Epitaxia pseudomórfica e tensores de deformação
Objetivos de aprendizagem. Após ler esta página, deverá ser capaz de:
- Defina o tensor de deformação para uma camada pseudomórfica sobre um substrato.
- Determine a relação de OghmaNano \(\varepsilon_{zz}=-2(C_{12}/C_{11})\varepsilon_{xx}\).
- Diferencie a deformação por compressão da deformação por tração e os seus efeitos nas extremidades da banda de energia.
- Compreenda os componentes hidrostáticos e de cisalhamento (biaxiais) da deformação.
- Observe como a deformação influencia os hamiltonianos de condução e de valência.
Requisitos. O/A introdução ao conceito de poço quânticoO conhecimento básico de elasticidade (tensão, deformação, lei de Hooke) é útil.
Tempo estimado de leitura: 20 minutos.
Quando uma camada é depositada sobre um substrato com uma constante de rede diferente, ela sofre uma deformação para se ajustar ao espaçamento do plano do substrato. Esta deformação pseudomórfica não é um problema a ser evitado, mas sim uma ferramenta de projeto que altera as extremidades das bandas de energia, divide as bandas de lacunas pesadas e leves e ajusta o comprimento de onda e a polarização da emissão. Nesta página, é apresentado o tensor de deformação que a OghmaNano utiliza e é explicado como este é aplicado aos hamiltonianos k·p.
1. Crescimento pseudomórfico
Abaixo de uma espessura crítica, uma camada fina cresce de forma coerente: as suas fileiras atómicas no plano alinham-se com o substrato, pelo que a sua constante de rede no plano é forçada a ser igual à do substrato, enquanto se relaxa livremente ao longo da direção de crescimento. A tensão no plano é, portanto, ...
\[ \varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} = \frac{a_{\text{sub}} - a_{\text{layer}}}{a_{\text{layer}}}, \]
onde \(a_{\text{sub}}\) e \(a_{\text{layer}}\) são as constantes de rede do substrato e da camada, respetivamente, quando não sujeitos a tensão. Se o espaçamento natural da camada exceder o do substrato (\(a_{\text{layer}} > a_{\text{sub}}\)), a tensão no plano é negativa e a camada está sujeita a tensão de compressão; o inverso resulta em tensão de tração. O OghmaNano sinaliza um erro se as constantes de rede ou as constantes elásticas estiverem ausentes, uma vez que a tensão não pode ser definida nesse caso.
2. A deformação fora do plano.
Ao longo da direção de crescimento, a camada não apresenta restrições, pelo que não existe tensão normal à superfície: \(\sigma_{zz}=0\). Para um cristal cúbico que cresce no plano [001], a lei de Hooke relaciona a tensão normal com as deformações através das constantes elásticas \(C_{11}\) e \(C_{12}\).
\[ \sigma_{zz} = C_{11}\varepsilon_{zz} + C_{12}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}) = 0. \]
Ao definir \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}\) e resolver a equação, obtemos a relação que o OghmaNano utiliza.
\[ \varepsilon_{zz} = -\,\frac{2 C_{12}}{C_{11}}\,\varepsilon_{xx}. \]
Assim, a camada deforma-se em sentidos opostos ao longo de \(z\): uma camada sujeita a tensão compressiva (\(\varepsilon_{xx}\)<0\)) stretches along the growth direction (\(\varepsilon_{zz}>0), e vice-versa. Para o crescimento em [001], os componentes de cisalhamento... \(\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{xz}, \varepsilon_{yz}\) todos são iguais a zero, pelo que a deformação é puramente biaxial.
3. Componentes sujeitos a pressão hidrostática e tensões biaxiais.
É útil dividir a deformação em uma parte hidrostática, que altera o volume, e uma parte biaxial (de cisalhamento), que altera a forma. A parte hidrostática é o traço.
\[ \mathrm{Tr}(\varepsilon) = \varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} = 2\varepsilon_{xx}\left(1 - \frac{C_{12}}{C_{11}}\right), \]
que altera a largura da banda através dos potenciais de deformação. A componente biaxial, proporcional a \(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}\), não altera o volume, mas elimina a degenerescência das bandas de valência e, no caso do silício, divide os vales de condução. As duas componentes atuam através de termos hamiltonianos diferentes, pelo que podem ser analisadas de forma independente.
4. Efeito nas bordas da banda.
O componente hidrostático desloca a banda de condução em \(a_c\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) e a banda de valência média em \(a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\), alterando a diferença de energia. O componente biaxial entra na banda de valência através dos potenciais de deformação de cisalhamento \(b\) e \(d\) (estrutura de tipo esfalerita) e divide os buracos pesados e leves. A deformação compressiva geralmente empurra o buraco pesado para a posição mais alta, favorecendo a emissão TE; a deformação de tração pode empurrar o buraco leve para cima, favorecendo a emissão TM. Os operadores precisos são o tema da página de Bir–Pikus, e a forma como cada solucionador utiliza o tensor de deformação está resumida ali e nas páginas do modelo ( esfalerita, wurtzita, silício, Luttinger–Kohn).
Nota sobre a implementação. O OghmaNano define a deformação no plano em relação à constante da rede cristalina da camada, \(\varepsilon_{xx}=(a_{\text{sub}}-a_{\text{layer}})/a_{\text{layer}}\), e implementa o resultado [001] \(\varepsilon_{zz}=-2(C_{12}/C_{11})\varepsilon_{xx}\) com todos os componentes de cisalhamento definidos como zero. Algumas referências normalizam, em vez disso, em relação à constante do substrato; a diferença é de segunda ordem no desajuste e insignificante para deformações típicas, mas vale a pena mencionar ao comparar resultados com outros códigos.
Pontos-chave
- Uma camada pseudomórfica adota o espaçamento do substrato no plano: \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}=(a_{\text{sub}}-a_{\text{layer}})/a_{\text{layer}}\).
- A tensão normal nula resulta em \(\varepsilon_{zz}=-2(C_{12}/C_{11})\varepsilon_{xx}\).
- A deformação divide-se numa componente hidrostática que altera o volume e numa componente biaxial que altera a forma.
- A deformação hidrostática desloca a lacuna; a deformação biaxial divide as bandas de valência e os vales de silício.