fornecido sem ter de construir a estrutura do zero.

2. Abrir o exemplo com seis bandas.

Selecione «Ficheiro» → «Nova simulação». No navegador de exemplos, clique duas vezes em «Demonstrações GaAs» (??). Esta pasta contém também os modelos de poços quânticos semicondutores, incluindo exemplos de silício. Na janela seguinte, clique duas vezes em «Poço Quântico de Banda de Valência Si/SiGe com Tensão» (LK6) (??). Tenha cuidado ao escolher o exemplo de «Banda de Valência»: o modelo vizinho «Delta-Valley» calcula os eletrões de condução do silício em vez disso.

3. Inspeção da estrutura Si/SiGe e dos parâmetros dos materiais.

A janela principal apresenta uma representação tridimensional do exemplo (??). As cargas elétricas são confinadas nas camadas, que denominamos direção z, mas mantêm a liberdade de movimento no plano x–y. Clique em «Editor de camadas» para visualizar as espessuras reais e a definição da camada central como um poço quântico.

A coluna de materiais ópticos mostrada em ?? não substitui a necessidade de verificar as definições dos materiais eletrónicos. Os deslocamentos na extremidade da banda, a composição da liga e quaisquer configurações de tensão afetam o potencial de confinamento real, pelo que mantenha a configuração fornecida no exemplo para a sua primeira execução.

Abra os parâmetros elétricos e selecione Si (QW) (??). A captura de tela mostra o parâmetro de Luttinger gamma1 e a referência bibliográfica correspondente. Ao contrário de um modelo eletrónico de uma única banda, o cálculo da banda de valência utiliza três parâmetros de Luttinger para descrever as suas ramificações acopladas de buracos pesados, buracos leves e buracos com energia dividida. Também requer a divisão spin-órbita e, quando a deformação está ativada, os parâmetros de potencial de deformação adequados.

4. Por que a banda de valência precisa de seis componentes?

Próximo ao valor máximo da banda de valência do silício, existem duas famílias conhecidas de estados de lacunas: lacunas pesadas (HH) e lacunas leves (LH). Uma família de estados de menor energia, denominada «split-off» (SO), surge através da interação spin-órbita. Cada família possui dois estados básicos relacionados ao spin, o que resulta nas seis componentes do modelo LK6. Estas são componentes básicas de uma função de onda acoplada, não sendo necessariamente seis bandas parabólicas que se movem independentemente.

O invólucro do poço quântico pode ser representado esquematicamente como um vetor coluna de seis componentes.

\[ \Psi(z)=\begin{pmatrix} F_{\mathrm{HH}+}(z) & F_{\mathrm{LH}+}(z) & F_{\mathrm{SO}+}(z) & F_{\mathrm{HH}-}(z) & F_{\mathrm{LH}-}(z) & F_{\mathrm{SO}-}(z) \end{pmatrix}^{\!T}. \]

Aqui, as etiquetas indicam a principal característica do conjunto de base do momento angular subjacente. À medida que o momento no plano muda, os componentes geralmente se misturam, pelo que um estado próprio inicialmente descrito como semelhante a HH não precisa de permanecer puramente semelhante a um buraco pesado em vetores de onda maiores. O problema resolvido pelo computador tem a seguinte forma:

\[ \left[H_{\mathrm{LK}}(k_x,k_y,-i\partial_z) +H_{\mathrm{BP}}(\varepsilon)+V_v(z)I_6\right]\Psi =E(k_x,k_y)\Psi. \]

O termo de Luttinger-Kohn descreve a energia cinética e a mistura dos estados de valência; o termo de Bir-Pikus descreve a sua resposta à deformação; e \(V_v(z)\) representa o perfil de confinamento da banda de valência. O modelo mantém o acoplamento entre os componentes da base, em vez de atribuir uma massa constante independente a HH, LH e SO. Não é necessário montar esta matriz manualmente para o tutorial; consulte a página da teoria LK6 para obter o Hamiltoniano detalhado.

Para fins de comparação, mesmo uma aproximação simplificada em grande escala demonstra por que os três parâmetros de Luttinger são importantes: ao longo de uma direção principal cúbica, as curvaturas dos buracos pesados e leves estão relacionadas a diferentes combinações dos parâmetros, de forma esquemática.

\[ \frac{m_0}{m_{\mathrm{HH}}^{*}}\simeq\gamma_1-2\gamma_2, \qquad \frac{m_0}{m_{\mathrm{LH}}^{*}}\simeq\gamma_1+2\gamma_2. \]

Estes são exemplos úteis de relações limitantes, e não uma instrução para substituir o cálculo completo de seis bandas de poço quântico por duas parábolas separadas. Na estrutura confinada, a largura do poço, o acoplamento spin-órbita, a tensão e o momento no plano determinam os autovalores reais e a sua evolução.

5. Executar o cálculo.

Volte para a faixa de opções «Ficheiro» e clique em «Executar simulação». O OghmaNano começa por resolver os estados de valência confinados de LK6 ao longo de uma sequência de vetores de onda no plano. Pode acompanhar o cálculo na guia «Terminal» (??). As energias target apresentadas são os valores-alvo internos do solucionador de autovalores; as mensagens de convergência indicam que os autoestados solicitados foram encontrados numericamente.

Aguarde até que o processo de resolução seja concluído. O cálculo da dispersão requer tempo adicional, pois é necessário avaliar as transições entre os estados eletrónicos iniciais ocupados e os estados eletrónicos finais disponíveis, em vez de apenas determinar as energias das sub-bandas.

6. Análise da dispersão da banda de valência calculada.

Abra a guia «Resultados». Os ficheiros resultantes incluem gráficos relacionados com as bandas de energia, bem como pastas de dispersão e mobilidade (??). Abra o resultado da banda de valência para obter ??.

Em \(k_{\parallel}=0\), o confinamento determina a energia inicial discreta de cada sub-banda. Ao passar para um \(k_{\parallel}\) finito, as curvas inclinam-se para baixo, de acordo com a convenção de energia eletrónica apresentada, apresentando uma curvatura e separação ligeiramente diferentes. Os pares de linhas próximos são consistentes com pares relacionados ao spin (Kramers) num cálculo com simetria de inversão temporal; não devem ser automaticamente atribuídos a diferentes tipos de lacunas.

Uma forma útil de compreender este conceito é lembrar que uma «lacuna» representa a ausência de um eletrão na banda de valência. A energia da lacuna pode, portanto, ser expressa em relação a uma referência escolhida na banda de valência, da seguinte forma:

\[ E_h(\mathbf{k}_{\parallel})=E_{v,\mathrm{ref}}-E_v(\mathbf{k}_{\parallel}). \]

Dessa forma, um ramo da banda de valência que se curva para baixo, afastando-se do seu ponto máximo, corresponde a um aumento da energia de excitação dos buracos. O caráter real de cada ramo (buraco pesado/buraco leve/acoplamento spin-órbita) é determinado a partir do vetor próprio de seis componentes, e não apenas a partir da sua cor ou curvatura.

Vale a pena comparar este resultado com a dispersão da banda de condução em tutorial sobre o vale em forma de delta de silícioNesse caso, as diferentes orientações dos vales são tratadas utilizando massas eletrónicas anisotrópicas; aqui, os estados de lacuna são acoplados diretamente no Hamiltoniano de valência multibanda.

7. Dispersão acústico-fónica e o tempo de vida das lacunas.

A estrutura de bandas informa-nos sobre quais os estados de lacuna disponíveis, mas não consegue, por si só, prever a rapidez com que uma lacuna perde o seu momento. Neste exemplo, a OghmaNano utiliza os estados confinados calculados para avaliar o espalhamento acústico-fónico. Um fónon acústico produz um pequeno campo de deformação no cristal, perturbando as bandas de valência e, potencialmente, transferindo uma lacuna de um estado inicial \(i\) para um estado final \(f\).

Abra a pasta de dispersão na guia «Saída» (??). Os ficheiros numerados representam os estados calculados. Por exemplo, a captura de ecrã fornecida de si_lk6_acoustic_tau_02.csv apresenta o tempo de vida da dispersão acústica em função do vetor de onda no plano.

O ponto de partida físico é a regra de ouro de Fermi.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle\Psi_f|H_{\mathrm{e-ph}}|\Psi_i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}). \]

O elemento da matriz descreve a intensidade com que uma vibração da rede cristalina acopla os dois estados de lacuna; a função delta representa a conservação da energia para a absorção ou emissão de fónons. Num modelo de valência de seis bandas, o acoplamento depende das funções de onda de lacuna multicomponentes, pelo que as transições permitidas são influenciadas pela mistura HH/LH/SO, bem como pelas energias finais disponíveis. O resultado apresentado diz respeito à aproximação de fónons acústicos utilizada neste exemplo.

Ao somar as transições permitidas, obtém-se a taxa total de ocorrência de eventos \(\Gamma_i\), juntamente com o tempo de vida correspondente.

\[ \Gamma_i=\sum_f W_{i\rightarrow f},\qquad \tau_i=\frac{1}{\Gamma_i}\quad(\Gamma_i\gt 0). \]

O tempo de vida indicado em ?? não é constante. Ele varia à medida que o vetor de onda se desloca por diferentes partes da dispersão de valência acoplada. O valor zero exibido no primeiro ponto amostrado deve ser considerado como uma convenção de limite/saída ou um valor que requer análise, e não como prova de que o tempo de vida da dispersão se anula fisicamente em \(k_{\parallel}=0\).

Existe ainda uma distinção importante para o transporte: nem todas as colisões relaxam a corrente da mesma forma. A dispersão em pequenos ângulos pode alterar o estado microscópico, tendo, no entanto, uma influência relativamente pequena na direção geral do movimento. Uma taxa ponderada pelo transporte é, portanto, frequentemente representada esquematicamente como:

\[ \Gamma_{\mathrm{tr},i}=\sum_f W_{i\rightarrow f} \left(1-\cos\theta_{if}\right),\qquad \tau_{\mathrm{tr},i}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr},i}}. \]

A expressão angular ilustra o princípio do relaxamento do momento; para bandas mistas anisotrópicas, o cálculo completo do transporte deve utilizar as velocidades e os fatores de ponderação adequados. É por isso que o resultado separa as taxas/tempos de vida da dispersão acústica das quantidades relacionadas com o transporte, em vez de utilizar um único valor para todos os fins.

8. Da densidade de lacunas e do nível de Fermi à mobilidade.

Para obter uma propriedade de transporte mensurável, devemos combinar a informação sobre a dispersão com o número de portadores (lacunas) que ocupam cada parte de cada sub-banda. O tutorial inclui, portanto, uma variação da densidade de portadores em cada camada \(p_{2D}\), com unidades de m−2.

O nível de Fermi especifica quais os estados eletrónicos que estão ocupados. Para uma energia de eletrões de valência \(E_v\), a ocupação de equilíbrio do estado de lacuna correspondente pode ser expressa da seguinte forma:

\[ f_h(E_v)=1-f_e(E_v) =\frac{1}{1+\exp\!\left[(E_F-E_v)/(k_B T)\right]}. \]

Aumentar a densidade de orifícios na folha altera o potencial químico em relação aos estados de valência, o que é ilustrado no gráfico da esquerda. Os valores energéticos numéricos exatos dependem da referência adotada pelo modelo; a direção da varredura e as populações resultantes são os aspetos centrais.

A OghmaNano calcula, então, a velocidade e o tempo de relaxamento do transporte dos estados populacionais, a fim de obter a condutividade da folha no plano \(\sigma_{2D}\). A mobilidade correspondente dos buracos é:

\[ \mu_h=\frac{\sigma_{2D}}{q\,p_{2D}}, \qquad \sigma_{2D}\sim q^2\sum_n\int \frac{d^2 k_{\parallel}}{(2\pi)^2} \,v_{n,x}^{2}\,\tau_{\mathrm{tr},n} \left(-\frac{\partial f_e}{\partial E}\right). \]

Aqui, \(v_{n,x}\) representa a velocidade de grupo no plano da sub-banda \(n\), e a integral indica que os estados com diferentes vetores de onda contribuem de forma diferente para a corrente. O gráfico da mobilidade (??) apresenta uma ligeira variação dentro da faixa de densidade mostrada (aproximadamente de 0,165 a 0,151 m2 V−1 s−1). Este é um resultado para o exemplo configurado e para a física de espalhamento incluída, não uma lei universal de mobilidade de buracos em silício, nem uma previsão que incorpore todos os mecanismos de perda experimentais.

9. Experimente você mesmo.

Com isto, conclui-se a série introdutória de seis modelos sobre poços quânticos. A formulação matemática completa e o significado dos parâmetros do material são descritos no capítulo teoria de seis bandas de Luttinger–Kohn e no capítulo deformação de Bir–Pikus.